1、1.31.3 一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系 ax +bx+c=0 x-3x+2=0 x+3x+2=0 x-5x+6=0 x+5x+6=0 x-3x=0 1 x 2 x 21 xx 21x x 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 - -2 2 - -3 3 - -1 1 6 6 3 3 5 5 2 2 - -2 2 - -3 3 - -5 5 6 6 0 0 2 2 2 2 0 0 探究探究：观察下表，你能发现下列一元二次方程的根与系数有什么关观察下表，你能发现下列一元二次方程的根与系数有什么关 系吗？系吗？ 两根的积与常数项相等，两根的和与一次项系两根的积与常数
2、项相等，两根的和与一次项系 数互为相反数数互为相反数 【解释规律解释规律】 你能解释刚才的发现吗？你能解释刚才的发现吗？ 1.31.3 一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系 22 12 44 22 bbacbbac xx aa ， 22 12 44 22 bbacbbac xx aa 则则 一元二次方程一元二次方程 ax2bxc0 0 （a00），如果，如果b2 4ac0，它的两个根分别是，它的两个根分别是x1 1、x2 2 1.31.3 一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系 22 12 44 22 bbacbbac xx aa 22 44 2 bbac
3、bbac a 2 2 b a b a 1.31.3 一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系 22 12 44 22 bbacbbac xx aa 22 2 4 4 bbac a 2 4 4 ac a c a 【总结发现总结发现】 a b xx 2112 c xx a 如果一元二次方程如果一元二次方程ax2bxc0 0 （a00）， 的两个根分别的两个根分别x1 1、x2 2，那么那么： 1.31.3 一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系 ， 这就是一元二次方程一元二次方程根与系数的关系根与系数的关系，也叫，也叫韦达定理韦达定理。 1.31.3 一元二次方程
4、的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系 【例题精讲例题精讲】 例例 求下列方程两根的和与两根的积：求下列方程两根的和与两根的积： （1 1）x22x50； （2 2）2x2x1. 需要解方程吗？需要解方程吗？ 在使用根与系数的关系时，应注意：在使用根与系数的关系时，应注意： 不是一般式的要先化成一般式；不是一般式的要先化成一般式； 在使用在使用X1+X2= 时，时， 注意“注意“ ”不要漏写。”不要漏写。 a b 【尝试与交流尝试与交流】 1.31.3 一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系 你能写出这个方程中被墨迹污染的一次项系数和你能写出这个方程中被墨迹污染的一次项
5、系数和 常数项吗？常数项吗？ 小明在一本课外读物中读到如下一段文字：小明在一本课外读物中读到如下一段文字： 一元二次方程一元二次方程x2 x 0的两根是的两根是 和和 23 23 1.已知一元二次方程的已知一元二次方程的 两两 根分别为根分别为 ，则：，则： 012 2 xx 21,x x _ 21 xx_ 21 xx 2.已知一元二次方程的已知一元二次方程的 两根两根 分别为分别为 ，则：，则： 63 2 xx 21,x x 3.已知一元二次方程的已知一元二次方程的 的一个根为的一个根为1 ，则方程的另一根为，则方程的另一根为_， m=_： 093 2 mxx _ 21 xx _ 21 xx
