1、 请同学们思考一下，从我们开始学习数学以来，数学中的 数都是怎么分类的？可以分几类？各类数中都包含哪些数 老师帮你们回忆一下：从我们上小学开始，最早接 触到的数是0，1，2， 3， 这些数称为自然数，即自然数包括了，0，正整数， 自然数的范围较小。 上学年学习了负数之后，知 道了正整数， 0，负整数构成了整数，整数的范围 要比自然数的范围大一点，整数和分数构成有理数， 有理数的范围又大了一点，有理数和无理数就构成 了实数，实数的范围更大了。 。，那么如果22 2 aa 的算术平方根。是即： 。时，当 22 20aa 怎样得到的？计算机上计算的结果是 究竟有多大呢？那么 2 ; 221 4211
2、 22 5 . 124 . 1 25. 25 . 196. 14 . 1 22 . 12 答案答案 4 1 4 2 1 3 用计算器计算用计算器计算 的数值的数值 1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807 3176679737990732478462107038850387534327641572735013846 2309122970249248360558507372126441214970999358314132226 65927505592755799950501152782060571470109559971605
3、97027 4534596862014728517418640889198609552329230484308714321 4508397626036279952514079896872533965463318088296406206 1525835239505474575028775996172983557522033753185701135 4374603408498847160386899970699004815030544027790316454 2478230684929369186215805784631115966687130130156185689 87237235288509
4、26486124949771542183342042856860601468247 2077143585487415565706967765372022648544701585880162075 8474922657226002085584466521458398893944370926591800311 3882464681570826301005948587040031864803421948972782906 4104507263688131373985525611732204024509122770022694112 7573627280495738108967504018369868
5、368450725799364729060 7629969413804756548237289971803268024744206292691248 2 在数学上证明，没有一个数的平方等于在数学上证明，没有一个数的平方等于2，也就是说，也就是说 不是一个有理不是一个有理 数数 2 那么那么 是个怎样的数呢？是个怎样的数呢？ 2 我们知道，有理数包括整数和 分数，任何一个分数写成小数 的形式，必定是有限小数 或者是无限循环小数 类似地， ，圆周率等也都不是有理数，它们 都是无限不循环小数。 3 5 不是一个有理数，实际上，它是 一个无限不循环小数。 2 把下列各数写成小数的形式，你有什么发现？把
6、下列各数写成小数的形式，你有什么发现？ 9 5 , 90 11 , 11 9 , 8 47 , 5 3 ,3 5. 0 9 5 , 21 . 0 90 11 ,81. 0 11 9 ,875. 5 8 47 , 6 . 0 5 3 , 0 . 33 事实上，任何一个有理数都可以写成事实上，任何一个有理数都可以写成有限小数有限小数或或 无限循环小数无限循环小数。 反过来，任何反过来，任何有限小数有限小数或或无限循环小数无限循环小数也都是也都是 有理数有理数 , 11 9 81. 0, 8 47 875. 5 除了有限小数和无限循环小数， 还有什么其它类型的小数吗？ 无限不循环的小数无限不循环的小
7、数 -叫做无理数叫做无理数 无限不循环小数就叫无限不循环小数就叫无理数无理数 圆周率圆周率 及一些含有及一些含有 的数的数 开方开不尽数开方开不尽数 有一定的规律，但有一定的规律，但 不循环的无限小数不循环的无限小数 无理数的特征无理数的特征: 注意注意:带根号带根号 的数不一定是的数不一定是 无理数无理数 2 ）之间依次增加一个之间依次增加一个（每两个（每两个01 1010010001. 0 判断下列数哪些是有理数？哪些是无理数？判断下列数哪些是有理数？哪些是无理数？ 22 6, , 1.23, , 36 27 )23(232232223. 1之间依次多一个两个 有理数是：有理数是： 无理数
8、是：无理数是： 32 . 1 6 36 , , , , 7 22 2 )23(232232223. 1之间依次多一个两个 实 数 实 数 有理数有理数 无理数无理数 分数分数 整数整数 正整数正整数 0 负整数负整数 正分数正分数 负分数负分数 自然数自然数 正无理数正无理数 负无理数负无理数 无限不循环小数无限不循环小数 有限小数及无限循环小数有限小数及无限循环小数 一般有三种情况一般有三种情况 (1)含 的数 2 开方开不尽的数 (3)有规律但不循环的无限小数 实数的分类：实数的分类： 实 数 实 数 实 数 实 数 有理数有理数 无理数无理数 整数整数 分数分数 无限不循环小数无限不循环
9、小数 正实数正实数 0 0 负实数负实数 正有理数正有理数 正无理数正无理数 负有理数负有理数 负无理数负无理数 有限小数有限小数或或无无 限循环小数限循环小数 7 , 3 ,2 3 ,72 1, , 2 5 , 3 20 ,5 ,8 3 , 9 4 , 0 3737737773. 0 有理数集合 无理数集合 ,8 3 7 , 3 , 2 5 , 9 4 , 0 ,2 3 ,721, , 3 20 ,5 3737737773. 0 把下列各数分别填入相应的集合内：把下列各数分别填入相应的集合内： 无限不循环小数叫做无理数无限不循环小数叫做无理数 ( ( 强调强调: : 无限无限 、 不循环不循
