1、6 完全平方公式 a a a a b b b b 1.1.经历探索完全平方公式的过程，进一步增强符号经历探索完全平方公式的过程，进一步增强符号 感和推理能力感和推理能力. . 2.2.会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的 计算计算. . 3.3.了解完全平方公式的几何背景了解完全平方公式的几何背景. . 公式的结构特征公式的结构特征: : a a2 2 b b2 2; ; 左边是两个二项式的乘积左边是两个二项式的乘积, , (a+b)(a(a+b)(a b)b)= 即两数和与这两数差的积即两数和与这两数差的积. . 右边是右边是 两数的平方差两数
2、的平方差. . 2.2.计算：计算： (3)(a+b)(a+b)(3)(a+b)(a+b) (4)(a(4)(a- -b)(ab)(a- -b)b) (1) (a+b)(a(1) (a+b)(a- -b)b) (2) (2) (- -a+b)(a+b)(- -a a- -b)b) 1.1.平方差公式平方差公式 a a 用不同的形式表示田地的总面用不同的形式表示田地的总面 积积, , 并进行比较并进行比较. . a a b b b b (a+b)(a+b)2 2 ； a a2 2 + + a ab b + + a ab b + + b b2 2. . (a+b)(a+b)2 2 = = a a
3、2 2 + + a ab b + + b b2 2. . 2 2 公式公式: : 总面积总面积= 总面积总面积= 直接求：直接求： 间接求：间接求： 2ab2ab 完全平方公式完全平方公式 (1) (1) 你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗? ? (a+b)(a+b)2 2=a=a2 2+ +2 2a ab b+ +b b2 2 ; ; (2)(2) a a2 2 2 2a ab b+ +b b2 2. . 小颖写出了如下的算式小颖写出了如下的算式: : (a (a b)b)2 2= = a+(a+( b)b)2 2， (a(a b)b)2 2= = 她是
4、怎么想的她是怎么想的? ? 你能继续做下去吗你能继续做下去吗? ? 【解析解析】（1 1）(a+b)(a+b)2 2 = = (a+b) (a+b) (a+b)(a+b) = =a a2 2+ab+ab+ ab+bab+b2 2 = =a a2 2+2ab +2ab + b b2 2; ; 利用两数和的利用两数和的 完全平方公式完全平方公式 推证公式推证公式 (a(a b)b)2 2 = = a+( a+( b)b)2 2 = = + + 2 2 +_+_ a a ( ( b)b) ( ( b)b)2 2 = = a a2 2 2ab2ab b b2 2. . + + (2)(2) a a2
5、2 (a+b)(a+b)2 2 = a = a2 2+ +2 2a ab b+ +b b2 2 . . (a(a b)b)2 2 = a = a2 2 2 2a ab b+ +b b2 2 . . a2 ab ab b2 (a+b)(a+b)2 2= = ab ab a a ab b(ab) (ab)2 a a2 2+ +2 2a ab b+ +b b2 2 (a(a b)b)2 2 =a =a2 2 2 2a ab b+ +b b2 2 a a b b a a b b b b b b (a+ +b)2 = a2+ +2ab+ +b2 . (ab)2 = a22ab+ +b2 . 语言表述语言
6、表述: : 两数和两数和 的平方的平方 等于这两数的平方和 等于这两数的平方和 加上加上 这两数乘积的两倍这两数乘积的两倍. . ( (差差) ) ( (减去减去) ) 用自己的语言叙述上面的公式用自己的语言叙述上面的公式 【例例1 1】利用完全平方公式计算利用完全平方公式计算(2x(2x 3)3)2 2. . 完全平方公式的使用与平方差公式的使用一样完全平方公式的使用与平方差公式的使用一样, , 先把要计算的式子与完全平方公式对照先把要计算的式子与完全平方公式对照, , 明确哪个是明确哪个是a , a , 哪个是哪个是b b. . 第一个数第一个数 4x2 2x 的平方的平方, , ( )2