6、 4.已知一元二次方程的已知一元二次方程的 两两 根分别为根分别为 -2 和和 1 ，则：，则：p =_ ; q=_q=_ 0 2 qpxx 自主合作自主合作 1.已知关于已知关于x的方程的方程 012) 1( 2 mxmx 当当m= 时时,此方程的两根互为相反数此方程的两根互为相反数. 当当m= 时时,此方程的两根互为倒数此方程的两根互为倒数. 1 1 分析分析:1. 01 21 mxx 2. 112 21 mxx 21 xx4 1 例例1 则：则： 21 xx 2 2 2 1 xx 2 21 )(xx 应用应用1：一求与根有关的代数式的值：一求与根有关的代数式的值 1. 2. 自主拓展自主
7、拓展 另外几种常见的求值另外几种常见的求值 21 11 . 1 xx 21 21 xx xx ) 1)(1.(3 21 xx1)( 2121 xxxx 1 2 2 1 . 2 x x x x 21 2 2 2 1 xx xx 21 21 2 21 2)( xx xxxx 21 . 4xx 2 21 )(xx 21 2 21 4)(xxxx 求与方程的根有关的代数式的值时求与方程的根有关的代数式的值时, 一般先将所求的代数式化成含两根之和一般先将所求的代数式化成含两根之和, 两根之积的形式两根之积的形式,再整体代入再整体代入. 归纳归纳1 练习练习2 (1)设设 的两个实数根的两个实数根 为为
8、则则: 的值为的值为( ) A. 1 B. 1 C. D. 01 2 xx 21 ,xx 21 11 xx 5 5 5 A 以以 为两根的一元二次方程为两根的一元二次方程 (二次项系数为二次项系数为1)为为: 0)( 2121 2 xxxxxx 2 , 1 xx 应用二应用二 已知两根求作新的方程已知两根求作新的方程 例例2. 点点p(m,n)既在反比例函数既在反比例函数 的的 图象上图象上, 又在一次函数又在一次函数 的图象上的图象上, 则以则以m,n为根的一元二次方程为为根的一元二次方程为(二次项系数为二次项系数为1): )0( 2 x x y 2xy 解解:由已知得由已知得, m n 2
9、 2 mn 即 m n=2 m+n=2 所求一元二次方程为所求一元二次方程为: 022 2 xx 例例3 3 以方程以方程X X2 2+3X+3X- -5=05=0的两个根的相反数为根的方程的两个根的相反数为根的方程 是（是（ ） A、y y2 23y3y- -5=0 B5=0 B、 y y2 23y3y- -5=0 5=0 C、y y2 23y3y5=0 D5=0 D、 y y2 23y3y5=05=0 B 分析分析:设原方程两根为设原方程两根为 则则: 21,x x 5, 3 2121 xxxx 新方程的两根之和为新方程的两根之和为 3)()( 21 xx 新方程的两根之积为新方程的两根之
10、积为 5)()( 21 xx 求作新的一元二次方程时求作新的一元二次方程时: 1.先求原方程的两根和与两根积先求原方程的两根和与两根积. 2.利用新方程的两根与原方程的两根之利用新方程的两根与原方程的两根之 间的关系间的关系,求新方程的两根和与两根积求新方程的两根和与两根积. (或由已知求新方程的两根和与两根积或由已知求新方程的两根和与两根积) 3.利用新方程的两根和与两根积利用新方程的两根和与两根积, 求作新的一元二次方程求作新的一元二次方程. 归纳归纳2 练习练习: 1.以以2和和 为根的一元二次方程为根的一元二次方程 （二次项系数为）为：（二次项系数为）为： 06 2 xx 例4 已知两
11、个数的和是1，积是-2，则两 个数是 。 2和-1 解法(一):设两数分别为x,y则: 1 yx 2 yx 解得: x=2 y=1 或 1 y=2 解法(二):设两数分别为一个一元二次方程 的两根则: 02 2 aa 求得 1, 2 21 aa两数为2, 应用三应用三 已知两个数的和与积，求两数已知两个数的和与积，求两数 例例5 如果如果1是方程是方程 的一个根，则另一个根是的一个根，则另一个根是_=_。 （还有其他解法吗？) 02 2 mxx -3 应用四应用四 求方程中的待定系数求方程中的待定系数 练习练习： （1）若关于）若关于x的方程的方程2x25xn0的一个根是的一个根是2， 求它的
