1、2022-12-22阜师院数科院第三章第三章 幂级数展开幂级数展开复数项级数；复数项级数；变项级数（函数级数）；变项级数（函数级数）；幂级数；幂级数；幂级数对复变函数研究的应用：幂级数对复变函数研究的应用：泰勒级数；泰勒级数；洛朗级数，函数的奇异性研究。洛朗级数，函数的奇异性研究。2022-12-22阜师院数科院3.1 复数项级数复数项级数级数是无穷项的和1.级数的收敛和柯西判据,211kkk复无穷级数每一项为kkkivu 收敛如果极限nkknnkknnkknviu111limlimlim存在并有限收敛：2022-12-22阜师院数科院充要条件是其实部与虚部都收敛柯西判据：复数项级数收敛的充要
2、条件是，对于一小的正整数 ，必存在一 N 使得 nN 时有,1pnnkk式中 p 为任意正整数。2022-12-22阜师院数科院2.绝对收敛1122kkkkkvu收敛。两个绝对收敛的和，积，仍绝对收敛。3.复变项级数,)()()()(211zzzzkkk的每一项都是复变函数。实际上，对于 z 的一个确定值，复变项级数变成一个复数项级数。则原级数 收敛。1kk2022-12-22阜师院数科院复变项级数有一个定义域 B。它的收敛的概念应当是相对于这个定义域而言的。收敛复变项级数在其定义域 B 中每一点都收敛，则称在 B 中收敛。它满足柯西判据：复数项级数收敛的充要条件是，对于一小正整数 ，必存在一
3、 N(z)使得 nN(z)时有,)(1pnnkkz2022-12-22阜师院数科院一致收敛当 N 与 z 无关时。即对 B 中所有点 给定 ，就有一个统一的 N 使判据得到满足。一致收敛的级数的每一项若为连续函数，级数也将是连续函数。在一条曲线上可以逐项积分。绝对一致收敛在区域 B 中，复数项级数的各项满足 而数项级数,)(kkmz 1kkm收敛。即在各点都绝对收敛2022-12-22阜师院数科院)(1zk)(1zN给定 .)(11pNNkz)(2zk)(2zN.)(12pNNkz收敛，但与 z 的位置有关。)(1zk)(1zN.)(11pNNkz)(2zk)(2zN2022-12-22阜师院
4、数科院3.2 幂级数幂级数幂函数的复变项级数幂函数的复变项级数对于各复常数,210kaaaz级数kkkkkzzazzazzaazza)()()()(020201000叫以 为中心的幂级数。0z1.定义(3.2.1)z02022-12-22阜师院数科院kkkkkzzazzazzaazza)()()()(0202010002.收敛的达朗贝尔判据研究(3.2.1)的 模的如下级数00)(kkkzza满足1limlim010101zzaazzazzakkkkkkkk则实幂级数(3.2.2)收敛，且复幂级数(3.2.1)绝对收敛。(3.2.1)(3.2.2)2022-12-22阜师院数科院1limlim
5、010101zzaazzazzakkkkkkkk则实幂级数(3.2.2)收敛，且复幂级数(3.2.1)绝对收敛。3.收敛圆记1limkkkaaR有1limlimlim1010101Raazzaazzazzakkkkkkkkkkk2022-12-22阜师院数科院收敛圆收敛圆R 叫收敛半径，以 为圆心，R 为半径的圆叫幂级数的0z最简单的收敛区域。保证幂级数在圆内的点上绝对收敛，而在圆外可能发散。圆外仍有区域是收敛的。根值判别法,1lim0zzakkk,1lim0zzakkk(3.2.2)收敛，(3.2.1)绝对收敛。(3.2.2)发散，(3.2.1)发散。故当 ，(3.2.1)绝对收敛。当 ，(
6、3.2.1)可能发散。Rzz0Rzz02022-12-22阜师院数科院故kkkaR1lim例kttt21(1)1t解：1ka1lim1kkkaaR收敛半径:收敛圆内部为其实，ttttttkkkkk11lim11201tttttkkkk1111lim10对于2022-12-22阜师院数科院(2)但对于1t显然级数发散。kkkkkzzzz24202)1(1)1(解：kka)1(1lim1kkkaaR1z收敛圆224211)1(1zzzzkk实际上对于1z4.幂级数的积分表示利用柯西公式在一个比收敛圆 C 内稍小的圆 C 中幂级数绝对一致收敛，故可沿这个圆逐项积分。2022-12-22阜师院数科院记
7、 C上点为 ，而C内任一点为 z，则圆上的幂级数为利用柯西公式得202010)()()(zazaa而zi121有界，2020102020100)()()(21)(2121)(21zzazzaadzzaidzzaidzaidziCCCC0zzCC2022-12-22阜师院数科院又乘以1)(12!nzin)(202)(01)(0)(1202101101)()()()()(2!)()(2!)(2!)()(2!nnnnCkCkCkCkzzazzaazzainzzainzainzin幂级数在收敛圆内可任意逐项求导。还可以逐项积分。2022-12-22阜师院数科院3.3 泰勒级数展开泰勒级数展开具有无限阶
