1、8 8 一般周期函数的傅里叶级数一般周期函数的傅里叶级数一、一、周期为周期为l 2的周期函数的傅里叶级数的周期函数的傅里叶级数定理定理设设)(xf是周期为是周期为l 2的周期函数，的周期函数，且满足收敛定理的条件，且满足收敛定理的条件，则它的傅里叶级数则它的傅里叶级数)sincos(210lxnblxnaannn 在在),(上收敛上收敛,且且(1)(2)2)()(xfxf当当x为连续点时，为连续点时，级数收敛于级数收敛于)(xfx为间断点时，为间断点时，级数收敛于级数收敛于当当其中其中dxlxnxflalln cos)(1 dxlxnxflblln sin)(1,.)2,1,0(,n,.)2,
2、1(,n(1)(2)证证l l xtO txl 作换元作换元 txl，则在此变换下，则在此变换下区间区间lxl 变为变为区间区间 t)(xf)(tlf )(tF)(tF是周期为是周期为 2的周期函数的周期函数可以验证：可以验证：)2(tF)2(tlf 2ltlf )(tlf )(tF)(tF的傅氏级数的傅氏级数)sincos(210ntbntaannn 在在),(上收敛，且上收敛，且2)()(tFtF连续点连续点t,)(tF间断点间断点t,其中其中dtnttFan cos)(1dtnttFbn sin)(1,.)2,1,0(,n,.)2,1(,n(*)sincos(210ntbntaannn
3、)(xfy 由由)(tFy 与与xlt 复合而成复合而成)(tFt是是的连续点的连续点)(xfx是是的连续点的连续点)(tFy 由由)(xfy 与与tlx 复合而成复合而成)(tFt是是的连续点的连续点)(xfx是是的连续点的连续点即：即：)(tFt是是的连续点的连续点)(xfx是是的连续点的连续点将将xlt 代入代入(*)式，式，得得)sincos(210lxnblxnaannn 2)()(xfxfx的连续点的连续点)(xf ,是是)(xfx的间断点的间断点是是)(xf其中其中dxlxnxflll cos)(1 dtnttFan cos)(1 xlt dtnttFbn sin)(1dxlxn
4、xflll sin)(1 xlt 即即(1)(2)式。式。证毕。证毕。说明说明(1)当当)(xf上是奇函数时，上是奇函数时，0 na,.)2,1,0(,ndxlxnxflbln 0 sin)(2,.)2,1(,n奇函数的傅氏级数是正弦级数奇函数的傅氏级数是正弦级数在在),(ll 1sinnnlxnb(3)其中，其中，nb按按(3)式计算。式计算。当当)(xf上是偶函数时，上是偶函数时，0 nb,.)2,1,0(,ndxlxnxflaln 0 cos)(2,.)2,1(,n偶函数的傅氏级数是余弦级数偶函数的傅氏级数是余弦级数在在),(ll 10cos2nnlxnaa(4)其中，其中，na按按(4
5、)式计算。式计算。(2)若若)(xf只在只在,ll 上有定义，上有定义，且满足收敛且满足收敛定理的条件，定理的条件，也可将它展开为傅氏级数。也可将它展开为傅氏级数。方法：方法：首先，首先，将将)(xf进行周期延拓，进行周期延拓，将它将它拓广为周期为拓广为周期为l 2的周期函数的周期函数)(xF；然后然后将将)(xF展开成傅氏级数；展开成傅氏级数；最后，最后，再将再将x限制在限制在,ll 上，上，就得到就得到)(xf的傅氏级数的傅氏级数展开式。展开式。即：即：按按(1)、(2)式求出式求出,nnba从而得到从而得到)(xf的的傅氏级数傅氏级数)sincos(210lxnblxnaannn 在点在
6、点),(llx ，x是是)(xf的连续点时，的连续点时，级数收敛于级数收敛于)(xf；x是是)(xf的间断点时，的间断点时，级数收敛于级数收敛于2)()(xfxf在端点在端点lx ，级数收敛于级数收敛于2)()(lflf(3)若若)(xf只在只在,0l上有定义，上有定义，且满足收敛且满足收敛定理的条件，定理的条件，可将它展开成正弦级数和余弦可将它展开成正弦级数和余弦首先，首先，将将)(xf进行奇延拓，进行奇延拓，将它拓广将它拓广为为,ll 上的奇函数上的奇函数)(xF；然后，然后，将将)(xF展开成傅氏级数展开成傅氏级数(正弦级数正弦级数)；最后，最后，再将再将x限制在限制在,0l上，上，就得
7、到就得到)(xf的正弦级数的正弦级数即：即：级数。级数。展开成正弦级数的方法：展开成正弦级数的方法：展开式。展开式。按按(3)式求出式求出,nb从而得到从而得到)(xf的正弦级数的正弦级数 1sinnnlxnb 在点在点),0(lx，x是是)(xf的连续点时，的连续点时，级数收敛于级数收敛于)(xf；x是是)(xf的间断点时，的间断点时，级数收敛于级数收敛于2)()(xfxf在端点在端点lx,0，级数收敛于级数收敛于0首先，首先，将将)(xf进行偶延拓，进行偶延拓，将它拓广将它拓广为为,ll 上的偶函数上的偶函数)(xF；然后，然后，将将)(xF展开成傅氏级数展开成傅氏级数(余弦级数余弦级数)
