1、湖南省益阳市 2020 年下学期高三复学摸底考试 (文科)数学试题 第 I 卷(选择题，共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.若集合 2 |340,1,3,5Ax xxB，则 AB 等于( ) A. 3,5 B. 1,3 C. 1 D. 3 2.已知复数 z 满足(13 )1,i zi 则复平面内与复数 z 对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.在正项等比数列 n a中,若 1234 1,9,aaaa则公比 q=( ) A.3 B.3 或-3 C.9 D
2、.9 或-9 4.已知向量(1,2),(2, 3),abx且,ab则|b () A.9 B.3 .3 5C .3 15D 5.已知 a 0.60.8 3 2 log 0.8,2,( ), 3 bc则 a, b,c 的大小关系是( ) A.a0，故 2013 年至 2019 年该地区居民家庭人均纯收入逐年增加， 平均每年增加 0.5 万元9 分 将 2020 年的年份代号 t8 代入(1)中的线性回归方程，得y 0.5 82.36.3， 故预测该地区 2020 年居民家庭人均纯收入为 6.3 万元12 分 19 （本小题满分 12 分） 解：(1)证明：连接，设它们的交点为 O， 连接， 1 A
3、B 由题可知底面为正方形，1 分 与为全等的正三角形 的中点， 2 分 3 分 4 分 (2)与为全等三角形(SSS)5 分 且，6 分 O 为的中点7 分 8 分 (3)，9 分 由(2)可知 ，10 分 ，11 分 即 即点 C 到平面的距离为12 分 20 （本小题满分 12 分） 解：(1)因为 12 PFF的周长为2 24( 32), 2 32 2acac 又离心率 6 3 c e a ，解得2 3, 2 2ac， 222 4bac 椭圆T的方程为 22 1 124 xy 4 分 21（本小题满分 12 分） 解： (1) 112 ( )2 (0) ax fxax xx 1 分 当0
4、a时，( )0fx恒成立，此时( )f x在(0,)单调递增2 分 当0a 时，令( )0fx得 1 2 x a 当 1 0 2 x a 时，( )0fx，此时( )f x单调递增 当 1 2 x a 时，( )0fx，此时( )f x单调递减5 分 综上：当0a时，( )f x在(0,)单调递增 当0a 时，( )f x在 1 (0, ) 2a 单调递增，在 1 (,) 2a 单调递减6 分 (2)由题可知：( )ln(2) x g xex， 设2xt，要证原式只要证 2 ln0 t et ，即证 2 ln0 t eet 设 2 ( )ln t h teet 2 ( ) t e h te t
5、 显然是一个增函数 且(1)0, (2)0hh，( )h t在(1,2)存在唯一的零点 0 t7 分 当 0 (0, )( )0tth t时， 0 ( ,)tt时( )0h t 0 ( )(0, )h tt在单调递减，在 0 ( ,)t 单调递增8 分 0 2 min00 ( )( )ln t h th teet9分 0 2 00 0 , 2ln t e ett t 10 分 2 222 0000 000 11 ( )(2)(2)(22)0 e h te tetet ttt 11 分 ( )0h t 恒成立，( )0g x 结论得证.12 分 22(1)由曲线 C 的极坐标方程 2 2 12
6、3cos 得 222 3cos12 22 4312xy，即： 22 1 34 xy 5 分 (2)点 P 的直角坐标为(0, 1)，将 cos 1sin xt yt 代入 22 4312xy得： 222 4cos3(1sin )12tt即： 222 (4cos3sin)6 sin90tt7 分 1 2 222 9918 4cos+3sincos37 PAPBt t 8 分 解得 2 cos 2 ，9 分 因为0 所以 3 44 或10 分 23选修 45：不等式选讲（10 分） 解：(1)f(x)|x1|x1| 2 , 1 2, 11 2 , 1 xx x xx 2 分 ( )f x在(, 1) 单调递减，在(1,)单调递增，在 1,1为常数 23 分 故函数 f(x)有最小值 2，所以 m2.，4 分 取等号时 1,1x 5 分 【另解】11(1)(1)2xxxx，3 分 当且仅当(1)(1)0, 1,1xxx 即时取等号5 分 (2)由(1)可知 2a22b22， 故 a21b224，6 分 所以 1 a21 1 b22 1 a21 1 b22 a21b22 4 2b 22 a21 a21 b22 4 1， 故 1 a21 1 b22的最小值为 18 分 当且仅当 a21b222， 即 a21，b20 时等号成立，10 分