8、导数的实函数可以展开为泰勒级数。复变函数中的解析函数具有无限阶导数，故应可展开为泰勒级数。定理 设 在以 为圆心的圆 内解析，则对圆内任意点 ，可展开为)(zf)(zf0zRC,)()(00kkkzzazf证明：.)()(21)(Cdzfizf00000111)()(11zzzzzzzz又2022-12-22阜师院数科院100zzz01000000000)()()(11111kkkkkzzzzzzzzzzzz.)()(21)()()(21)(0100kCkkCdzfizzdzfizf#关键在确定 ，但这不是唯一的方法ka例(1)0,)(0zezfz1)(00)(0eezfzk解：0!kkzkz
9、e#能直接求导就求导2022-12-22阜师院数科院(2)0,cos)(,sin)(021zzzfzzf解：kkkkkzzfzzf)1(cos)1()(,0sin)1()(00)12(100)2(1,0sin)1()(,)1(cos)1()(00)12(100)2(2zzfzzfkkkkk.)!2()1(cos;)!12()1(sin02012kkkkkkkzzkzz.R#.1lim)!1/(1!/1limkkkRkk2022-12-22阜师院数科院(3)1,ln)(0zzzf 是多值函数，各分支在支点 相连。但 不是支点，在其 的邻域各分支相互独立。因此，我们可以只讨论展开的主值。zln解：
10、10z10 zz,012)12(2)2(/)!2()(/)!12()(/1)(ln)(kkkkzkzfzkzfzzfzzf)!2()()!12()1(1)1(21ln)1()12()2(kzfkffinfkk2022-12-22阜师院数科院3)1(2)1()1(2)1(!3!2)1(!2!1)1(!111lnln3232zzzinzzzz1R主值0n#(4)0,int,)1()(0zegelmzzfm解：inmminmee22)(1定义)1()1(kmmmkmkmCkmkmegelm,int显然2022-12-22阜师院数科院),()1()(),()1(2)1)(1()(),(11)1()(,
11、)1()()(221zfzkmzfzfzmzmmzfzfzmzmzfzzfkkmmm,1)(,21)0(,11)1()0(,1)0()(1kmzfmfmzmffmkmmmm!1111!1!1111)1(11kmkmmmmzkkmzmzkkmzmz2022-12-22阜师院数科院11lim)!1/(1!/limkmkkkmkkmRkk0n是主值，此时有kmzkkmzmz!111)1(1即二项式定理。#方法与实函数同，但应注意主值。最普通的办法，仍是逐级求导。2022-12-22阜师院数科院(5)0,110tt.1.111ttttn,11itt极点在1t1tit 04)1(21141)(2!)21
12、(!)11(!)11(innninitnenenint2022-12-22阜师院数科院.)(21104)1(21nninnitet22lim)(lim/14)1(21/1ninnnnnneaR不同的幂级数 在不同的区域与函数 相同。这里存在什么样的关系？t11设ttF11)()(10tftnn.)(2)(04)1(212nninnitetfit 在小圆)()(1tFtf1t在大圆)()(2tFtf。问题在于)()(1tFtf2022-12-22阜师院数科院3.4 解析延拓解析延拓例如1,110tttkk和1,11)1(202zzzkkk等式两边在收敛圆内是相同的，但在收敛圆外等式不一定成立。注
13、意，等式的左边仅在收敛圆内有意义，但等式的右边除 t=1（前一个）或 ,在整个复平面上解析。因此，问：已知 ，求 在 之外的 F(t)。1,0ttkk1t这个答案是已知的1,11)(tttF1z2022-12-22阜师院数科院 于是提出问题：已知 f(z)在 b 中解析，是否存在 F(z)在 B 中解析 ，且在 b 中 F(z)=f(z)。这个过程叫解析延拓。BbBb0z解析延拓的方法在 b 中取点 ，又取 的一个邻域，j将 f(z)展开为泰勒级数。如果这个级数的收敛圆的一部分超出区域 b 进入区域 B 则此函数的解析区域得以扩大。逐步使用这种方法，可以逐渐将函数解析延拓。0z0z可以证明，无
14、论采用何种方法，函数 f(z)的解析延拓是唯一的。这样，可以采 用某些最方便的方法来进行解析延拓。2022-12-22阜师院数科院,)()()()(211zzzzkkk)(zf在定义域,)()()()(0020101zzzzkkk在点 z0收敛、绝对收敛。在定义域，收敛、一致收敛、绝对一致收敛级数幂级数kkkkkzzazzazzaazza)()()()(020201000)(zf 收敛圆2022-12-22阜师院数科院泰勒级数,)(!)()(00)(kkkzzkfzf解析区域解析函数解析延拓是否可以将一个解析函数的解析区域扩大？在收敛圆内可逐项积分可作为被积函数，被积函数不一定是解析函数。20
