1、9.5 三角形的中位线三角形的中位线 情景创设情景创设 怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使分成的怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使分成的 两部分能拼成一个平行四边形？两部分能拼成一个平行四边形？ 1. 1. 剪一个三角形，记为剪一个三角形，记为 ABCABC 2 2分别取分别取ABAB、ACAC的中点的中点D D、E E，并连接，并连接DEDE 3 3沿沿DEDE将将 ABCABC剪成两部分，并将剪成两部分，并将 ADEADE绕点绕点E E旋转旋转180180 得四边形得四边形DBCFDBCF 1.操作操作： 四边形四边形DBCF是什么特殊的四边形？为什么？是什么特殊的四边形？为什么？ 2.思
2、考思考： 答：四边形答：四边形DBCFDBCF是平行四边形。是平行四边形。 由操作可知：由操作可知： ADEADE与与 CFECFE关于点关于点E E成中心对称成中心对称 则则CF=AD,F=ADE CF=AD,F=ADE 由由F=ADEF=ADE可得：可得：ABCF ABCF 又由又由CF=ADCF=AD，AD=DBAD=DB可得：可得：DB=CFDB=CF 所以四边形所以四边形BCFDBCFD是平行四边形是平行四边形 理由：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形理由：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 A BC D E F 3.3.三角形中位线的概念三角形中位线的概念 连接三角形两边的
3、中点的线段连接三角形两边的中点的线段 叫做三角形的叫做三角形的中位线中位线 三角形的中位线与三角形的中线的区别是什么？三角形的中位线与三角形的中线的区别是什么？ 答：三角形的中位线的两端都是中点答：三角形的中位线的两端都是中点 三角形的中线一端是中点，另一端是顶点三角形的中线一端是中点，另一端是顶点 想一想想一想： 议一议：议一议： ABCABC的中位线的中位线DEDE与与BCBC有怎样的位置和数量关系？有怎样的位置和数量关系？ 为什么？为什么？ 答：答：DEBCDEBC，DE=DE=BCBC 通过探索得知：四边形通过探索得知：四边形BCFDBCFD是平行四边形是平行四边形 则则DFBC DF
4、=BCDFBC DF=BC 即即DEBC DE=DEBC DE=DF=DF=BCBC 三角形中位线的性质三角形中位线的性质: : 三角形的中位线三角形的中位线平行平行与第三边，并且与第三边，并且等于等于它的它的一半一半。 说明说明 此性质的特点：同一条件下有此性质的特点：同一条件下有2 2个结论个结论 因为因为DEDE为为 ABCABC的中位线的中位线 所以所以DEBCDEBC，DE=DE=BCBC 位置位置关系关系 数量数量关系关系 A A B BC C E F F 例例1. 1. 在四边形在四边形ABCDABCD中，中，AC=BDAC=BD，E E、F F、G G、H H 分别是分别是AB
5、AB、BCBC、CDCD、DADA的中点的中点. . 求证：四边形求证：四边形EFGHEFGH是菱形是菱形 EE、F F分别是分别是ABAB、BCBC的中点的中点 EF=1/2ACEF=1/2AC 理由：三角形的中位线平行于第三边理由：三角形的中位线平行于第三边, ,并且等于它的一半并且等于它的一半 同理同理:FG=BD/2:FG=BD/2，GH=AC/2GH=AC/2，HE=BD/2.HE=BD/2. AC=BDAC=BD 四边形四边形EFGHEFGH是菱形是菱形 理由：一四边相等的四边形是菱形理由：一四边相等的四边形是菱形. . EF=FG=GH=HEEF=FG=GH=HE 证明：证明：
6、例题解析例题解析 猜一猜猜一猜：画一个任意四边形，并画出四边的中点，再顺次连：画一个任意四边形，并画出四边的中点，再顺次连 接四边形的中点，得到的四边形的形状是什么？接四边形的中点，得到的四边形的形状是什么？ 如图，四边形如图，四边形ABCDABCD中，中，E F G HE F G H分别是分别是AB CD AD BCAB CD AD BC的中点，的中点， 四边形四边形EFGHEFGH是平行四边形吗？为什么？是平行四边形吗？为什么？ 解：四边形解：四边形EFGHEFGH是平行四边形是平行四边形 连接连接DBDB 因为因为E E、H H分别是分别是ABAB、ADAD的中点的中点 ， 即即EHEH
7、是是 ABDABD的中位线的中位线 所以所以EHBDEHBD，EH=EH= BDBD，理由是：，理由是：三角形的中位线平三角形的中位线平 行于第三边，并且等于它的一半。行于第三边，并且等于它的一半。 同理可得，同理可得，FGBD FG=FGBD FG=BDBD 所以所以EHFGEHFG，EH=FGEH=FG 故四边形故四边形EFGHEFGH是平行四边形，理由是；一组是平行四边形，理由是；一组 对边平行且相等的四边形是平行四边形对边平行且相等的四边形是平行四边形 A B C D H E F G 顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形是平行四边形顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形是平行四边形