7、 减去减去 第一个数第一个数 与第二个数与第二个数 2x 3 乘积乘积 的的2 2倍倍, , 2 加上加上 + 第二个数第二个数 3 的平方的平方. . 2 = = 12x + 9 . 【解析解析】 (2(2x 3)3)2 2 做题时要边念边写：做题时要边念边写： = = 注意：注意： 【例题例题】 ( (1 1) ) ( ( x x 2 2y y) )2 2 ； ( (2 2) ) ( (2 2xy+xy+ x x ) )2 2 ; ; 计算：计算： (3)(n +(3)(n +1 1) )2 2 n n2 2. . 1 2 1 5 22 2222 1 x -2xy+4y 4 41 4x y
8、 +x y+x 525 2n+1 【跟踪训练跟踪训练】 1.1.指出下列各式中的错误，并加以改正：指出下列各式中的错误，并加以改正： (1) (2a(1) (2a 1)1)2 22a2a2 2 2a2a+1;1; (2) (2a(2) (2a+1)1)2 24a4a2 2 +1 1； (3) (3) ( a a 1)1)2 2 a a2 2 2a2a 1.1. 【能力挑战能力挑战】 【解析解析】 （1 1）第一数平方时）第一数平方时, ,未添括号；未添括号； 第一数与第二数乘积的第一数与第二数乘积的2 2倍少乘了一个倍少乘了一个2 ;2 ; 应改为应改为: :(2a(2a 1)1)2 2 (2
9、a)(2a)2 2 2 22a2a1+1;1+1; （2 2）少了第一数与第二数乘积的）少了第一数与第二数乘积的2 2倍倍( (丢了一项丢了一项);); 应改为应改为: :(2a(2a+1)1)2 2(2a)(2a)2 2+2 22a2a1 1 +1;+1; （3 3）第一数平方未添括号第一数平方未添括号, , 第一数与第二数乘积的第一数与第二数乘积的2 2倍错了符号倍错了符号; ; 第二数的平方这一项错了符号第二数的平方这一项错了符号; ; 应改为应改为: :( ( a a 1)1)2 2( ( a)a)2 2 2 2 ( ( a )a ) 1 1+1+12 2. . 2.2.下列等式是否成
10、立下列等式是否成立? ? 不成立的说明理由不成立的说明理由 (1) (1) ( 4a4a+ +1)1)2 2=(1=(1 4a)4a)2 2； (2) (2) ( 4a4a 1)1)2 2=(4a=(4a+ +1)1)2 2； (3) (4a(3) (4a 1)(11)(1 4a)4a)(4a(4a 1)(4a1)(4a 1)1)(4a(4a 1)1)2 2； (4) (4a(4) (4a 1)(1)( 1 1 4a)4a)(4a(4a 1)(4a1)(4a+ +1).1). 成立成立 理由理由: : 成立成立 (3) (3) 因为因为 (1(1 4a)4a) ( ( 1 1+ +4a)4a)
11、 不成立不成立 (4a(4a 1)1)， 所以所以 (4a(4a 1)(11)(1 4a)4a)(4a(4a 1)1) (4a(4a 1)1) (4a(4a 1)(4a1)(4a 1)1) (4a(4a 1)1)2 2. . 不成立不成立 (4) (4) 右边应为右边应为: : (4a (4a 1)(4a+1).1)(4a+1). (1) (1) 第一天有第一天有 a a 个孩子一起去了老人家，老人一共给了这个孩子一起去了老人家，老人一共给了这 些孩子多少块糖果？些孩子多少块糖果？ a a2 2 (2) (2) 第二天有第二天有 b b个孩子一起去了老人家，老人一共给了这些个孩子一起去了老人家
12、，老人一共给了这些 孩子多少块糖果？孩子多少块糖果？ b b2 2 (3) (3) 第三天这第三天这(a+b)(a+b)个孩子一起去了老人家，老人一共给了个孩子一起去了老人家，老人一共给了 这些孩子多少块糖果？这些孩子多少块糖果？ (a+b)(a+b)2 2 (4) (4) 这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖 果总数哪个多？果总数哪个多？ 第三天多第三天多; ; 多多少？多多少？ 为什么？ 为什么？ 多多2ab.2ab. 因为因为(a+b)(a+b)2 2=a a2 2 + + 2ab + 2ab + b b2 2， 所以所以(a+b)
13、(a+b)2 2 ( a ( a2 2 + + b b2 2 )=a )=a2 2 + 2ab + b+ 2ab + b2 2 a a2 2 b b2 2=2ab. =2ab. 一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人 都要拿出糖果招待他们都要拿出糖果招待他们. .如果来如果来1 1个孩子，老人就给这个孩个孩子，老人就给这个孩 子子1 1块糖果，如果来块糖果，如果来2 2个孩子，老人就给每个孩子个孩子，老人就给每个孩子2 2块糖果块糖果. . 如果来如果来3 3个孩子，老人就给每个孩子个孩子，老人就给每个孩子3 3块糖果，块糖果， 【