8、；最后，最后，再将再将x限制在限制在,0l上，上，就得到就得到)(xf的余弦级数的余弦级数即：即：展开成余弦级数的方法：展开成余弦级数的方法：展开式。展开式。按按(4)式求出式求出,na从而得到从而得到)(xf的余弦级数的余弦级数 10cos2nnlxnaa 在点在点),0(lx，x是是)(xf的连续点时，的连续点时，级数收敛于级数收敛于)(xfx是是)(xf的间断点时，的间断点时，级数收敛于级数收敛于2)()(xfxf在端点在端点0 x，级数收敛于级数收敛于)0(flx ，级数收敛于级数收敛于)(lf例例1设设)(xf是周期为是周期为4的周期函数，的周期函数，它在它在)2,2 上的表达式为上
9、的表达式为 20 ,02 ,0)(xkxxf将将)(xf展开成傅氏级数。展开成傅氏级数。解解)0(k常数常数xyo242 4)(xfk)(xf满足收敛定理的条件，满足收敛定理的条件，它在点它在点mx2,.)2,1,0(m处间断，处间断，在其它点处连续。在其它点处连续。由收敛定理，得由收敛定理，得当当时，时，傅氏级数收敛于傅氏级数收敛于20 k 2k)2(mf 当当mx2 时，时，傅氏级数收敛于傅氏级数收敛于)(xfmx2 计算计算 傅氏系数：傅氏系数：222cos)(21dxxnxf na 21 022cos0 xn dx 202cosxnk dx 2k|202sin2xnn 0 n 42 l
10、2 l0,.)2,1(,n 22)(21dxxf 0a 21 020 dx 20k dx 21k2 k 222sin)(21dxxnxf nb 21 022sin0 xn dx 202sinxnk dx)1cos(nnk,.)2,1(,n 21 202sinxnk dx 2k 202sinxn)2(xnd n2 nk)2cos(xn|20)1(1 nnk )(xf的傅氏级数为：的傅氏级数为：20a 1n2cos(xnan)2sinxnbn 2k 1n2cos0 xn 2sinxn nkn)1(1 )(xf.),2,1,0,2(mmx2k 1n nkn)1(1 2sinxn 2k 1n nkn)
11、1(1 2sinxn 例例2 将函数将函数)30(,)(xxxf展开成余弦级数展开成余弦级数.解解yxo33 xxf)(将将)(xf偶延拓偶延拓.)(xf在在)3,0(上连续上连续当当)3,0(x时，时，余弦级数收敛于余弦级数收敛于)(xf在端点在端点0 x，余弦级数收敛于余弦级数收敛于0)0(f l3令令)0(f在端点在端点3 x，余弦级数收敛于余弦级数收敛于3)3(f )3(f，求求nana 303cos)(32dxxnxf 按公式按公式(4)得：得：303cos32dxxnx 30)3sin3(32xnnxd 3sin3)3sin3(323030|dxxnnxnnx|303cos3332
12、xnnn 1cos622 nn,.)2,1(,n 1)1(622 nn 0 n余弦级数为余弦级数为 103cos2nnxnaa )(xf3,0,x3cos 1)1(623122xnnnn 0a 30)(32dxxf 3032xdx|302232 x 33cos 1)1(623122xnnnn 例例3 将函数将函数xxf 10)(155,x展开成展开成以以10为周期的傅氏级数。为周期的傅氏级数。解解令令 25 xt，则在此变换下，则在此变换下，155 x变为区间变为区间区间区间 t这样，这样，xxf 10)(t 5 t,记记ttg 5)(下面将下面将)(tg展开成傅氏级数。展开成傅氏级数。2)(
13、)(ggttg 5)(在在),(上连续上连续)(tg的傅氏级数收敛于的傅氏级数收敛于在点在点),(t，)(tg在端点在端点 t)(tg的傅氏级数收敛于的傅氏级数收敛于，)(g0 na ntdttgcos)(1 dtntt cos)5(1 0,.)2,1,0(,n奇函数奇函数 nb ntdttgsin)(1 dtntt sin)5(1 0sin)5(2ntdtt,.)2,1(,n)cos(1002 nntdt cos)cos(10002|dtnntnntt )1(10nn 偶函数偶函数ttg 5)(的傅氏级数为的傅氏级数为)sincos(210 nnnntbntaa 1sinnnntb 1sin)1(10nnntn 1sin)1(10nnntn )(tg),(,t 25 xt将将换回，得换回，得)(xf 1)25(sin)1(10nnxnn )15,5(,x即即)(xf 15 sin)1(10nnxnn )15,5(,x补充题：补充题：将函数将函数 232 ,22 ,)(xxxxxf展开成傅氏级数。展开成傅氏级数。作作 业业(2),2(1)1(1 8-12,322 习题习题P补充题答案：补充题答案：)2(cos)1(1 2)(12 xnnxfnn23,2,x