15、22-12-22阜师院数科院3.5 洛朗展开洛朗展开(1)泰勒展开必须在函数的解析区域才可进行。在函数的奇点的邻域，是否存在相应的展开？(2)泰勒级数的解析区域为一收敛圆，收敛圆不可包含奇点，但若研究一个级数，它以圆环作收敛区域，则奇点可以取作圆心，它在收敛环之外。这种级数为洛朗级数泰勒级数是只具有正幂项的幂级数，奇点易出现在负幂项，故考虑有负幂的级数1.收敛环0010)()(kkkkkkzzazza2022-12-22阜师院数科院1R2R1RC1RC2RC2RCC01101)(zzazzakkkkkk设其收敛半径为 ，则其在圆 外部收敛。2/1 R2RC故此级数在 收敛。这个区域叫收敛环。1
16、02RzzR其中正幂部分 的收敛半径为 。负幂部分写作00)(kkkzza1R2022-12-22阜师院数科院2.定理设 f(z)在环形区域 的内部单值解析，则在环内任一点 z，f(z)可以展开为幂级数102RzzRkkkzzazf)()(0其中Ckkdzfia1)()(21证：21)(21)(21)(RRCCdzfidzfizf0100)()(1kkkzzzz沿1RC100zzz2022-12-22阜师院数科院沿2RC100zzz0100)()(1kkkzzzz2100)1(01000)()(21)()()(21)()(RRClllCkkkdfzizzdzfizzzf10),1(kllk两个
17、积分回路的方向相反，由柯西定理，沿 的积分可变为沿 的积分（差一个负号）如下2RC1RCkkkzzazf)()(0Ckkdzfia1)()(21#此为洛朗展开在奇点附近的展开2022-12-22阜师院数科院3.例(1)在 的邻域展开 。00zzzzf/sin)(00zf(z)无定义。但.1)(lim0zfz在挖去原点的环域（整个复平面）中02012)!12()1()!12()1(1sin1sinkkkkkkzkzkzzzzz1)!12()1(lim020kkkzzk又此级数又可以看作 f(z)的到整个复平面的解析延拓。利用泰勒展开2022-12-22阜师院数科院(2)在环域 中将 展开。z1)
18、1/(1)(2zzf还是利用泰勒展开1/12zf(z)的奇点不是Z=0，而是z=1,-1。12022222111111111kkkkzzzzzz(3)在 的邻域将 展开。10z)1/(1)(2zzf(z-1)的幂级数210 z在2022-12-22阜师院数科院kkkzzzzzzzzzzz)21()1(1121211111212)1(1111111)1)(1(1)1/(102(4)0,)(0/1zezfz利用0,!kkzzkze取zzzz/1,/1得00/10,)!(!)/1(kkkkzzkzkze无限多负幂2022-12-22阜师院数科院(5)习题 14zzzzzz2,21,1),2)(1/(
19、1zz 的幂级数000)211()2)(2111111)2(2)2)(1/(kkkkkkkzzzzzzzzzz21 z0121211111111)2(2)2)(1/(kkkkkzzzzzzzzzz12,11zzA.B.2022-12-22阜师院数科院z212,11zz11111)211(212112111111)2(2)2)(1/(kkkkkkkkzzzzzzzzzzzz3.6 孤立奇点的分类孤立奇点的分类孤立奇点f(z)除在 的 小邻域外处处可导。0zkkkzzazf)()(0在挖去的 小邻域 外解析。其正幂叫解析部分，负幂叫主要部分。叫留数0z1aC.2022-12-22阜师院数科院可去奇
20、点 幂级数无负幂项时的0z极点幂级数仅含有限 m 个负幂项时的0zM 为极点的阶，一阶极点称单极点本性奇点含无穷多负幂项时的0z例(1)中 00z为可去奇点例(3)中出现一阶极点。留数为21例(4)中出现本性奇点。留数为12022-12-22阜师院数科院例(5)中情况 A 中无奇点，情况 B 中出现本性奇点，留数为 23211情况 C 中出现本性奇点，留数为1122111小结：复变函数存在两种基本的幂级数展开，在解析点附近邻域的泰勒展开和在奇点附近的洛朗展开。泰勒展开只有正幂项，而洛朗展开含有负幂项。根据负幂项可以判断孤立奇点的种类。2022-12-22阜师院数科院阶段总结lnndzzI.1,0)(lllSiSzdzI)(.2)(,0kkkzzazf)()(0柯西定理：在某闭区域解析的函数，它沿此区域边界的积分为零。洛朗展开？Cdzzf)(Ckkkdzzza)(012ia留数定理
