1、义务教育教科书（北师大版）八年级数学下册义务教育教科书（北师大版）八年级数学下册 第四章第四章 因式分解因式分解 知识点知识点1 1 因式分解的定义因式分解的定义 把一个多项式化成几个整式的积的形把一个多项式化成几个整式的积的形 式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，式，这种变形叫做把这个多项式因式分解， 也叫做把这个多项式分解因式也叫做把这个多项式分解因式 。 X X2 2- -1 (X+1)(X1 (X+1)(X- -1)1) 因式分解因式分解 整式乘法整式乘法 知识点知识点2 提公因式法提公因式法 多项式多项式ma+mb+mcma+mb+mc中的各项都有一个公共的因式中的各项都有一个公共
2、的因式 m,m,我们把因式我们把因式m m叫做这个多项式叫做这个多项式 式式.ma+mb+mc=m(a+b+c).ma+mb+mc=m(a+b+c)就是把就是把ma+mb+mcma+mb+mc分解成两个分解成两个 因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m m， 另一个因式另一个因式(a+b+c)(a+b+c)是是ma+mb+mcma+mb+mc除以除以m m所得的商，像所得的商，像 这种分解因式的方法叫做提公因式法这种分解因式的方法叫做提公因式法. . 例如：例如：x x2 2 x = x(xx = x(x- -1)1)， 8a8a2 2b b-
3、-4ab+2a = 2a(4ab4ab+2a = 2a(4ab- -2b+1) 2b+1) 把平方差公式，完全平方公式从右到左地使用，把平方差公式，完全平方公式从右到左地使用， 就可以把某些类型的多项式因式分解就可以把某些类型的多项式因式分解 )( 22 bababa 2 22 2bababa 知识点知识点2 2 公式法公式法 平方差公式平方差公式 （1 1）公式：）公式： （2 2）语言：）语言： 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的平方差，等于这两个数的和与这 两个数的差的积。这个公式就是两个数的差的积。这个公式就是平方差公式平方差公式。 )( 22 bababa 平方差公式平方差
4、公式 两数的和与差相乘两数的和与差相乘 两个数的平方差；只有两项。两个数的平方差；只有两项。 左边左边 右边右边 （3 3）公式特点：）公式特点： （4 4）形象表示：）形象表示： 2 2 2 2 ( ()()() ) 2 2 2 2 ( ()()() ) 平方差公式平方差公式 2 22 2bababa 这个公式可以用文字表述为：这个公式可以用文字表述为： 两个数的平方和加上（或减去）这两个数的两个数的平方和加上（或减去）这两个数的 积的两倍，等于这两个数的和（或差）的平方。积的两倍，等于这两个数的和（或差）的平方。 完全平方公式完全平方公式 完全平方式的特点：完全平方式的特点： 1.1.必须
5、是三项式（或可以看成三项的）必须是三项式（或可以看成三项的） 2.2.有两个同号的平方项有两个同号的平方项 3.3.有一个乘积项（等于平方项底数的有一个乘积项（等于平方项底数的2 2倍）倍） 简记口诀：简记口诀： 首平方，尾平方，首尾两倍在中央。首平方，尾平方，首尾两倍在中央。 22 2baba 完全平方公式完全平方公式 9x9x2 2 + 24x + 16+ 24x + 16 9x9x2 2 + 6xy + 6xy y y2 2 4x4x2 2 8xy + 4y8xy + 4y2 2 = (4x+3)= (4x+3)2 2 = = (9x(9x2 26xy+y6xy+y2 2) ) = =
6、(3x(3xy)y)2 2 = 4 (x= 4 (x2 22xy+y2xy+y2 2) ) = 4 (x = 4 (xy)y)2 2 根据因式分解和整式乘法的关系，我们可以利根据因式分解和整式乘法的关系，我们可以利 用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式解的用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式解的 方法叫做方法叫做公式法。公式法。 例如例如 1. 1. 把下列多项式分解因式把下列多项式分解因式 2 16126xx 2 621xx 2 61x 2 2xxyx 1x xy 1. 1. 把下列多项式分解因式把下列多项式分解因式 22 3xxyyyx 22 xyxy 2 xyxy 1. 1. 把
7、下列多项式分解因式把下列多项式分解因式 22 42aabab abbab 22 2abaabb 2 abab 2.2.把下列多项式分解因式把下列多项式分解因式 2 1144x 1212xx 4 281x 22 99xx 2 933xxx 2 342025xx 2 25x 4224 44129aa bb 2 22 23ab 3.3.把下列多项式分解因式把下列多项式分解因式 32 11xxx 2 11xxx 2 11xx 2axbxayby axbxayby x aby ab abxy 4.4.在实数范围内分解因式在实数范围内分解因式 2 15x 2 2 5x 55xx 42 21025xx 2
8、2 5x 22 55xx 5. 5. 你能把多项式你能把多项式 因式分解吗？因式分解吗？ 2 56xx （1 1）上式能用完全平方公式分解吗？）上式能用完全平方公式分解吗？ 不能不能 （2 2）常数项）常数项6 6是那两个整数的乘积？是那两个整数的乘积？ 2 2 与与3 , 1 3 , 1 与与5, 5, 1 1与与6, 6, 2 2与与3 3 （3 3）一次项系数）一次项系数5 5是否等于是否等于6 6的两个因数的和？的两个因数的和？ 等于：有等于：有2 23 35 1+5=65 1+5=6 解：解：x x2 2+5x+6=+5x+6=（x+2x+2）（）（x+3x+3） 在数学中，我们发现真理的主要在数学中，我们发现真理的主要 工具是归纳和模拟。工具是归纳和模拟。 拉普拉斯拉普拉斯