14、例例2 2】利用完全平方公式计算：利用完全平方公式计算：(1) 102(1) 1022 2 ; ; (2) (2) 1971972 2. . 【解析解析】 （1 1）1021022 2 =(100+2) =(100+2)2 2 =100=1002 2+2+21001002+22+22 2 =10 000+400+4=10 000+400+4 =10 404.=10 404. （2 2）1971972 2 =(200 =(2003)3)2 2 =200=2002 22 22002003+33+32 2 =40 000=40 0001 200+91 200+9 =38 809.=38 809. 【
15、例题例题】 【例例3 3】计算：计算：(a+b+3)(a+b(a+b+3)(a+b 3). 3). 若不用一般的多项式乘以多项式法则若不用一般的多项式乘以多项式法则, , 怎样用公式来计算怎样用公式来计算? ? 因为两个多项式不同因为两个多项式不同, , 即不能写成即不能写成( )( )2 2的形式的形式, , 故不能用完全平方公式来计算，只能用平方差公式来计算故不能用完全平方公式来计算，只能用平方差公式来计算. . (a+ +b) + +3 (a+ +b) 3 【解析解析】 (a+ +b+ +3) (a+ +b3) = + +3 3 (a+ +b) (a+ +b) =( )2 2 a+ +b
16、 3 =a2 +2ab+b2 9. 【例例4 4】计算：计算：(1) (1) (x(x+ +3)3)2 2 x x2 2; (2) (x; (2) (x+ +5)5)2 2 (x(x 2)(x2)(x 3 3) .) . 【解析解析】 】 （ （1 1）(x(x+ +3)3)2 2 x x2 2 = (x x+ +3 3+ +x x)(x x+ +3 3 x x) = (2x x+ +3 3) 3 3 = 6x6x+ +9;9; （2 2） (x+5)(x+5)2 2- -(x(x- -2)(x2)(x- -3)3) =x=x2 2+10x+25+10x+25- -x x2 2+3x+2x+3
17、x+2x- -6 6 =15x+19.=15x+19. 1.1.（益阳（益阳中考）下列计算正确的是中考）下列计算正确的是( )( ) A.A. B.B. C.C. D.D. 22 222xyxyxy 2 22 2xyxxyy 2 22 2xyxxyy 2 22 xyxy 22 2yxyx 22 2yxyx 22 4yx 22 )()(yxyx 2 =(xy) 22 2yxyx 【解析解析】选选D.D.选项选项A A的正确结果应为的正确结果应为 选项选项B B的正确结果应为的正确结果应为 选项选项C C的正确结果应为的正确结果应为 故故A,B,CA,B,C都是错误的都是错误的. . = , ,故
18、选项故选项D D正确正确. . 2.2.用完全平方公式计算用完全平方公式计算: 101: 1012 2; 98; 982 2. . 3.3. x x2 2 (x(x 3)3)2 2 ; ; (a+b+3)(a(a+b+3)(a b+3)b+3) 答案：答案： (1) 6x(1) 6x- -9 9 (2) a(2) a2 2+6a+6a- -b b2 2+9+9 答案：答案：10 201 9 60410 201 9 604 注意完全平方公式和平方差公式的不同：注意完全平方公式和平方差公式的不同： （1 1）形式不同）形式不同 （2 2）结果不同：）结果不同： 完全平方公式的结果是三项，完全平方公
19、式的结果是三项， 即即 (a (a b)b)2 2a a2 2 2ab+b2ab+b2 2; ; 平方差公式的结果是两项，平方差公式的结果是两项， 即即 (a(a+ +b)(ab)(a b)b)a a2 2 b b2 2. . 2.2.在解题过程中要准确确定在解题过程中要准确确定a a和和b,b,对照公式原形的两边对照公式原形的两边, , 做到不丢项、不弄错符号做到不丢项、不弄错符号,2ab,2ab项不少乘项不少乘2 2是运用完全平方是运用完全平方 公式进行多项式乘法的关键公式进行多项式乘法的关键. . 1.1. 3.3.有时需要进行变形，使变形后的式子符合应用完全平有时需要进行变形，使变形后的式子符合应用完全平 方公式的条件，即为“两数和方公式的条件，即为“两数和( (或差或差) )的平方”，然后应的平方”，然后应 用公式计算用公式计算. .