8、议一议议一议： 顺次连接矩形的四边中点所得的四边形是什么形状？为什么？顺次连接矩形的四边中点所得的四边形是什么形状？为什么？ 如果将如果将“矩形矩形”改成改成“菱形菱形”呢？呢？ 顺次连接矩形的四边中点所得的四边形是菱形顺次连接矩形的四边中点所得的四边形是菱形 顺次连接菱形的四边中点所得的四边形是矩形顺次连接菱形的四边中点所得的四边形是矩形 结论：结论： (1) (2) (3) 议一议： 1.1.如果顺次连接四边形四边中点所得的四边形是菱形，那么如果顺次连接四边形四边中点所得的四边形是菱形，那么 原四边形的两条对角线存在什么关系原四边形的两条对角线存在什么关系 ？ （两条对角线（两条对角线相等
9、相等） 2.2.上问中的菱形改为矩形呢？上问中的菱形改为矩形呢？ （两条对角线（两条对角线互相垂直互相垂直） 3.3.当四边形满足什么条件时，顺次连接它的四边中点当四边形满足什么条件时，顺次连接它的四边中点 所得的四边形是正方形？所得的四边形是正方形？ （两条对角线（两条对角线互相垂直且相等互相垂直且相等） 课堂训练课堂训练 1.1.如图（如图（1 1） ABCABC中，中，AB=6AB=6， AC=8AC=8，BC=10BC=10，DEFDEF分分 别是别是ABAB、ACAC、BCBC的中点，则的中点，则 DEFDEF的周长是的周长是 ， 面积是面积是 . . 2.2.如图（如图（2 2）
10、ABCABC中，中，DEDE是是 中位线，中位线，AFAF是中线，则是中线，则DEDE与与 AFAF的关系是的关系是 3.3.若顺次连接四边形四边中若顺次连接四边形四边中 点所得的四边形是菱形，则点所得的四边形是菱形，则 原四边形（原四边形（ ） （A A）一定是矩形）一定是矩形 （B B）一定是菱形）一定是菱形 （C C）对角线一定互相垂直）对角线一定互相垂直 （D D）对角线一定相等）对角线一定相等 F A B c D E (1) A C B D E F (2) 互相平分互相平分 6cm2 12cm D 如图如图, ,梯形梯形ABCDABCD中，中，ADBCADBC，EFEF分别是分别是A
11、CBDACBD的中点的中点 （）（）EFEF与与ADBCADBC的关系如何？为什么？的关系如何？为什么？ （）若（）若AD=aAD=a，BC=bBC=b，求，求EFEF的长。的长。 A B C D E F G 解：（）解：（）ADEFBCADEFBC 因为因为ADBCADBC ，则，则DAFDAFGCFGCF，ADFADFCGFCGF 连接连接DFDF并延长并延长DFDF交交BCBC于于G G 又又AFAFFCFC 所以所以ADFADFCFG(CFG(AASAAS) ) 所以所以DF=FGDF=FG 而而DE=EBDE=EB 所以所以EF BCEF BC 理由是：理由是：三角形的中位线平行于第
12、三边三角形的中位线平行于第三边 又又ADBCADBC 所以所以ADEFBCADEFBC 5 5如图如图, ,梯形梯形ABCDABCD中，中，ADBCADBC，EFEF分别是分别是ACBDACBD的中点的中点 （）（）EFEF与与ADBCADBC的关系如何？为什么？的关系如何？为什么？ （）若（）若AD=aAD=a，BC=bBC=b，求，求EFEF的长。的长。 A E G D F C B 解：（解：（2 2） 所以所以EF=BG=EF=BG=(BC(BC- -GC)GC) 理由是：理由是：三角形的中位线三角形的中位线 等于第三边的一半。等于第三边的一半。 而而GC=ADGC=AD 所以所以EF=
13、EF=(BC(BC- -AD)=AD)=(b(b- -a)a) 由（）可知：由（）可知：EFEF是是DBGDBG的中位线的中位线 探索研究：探索研究： 已知：ABC的周长为a，面积为s，连接各边中点得 A1B1C1，再连接A1B1C1各边中点得A2B2C2 ， 则（）第次连接所得 A3B3C3的周长,面积 （）第n次连接所得 AnBnCn的周长，面积 A B C 次序 1 2 3 n 所得三角形 周长 得三角形面 积所 64 s 1 16 s 1 4 s 1 n 4 s 1 4 a 1 2 a 1 8 a 1 2 a 1 n 8 a 1 64 s 1 2 a 1 n 4 s 1 n A B C A B C 分析：填表分析：填表 本课小结本课小结 理解三角形中位线的概念：连接三角形连接三角形 两边的中点的线段叫做三角形的中位线。两边的中点的线段叫做三角形的中位线。 掌握三角形中位线的性质：三角形的中三角形的中 位线平行与第三边，并且等于它的一半。位线平行与第三边，并且等于它的一半。 3能应用三角形中位线的性质解决有关计算 或说理等问题。