12、另一个根及求它的另一个根及n的值。的值。 （2）若关于）若关于x的方程的方程x2kx60的一个根是的一个根是2， 求它的另一个根及求它的另一个根及k的值。的值。 例例6 6 已知方程已知方程 的两个实数根的两个实数根 是是 且且 求求k k的值。的值。 解：由根与系数的关系得解：由根与系数的关系得 X X1 1+X+X2 2= =- -k k， X X1 1X X2 2=k+2=k+2 又又 X X1 12+ X X2 2 2 = 4 = 4 即即( (X X1 1+ X X2 2)2 - -2 2X X1 1X X2 2=4 =4 K K2 2- - 2(k+22(k+2）=4=4 K K2
13、 2- -2k2k- -8=0 8=0 = = K K2 2- -4k4k- -8 8 当当k=4k=4时，时， 0 0 当当k=k=- -2 2时，时，0 0 k=k=- -2 2 解得：解得：k=4 或或k=2 02 2 kkxx 2, 1 xx 4 2 2 2 1 xx 例例7 7 方程方程 有一个正根，一个负根，求有一个正根，一个负根，求m m的取值范围。的取值范围。 解解:由已知由已知, 0) 1(44 2 mmm= 0 1 21 m m xx 即即 m0 m-10 0m1 )0(012 2 mmmxmx 应用应用5综合应用综合应用 一正根，一负根一正根，一负根 0 X1X20 两个
14、正根两个正根 0 X1X20 X1+X20 两个负根两个负根 0 X1X20 X1+X20 归纳归纳3 引申:1、若ax2bxc0 (a0 0) （1）若两根互为相反数,则b0; （2）若两根互为倒数,则ac; （3）若一根为0,则c0 ; （4）若一根为1,则abc0 ; （5）若一根为1,则abc0; （6）若a、c异号,方程一定有两个实数根. 例例6 方程方程x2 (m 1)x 2m 1 0求求m满足什么条件时满足什么条件时,方方 程的两根互为相反数程的两根互为相反数？方程的两根互为倒数方程的两根互为倒数？方方 程的一根为零程的一根为零？ 解解:(m 1)2 4(2m 1) m2 6m
15、5 两根互为相反数两根互为相反数 两根之和两根之和m 1 0,m1,且且0 m1时时,方程的两根互为相反数方程的两根互为相反数. 两根互为倒数两根互为倒数 m2 6m 5, 两根之积两根之积2m 1 1 m 1且且0, m 1时时,方程的两根互为倒数方程的两根互为倒数. 方程一根为方程一根为0, 两根之积两根之积2m 1 0， 且且0, 时时,方程有一根为零方程有一根为零. 2 1 m 2 1 m 例例6 方程方程x2 (m 1)x 2m 1 0求求m满足什么条件时满足什么条件时, 方程的两根互为相反数？方程的两根互为倒数？方程的两根互为相反数？方程的两根互为倒数？ 方程的一根为零？方程的一根
16、为零？ 例例2. 已知方程已知方程 的的 两根为两根为 、 ， 且且 ，求，求 k的值。的值。 02) 12( 2 kxkkx 1 x 2 x3 2 2 2 1 xx 4、已知关于、已知关于x的方程的方程x2+(2k+1)x+k2-2=0 的两根的平方和比两根之积的的两根的平方和比两根之积的3倍少倍少 10，求，求k的值的值. 小结：小结： 1、熟练掌握根与系数的关系；、熟练掌握根与系数的关系； 2、灵活运用根与系数关系解决问题；、灵活运用根与系数关系解决问题； 3、探索解题思路，归纳解题思想方法。、探索解题思路，归纳解题思想方法。 【小结小结】 2 2应用一元二次方程的根与系数关系时，首应用一元二次方程的根与系数关系时，首 先要把先要把方程化成一般形式；方程化成一般形式； 3 3应用一元二次方程的根与系数关系时，应用一元二次方程的根与系数关系时， 要特别注意，方程有实根的条件，即当且仅当要特别注意，方程有实根的条件，即当且仅当 b24ac0 时，才能应用根与系数的关系时，才能应用根与系数的关系. 1 1一元二次方程根与系数的关系是什么一元二次方程根与系数的关系是什么? ? 1.31.3 一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系
