1、1.2 1.2 直角三角形直角三角形 第一章 三角形的证明 复习复习 导入导入 合作合作 探究探究 课堂课堂 小结小结 随堂随堂 作业作业 第第2 2课时课时 直角三角形全等的判定直角三角形全等的判定 三角形全等的判定三角形全等的判定 公理公理:三边对应相等的两个三角形全等（三边对应相等的两个三角形全等（SSS）. 公理公理:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）. 公理公理:两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA） . 推论推论:两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等两角及其中一角的对边对应相等的
2、两个三角形全等 （AAS）. 复习导入复习导入 首页首页 两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全 等等. 如果其中一边的所对的角是直角呢如果其中一边的所对的角是直角呢? 如果其中一边的所对的角是直角如果其中一边的所对的角是直角,那么这两个三角形全等那么这两个三角形全等. 请证明你的结论请证明你的结论. 想一想想一想: 两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等? 命题的证明命题的证明 命题命题:两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不 一定全等一定
3、全等. 证明证明:这是一个假命题这是一个假命题,只要举一个反例即可只要举一个反例即可.如图如图: A B C A B C A B C (1) (2) (3) 老师提示老师提示:举反例证明假命题千万不可忘记噢举反例证明假命题千万不可忘记噢! 由图由图(1)和图和图(2)可知可知,这两个三角形全等这两个三角形全等; 由图由图(1)和图和图(3)可知可知,这两个三角形不全等这两个三角形不全等; 因此因此,两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不 一定全等一定全等. A B C A B C A B C (1) (2) (3) 命题的证明命题的证明 两边分别相
4、等且其中一组等边的对角分别相等的两个两边分别相等且其中一组等边的对角分别相等的两个 三角形不一定全等三角形不一定全等.但如果其中一边的所对的角是直角但如果其中一边的所对的角是直角, 那么这两个三角形全等那么这两个三角形全等. 已知已知:如图如图,在在ABC和和 ABC中中, AC=AC , AB=AB, C=C=900. 求证求证:ABCABC. A B C A B C 分析分析: 要证明要证明ABCABC ,只要能满足公理只要能满足公理 (SSS),(SAS),(ASA)和推论和推论(AAS)中的一个即可中的一个即可.由已知和由已知和 根据勾股定理易知根据勾股定理易知,第三条边也对应相等第三
5、条边也对应相等. 合作探究合作探究 首页首页 做一做做一做 已知一条直角边和斜边，求作一个直角三已知一条直角边和斜边，求作一个直角三 角形角形. 已知：如图，线段已知：如图，线段a，c （ac），直角），直角 . 求作：求作：Rt ABC，使，使C= ，BC=a，AB=c. 你作的直角三角形与小明作的全等吗你作的直角三角形与小明作的全等吗? 小明的作法如下：小明的作法如下： （1）作）作MCN= =90 （2）在射线）在射线CM上截取上截取CB=a. （3）以点）以点B为圆心，线为圆心，线 段段c的长为半径作弧，交的长为半径作弧，交 射线射线CN与点与点A. （4）连接）连接AB，得到，得到R
6、t ABC. 直角三角形全等的判定定理及其直角三角形全等的判定定理及其 三种语言三种语言 定理定理:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形 全等全等(斜边斜边,直角边或直角边或HL). 如图,在ABC和ABC中, C=C=900 , AC=AC , AB=AB(已知), RtABCRtABC(HL). A B C A B C A B C A B C 证明：在证明：在ABC中，中，C=90， BC2=AB2-AC2（勾股定理）（勾股定理）. 同理，同理，BC2-AB2-AC2. AB=AB，AC=AC， BC=BC. ABC ABC（SSS）. 例例 如
7、图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度如图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度 AC与右边滑梯水平方向的长度与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的相等，两个滑梯的 倾斜角倾斜角 B和和F的大小有什么关系？的大小有什么关系？ 解：根据题意，可知解：根据题意，可知 BAC= EDF=90， Rt BAC Rt EDF（HL） B= DEF（全等三角形的对应角相等）（全等三角形的对应角相等） DEF+ F=90（直角三角形的两锐角互余）（直角三角形的两锐角互余） B+ F=90. 如图如图,已知已知ACB=BDA=900 , 要使要使 ABCBDA, 还需要什么条件还需要什么条件?把它们分
8、别写出来把它们分别写出来. 增加增加AC=BD; A B C D 增加增加BC=AD; 增加增加ABC=BAD ; 增加增加CAB=DBA ; 你能分别写出它们的证明过程吗你能分别写出它们的证明过程吗? 若若AD,BC相交于点相交于点O,图中还有全等的三角形吗图中还有全等的三角形吗 ? O 你能写出图中所有相等的线段你能写出图中所有相等的线段,相等的角吗相等的角吗? 你能分别写出它们的证明过程吗你能分别写出它们的证明过程吗? 直角三角形全等的判定定理直角三角形全等的判定定理: 定理定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等( 斜边斜边,直角边
9、或直角边或HL). 公理公理:三边对应相等的两个三角形全等（三边对应相等的两个三角形全等（SSS）. 公理公理:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）. 公理公理:两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）. 推论推论:两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 （AAS）. 综上所述综上所述,直角三角形全等的判定条件可归纳为直角三角形全等的判定条件可归纳为: 一边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等一边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等; 两边对应相等的
10、两个直角三角形全等两边对应相等的两个直角三角形全等; 课堂小结课堂小结 首页首页 1.已知已知:如图如图,D是是ABC的的BC边边 上的中点上的中点,DEAC,DFAB,垂足垂足 分别为分别为E,F,且且DE=DF. 求证求证: ABC是等腰三角形是等腰三角形. 分析分析:要证明要证明ABC是等腰三角形是等腰三角形, 就需要证明就需要证明AB=AC; 进而需要证明进而需要证明BC所在的所在的 BDFCDE; 而而BDFCDE的条件的条件: 从而需要证明从而需要证明B=C; BD=CD,DF=DE均为已知均为已知.因此因此, ABC是等腰三角形可证是等腰三角形可证. D B C A F E 随堂训练随堂训练 首页首页 2.已知已知:如图如图,AB=CD,DEAC,BFAC, 垂足分别为垂足分别为E,F,DE=BF. 求证求证:(1)AE=AF;(2)ABCD. B C A E D F 分析分析:(1)要证明要证明AE=CF, 由此由此AE=CF可证可证. 需要证明内错角需要证明内错角A=C; 而由而由ABFCDE可得证可得证. (2)要证明要证明ABCD, 由已知条件由已知条件, AB=CD,DEAC,BFAC, DE=BF.可证得可证得ABFCDE,从而可得从而可得 AF=CE.