10、环.) .) 无理数常见的无理数常见的4 4种典型种典型: : (3)(3)、无限不循环小数：、无限不循环小数：0.101001000(0.101001000(两个两个 “1 1”之间依次多一个之间依次多一个0)0) (4)(4)、三角函数型：、三角函数型：tan60tan60，sin45 sin45 3 12 2 3+19、带根号的（指开方开不尽的数）： ， 1 243+ 、含有 的数：， ， 一定要知道：一定要知道： (2)无理数不一定都是用根号表示的数无理数不一定都是用根号表示的数. 如：如： (3)无理数有无数多个无理数有无数多个. (4)无理数可分为正无理数和负无理数无理数可分为正无
11、理数和负无理数. (1)用根号表示的数不一定是无理数用根号表示的数不一定是无理数.如：如： 16 判定一个数是否无理数: (1)是看它是不是无限小数；(2)看它是不是 不循环小数；(3)所有的有理数都能写成分 数形式，但无理数则不能； 具体从以下几方面来判断: (1)开方开不尽的数是无理数; (2) 是无理数; (3)无理数与有理数的和、差一定是无理数； (4)无理数与有理数（不为0）的积、商一定 是无理数； 2 3 5 6 7 8 10 1.414 1.732 2.646 2.449 2.236 2.828 3.162 你能在数轴上找到表示 的点吗？ 2 a 2 2 a 2 2a =？ 探究
12、：探究： 1 1 将两个边长为将两个边长为1的正方形剪拼成一个大正方形的正方形剪拼成一个大正方形. 0 1 -1 2 2 在数轴上找表示在数轴上找表示 的点的点 2 归纳归纳 如果将所有的有理数都标到数轴上，那么数轴将被填满吗如果将所有的有理数都标到数轴上，那么数轴将被填满吗 如果再将所有的无理数都标到数轴上，那么数轴被填满了如果再将所有的无理数都标到数轴上，那么数轴被填满了 吗？吗？ 总结：数轴上的任一点必定表示一个实数；反过来，每一总结：数轴上的任一点必定表示一个实数；反过来，每一 个实数（有理数或无理数）也都可以用数轴上的一个点来个实数（有理数或无理数）也都可以用数轴上的一个点来 表示。
13、表示。 即：即：实数实数与数轴上的点一一对应与数轴上的点一一对应 把数从有理数扩充到实数以后，有理把数从有理数扩充到实数以后，有理 数的数的相反数和绝对值等的概念、大小比相反数和绝对值等的概念、大小比 较、运算法则以及运算律，较、运算法则以及运算律，同样适用于同样适用于 实数。实数。 例如：例如： 和和 互为相反数互为相反数. 22 绝对值等于绝对值等于 的数是的数是 和和 22 22 2 22 例：把下列实数表示在数轴上， 并比较它们的大小（用“”号连 接） 1.5 ,2 , 3 1 ,2 ,2 在数轴上表示的两个实数，右边的数总在数轴上表示的两个实数，右边的数总 比左边的数大。比左边的数大
14、。 填空：填空： （1） 的相反数是的相反数是_ （2） 的相反数是的相反数是 （3） _ （4）绝对值等于）绝对值等于 的数是的数是 _ 3 3 3 3 5 5 6 6 随堂练习随堂练习 一、判断以下题目：一、判断以下题目： 1.实数不是有理数就是无理数。（实数不是有理数就是无理数。（ ） 2.无理数都是无限不循环小数。（无理数都是无限不循环小数。（ ） 3.无理数都是无限小数。（无理数都是无限小数。（ ） 4.带根号的数都是无理数。（带根号的数都是无理数。（ ） 5.无理数一定都带根号。（无理数一定都带根号。（ ） 6.两个无理数之积不一定是无理数。（两个无理数之积不一定是无理数。（ ）
15、7.两个无理数之和一定是无理数。（两个无理数之和一定是无理数。（ ） 8.数轴上的任何一点都可以表示实数。（数轴上的任何一点都可以表示实数。（ ） 、绝对值等于、绝对值等于 的数是的数是 ， 的平方的平方 是是 随堂练习随堂练习 二、填空二、填空 3 、 的相反数是的相反数是 ，绝对值是，绝对值是 7 5 、比较大小：、比较大小： 34 、正实数的绝对值是、正实数的绝对值是 ，的绝对值是，的绝对值是 ， 负实数的绝对值是负实数的绝对值是 . 它本身它本身 0 0 它的相反数它的相反数 33 5 7 5、一个数的绝对值是、一个数的绝对值是 ，则这个数是，则这个数是 . 2 p 2 p 整数有整数
16、有 有理数有有理数有 无理数有无理数有 实数有实数有 随堂练习随堂练习 二、填空二、填空 6 6、在实数、在实数 中，中， 0,8,9 3 3 221 , , , 2, 0.3, 73 0,89,3.0, 3 1 , 7 22 3 , 3 , 2 33 221 , , , 2, 0.3, 9, 8, 0 73 0,8,9 3 练练 习习 1.判断下列说法是否正确： （1）两个数相除，如果不管添多少位小数， 永远都除不尽，那么结果一定是一个无理数； （2）任意一个无理数的绝对值是正数。 2.计算： .（结果保留两位小数） 3.比较下列各组数中两个实数的大小： （1） （2） 7362 2332和
17、 3 2 7 和 例例1、试估计、试估计 与与的大小关系的大小关系. 分析分析：用计算器求得：用计算器求得 而而 这样，容易判断这样，容易判断 练习练习:比较下列各组数中的两个实数的大小比较下列各组数中的两个实数的大小: 2352和 3 2910和 23 1415926543 14626437323 . . 23 实数的大小比较和运算，通常可取它实数的大小比较和运算，通常可取它 们的近似值来进行。们的近似值来进行。 例例2、计算、计算: (结果精确到结果精确到0.01) 2332 2 解解: 用计算器求得用计算器求得: 790 7922572550 77853907205707963271 2332 2 77853907202332 77853907202332 . . . . 于是于是 所以所以 课后作业 完成本课时的习题完成本课时的习题
