1、1 两条直线的位置关系 第二章 相交线与平行线 1.1.经历观察、操作、推理、交流等过程，进一步发展空间观念、经历观察、操作、推理、交流等过程，进一步发展空间观念、 推理能力和有条理表达的能力推理能力和有条理表达的能力. . 2.2.在具体情境中了解相交线、平行、补角、余角、对顶角、垂在具体情境中了解相交线、平行、补角、余角、对顶角、垂 直的定义，知道等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相直的定义，知道等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相 等，理解垂直的性质，并能解决一些实际问题等，理解垂直的性质，并能解决一些实际问题. . 3.3.会借助三角尺、量角器、方格纸画垂线，进一步丰富操作活会
2、借助三角尺、量角器、方格纸画垂线，进一步丰富操作活 动的经验动的经验. . 看一看，它们有什么共同之处？看一看，它们有什么共同之处？ 扶手扶手 双杠双杠 铁轨铁轨 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. . 不相交的直线就是平行线吗？不相交的直线就是平行线吗？ 在同一平面内在同一平面内, ,两条直线的位置关系是平行或相交两条直线的位置关系是平行或相交. . 不一定，必须在同一平面内不一定，必须在同一平面内. . 【定义定义】 【议一议议一议】 找一找，图中有哪些平行线？找一找，图中有哪些平行线？ 1.1.自动扶梯的左、右扶手如果不平行会出现什自动扶梯
3、的左、右扶手如果不平行会出现什 么情况？么情况？ 2.2.铁路的铁轨如果不平行，又会出现什么情况？铁路的铁轨如果不平行，又会出现什么情况？ 【想一想想一想】 生活中处处可见道路、房屋、山川、桥梁生活中处处可见道路、房屋、山川、桥梁. .在大自在大自 然的杰作和人类的创造物中，蕴含着无数的相交线和平然的杰作和人类的创造物中，蕴含着无数的相交线和平 行线行线. . 在这一章里，我们将发现相交线和平行线的一些特在这一章里，我们将发现相交线和平行线的一些特 征，并探索两条直线平行的条件征，并探索两条直线平行的条件. .我们还将利用圆规和我们还将利用圆规和 没有刻度的直尺，尝试着作一些美丽的图案！没有刻
4、度的直尺，尝试着作一些美丽的图案！ 用剪子剪东西时，哪对角同时变大或变小？用剪子剪东西时，哪对角同时变大或变小？ 你能说明理由吗？你能说明理由吗？ 1 2 A D C B O 在图中，还有相等的角吗？这几组相等的在图中，还有相等的角吗？这几组相等的 角在位置上有什么样的关系？你能试着描角在位置上有什么样的关系？你能试着描 述一下吗？述一下吗？ 像像 1 1与与2 2， AOCAOC与与BODBOD 一样，两个角有公共的顶点，它们的两一样，两个角有公共的顶点，它们的两 边互为反向延长线，这样的两个角叫做边互为反向延长线，这样的两个角叫做 对顶角对顶角. . 对顶角相等对顶角相等 定义定义： 性质
5、性质： 因为因为1+AOC=1801+AOC=180 2+AOC=1802+AOC=180 所以所以 1=2( 1=2(同角的补角相等）同角的补角相等） 1.1.你能举出生活中包含对顶角的例子吗？你能举出生活中包含对顶角的例子吗？ 2.2.下图中有对顶角吗？若有，请指出，若没有，请说明理由下图中有对顶角吗？若有，请指出，若没有，请说明理由. . B O A O C 1 2 C B A C 1 2 C A O C 1 2 C O (1)(1) (2)(2) (3)(3) B A 1 3 2 4 B D C O (4)(4) 【做一做做一做】 答案：答案：图（图（4 4）中）中11与与33， 2
6、2 与与4 4分别为对顶角，图分别为对顶角，图 （1 1）（）（3 3）中两角无公共顶点，（）中两角无公共顶点，（2 2）中虽有公共顶点，但）中虽有公共顶点，但 各角两边不互为反向延长线，故都不是对顶角。各角两边不互为反向延长线，故都不是对顶角。 如图所示，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角如图所示，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角 器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数吗？你能说出所器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数吗？你能说出所 量角是多少度吗？你的根据是什么？量角是多少度吗？你的根据是什么？ 方法一方法一：可利用对顶角相等得出可利用对顶角相等得出. . 方法二方法二：可利用补角得出
7、可利用补角得出. . 【议一议议一议】 你玩过“抓老鼠”的游戏吗？游戏是：一个小伙伴将照射你玩过“抓老鼠”的游戏吗？游戏是：一个小伙伴将照射 到室内的光线（图中到室内的光线（图中DODO）用平面镜反射到墙上，另一个小）用平面镜反射到墙上，另一个小 伙伴去抓射到墙上的影子（图中伙伴去抓射到墙上的影子（图中E E处），平面镜移动，影处），平面镜移动，影 子也随之移动，这里的子也随之移动，这里的1=21=2，它们是对顶角吗？，它们是对顶角吗？1 1和和 BOCBOC呢？你能说出图中与呢？你能说出图中与1 1相等和互补的角吗？相等和互补的角吗？ C 墙墙 镜子镜子 太阳光太阳光 反射光线反射光线 A
8、D O B E 1 2 答案：不是答案：不是 是是 22， BOC AOC, DOBBOC AOC, DOB 【跟踪训练跟踪训练】 下面两种相交的情况有什么不同？下面两种相交的情况有什么不同？ 两直线不垂直两直线不垂直 两直线垂直两直线垂直 【议一议议一议】 反射角反射角 = 入射角入射角 入入 射射 角角 反反 射射 角角 入射光线入射光线 反射光线反射光线 法线法线 【合作探究合作探究】 1 4 2 C 3 A D B E F 如果两个角的和是如果两个角的和是 9090，那么称这两，那么称这两 个角互为余角个角互为余角. . 如果两个角的和是如果两个角的和是 180180，那么称这，那么称
9、这 两个角互为补角两个角互为补角. . 3=43=4 入入 射射 角角 反反 射射 角角 3+ +1 1=90 3+ 2 =90 3+ABF=180 3+CBE=180 我们将上述光的反射图形抽象为几何图形我们将上述光的反射图形抽象为几何图形. 图中都有哪些图中都有哪些 角？你能说出角？你能说出 图中的各个角图中的各个角 之间之间都有怎样都有怎样 的关系吗？的关系吗？ A A D D C C E E B B 1 21 2 3 3 4 4 1. 1. 在本图中，有哪些角互在本图中，有哪些角互 为余角？互为补角？为余角？互为补角？ 互余的角有：互余的角有： 1 1与与3 3，2 2与与3 3， 1
10、 1与与4 4，2 2与与4.4. 互补的角有：互补的角有： 3 3与与ABFABF，4 4与与CBECBE， 3 3与与CBECBE，4 4与与ABF.ABF. 3 4 1 2 C A B D E F 【议一议议一议】 2.2.除了除了1=21=2外图中都有哪外图中都有哪 些相等的角？为什么？由此你些相等的角？为什么？由此你 能得到什么结论？能得到什么结论？ 同角的余角相等同角的余角相等 等角的余角相等等角的余角相等 同角的补角相等同角的补角相等 等角的补角相等等角的补角相等 3=43=4 因为因为1=21=2 1+3=901+3=90 2+4=902+4=90 所以所以 3=43=4 AB
11、F=CBEABF=CBE 因为因为3=43=4 ABF+3=180ABF+3=180,CBE+4=180,CBE+4=180 所以所以ABF=CBEABF=CBE 3 4 1 2 C A B D E F （1 1）3030,70,70与与8080的和为平角的和为平角, ,所以这三个角互补所以这三个角互补. .（ ） （2 2）一个角的余角必为锐角）一个角的余角必为锐角. . （ ） （3 3）一个角的补角必为钝角）一个角的补角必为钝角. . （ ） （4 4）9090的角为余角的角为余角. .（ ） （5 5）两角是否互补既与其大小有关又与其位置有关）两角是否互补既与其大小有关又与其位置有关.
12、 .（ ） 注意：注意：互余与互补是指两个角之间的数量关系，与它互余与互补是指两个角之间的数量关系，与它 们的位置无关们的位置无关. 判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确 【做一做做一做】 4.4.怎样用符号表示两条直线的垂直关系？怎样用符号表示两条直线的垂直关系？ 1.1.什么叫做两条直线互相垂直？什么叫做两条直线互相垂直？ 2.2.你能用三角尺、直尺、量角器画出互相垂直的直线吗？你能用三角尺、直尺、量角器画出互相垂直的直线吗？ 5.5.过一点能画多少条已知直线的垂线？过一点能画多少条已知直线的垂线？ 6.6.你是如何理解点到直线的距离的？你是如何理解点到直线的距离的？ 3.3.用折纸法
13、折出垂线用折纸法折出垂线. . 【自学提纲自学提纲】 定义：两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，定义：两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角， 那么称这两条直线互相那么称这两条直线互相垂直垂直. .其中的一条直线叫做另其中的一条直线叫做另 一条直线的一条直线的垂线垂线. .它们的交点叫做它们的交点叫做垂足垂足. . o l m m 【新知探究新知探究】 （1 1）你能用三角尺在白纸上画出两条互相垂直的直线吗？）你能用三角尺在白纸上画出两条互相垂直的直线吗？ （3 3）如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的）如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的 直线吗？直线吗？ （2
14、2）你能用量角器在白纸上画出两条互相垂直的直线吗？）你能用量角器在白纸上画出两条互相垂直的直线吗？ 【做一做做一做】 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 用三角尺作两条互相垂直的直线用三角尺作两条互相垂直的直线 试讨论一下，有几种画法？试讨论一下，有几种画法？ A A B B 怎样再取两点怎样再取两点 C,DC,D才能使才能使CDABCDAB？ 若取定若取定A A，B B 两点两点, , 有什么规律？有什么规律？ 横横4 4 竖竖3 3， 横 横3 3竖竖4 .4 . C C D D 在方格纸上画两垂直的直线在方格纸上画两垂直的直线 【
15、画一画画一画】 根据图示能折出互相垂直的线，您不妨根据图示能折出互相垂直的线，您不妨 试试看！试试看！ 【折一折折一折】 O O D D C C B B A A m m n n 图中，直线图中，直线ABAB与直线与直线CDCD垂直垂直 记作：记作： ABCDABCD； 直线直线 m m 与直线与直线 n n 垂直垂直 记作：记作：m mn n ； 互相垂直的两条直线的交点叫做垂足互相垂直的两条直线的交点叫做垂足. . 注意注意 “”“”是“垂直”的记号，是“垂直”的记号， 而“而“ ” 是图形中“垂直”是图形中“垂直”( (直角直角) )的标记的标记. . 垂直的表示垂直的表示 结论：结论：
16、在图中过点在图中过点A A作作m m的垂线，你能作多少条？的垂线，你能作多少条？ A A m m m m 在同一个平面内，过一点有且只有一条直线与已知直在同一个平面内，过一点有且只有一条直线与已知直 线垂直线垂直. . . . A A 【想一想想一想】 看图回答：看图回答： 你能用一句话表示这个结论吗？你能用一句话表示这个结论吗？ P P A A B B C C m m D D 垂线段垂线段PBPB的长度叫做点的长度叫做点P P到直线到直线m m的距离的距离. . 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. . 直线外一点与直线上各点连接的所有线
17、段中，垂线段最短直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短. . 线段线段PA,PB,PC,PDPA,PB,PC,PD谁最短？谁最短？ 点到直线的距离点到直线的距离 结论：结论： 【例例】作一条直线作一条直线 l，在直线，在直线l上取一点上取一点A A， l A A B B 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 在在l外取外取一点一点B B，试分别过点，试分别过点A A，B B用三角尺用三角尺作直线的垂线作直线的垂线. 【例题例题】 找出
18、下图中互相垂直的直线找出下图中互相垂直的直线. . （1 1） （2 2） A A B B C C D D A A B B C C D D O O 【跟踪训练跟踪训练】 1.1.（宁波（宁波中考）如图，直线中考）如图，直线ABAB 与直线与直线CDCD相交于点相交于点O O，E E是是AODAOD内一内一 点，已知点，已知OEABOEAB，BOD=45BOD=45，则，则 COECOE的度数是（的度数是（ ） A.125A.125 B.135B.135 C.145C.145 D.155D.155 【解析解析】选选B.AOC=BOD=45B.AOC=BOD=45，COE=AOC+AOE=COE=
19、AOC+AOE= 135135. . 2.2.（郴州（郴州中考）如图，直线中考）如图，直线l1 1与与l2 2相交于点相交于点O O， ，若，若 ，则，则 等于（等于（ ） A.56A.56 B.46B.46 C.45C.45 D.44D.44 【解析解析】选选B. B. 因为因为的对顶角与的对顶角与互余，所以互余，所以 =90=90- -=90=90- -4444=46=46. . 1 OMl 44 M 3.3.（西安（西安中考）如图，点中考）如图，点O O在直线在直线ABAB上，且上，且OCODOCOD，若，若 COA=36COA=36，则，则DOBDOB的大小为（的大小为（ ） A A3
20、636 B B5454 C C6464 D D7272 【解析解析】选选B.B.因为因为OCODOCOD，所以，所以 COD=90COD=90，又因为，又因为AOB=180AOB=180， 所以所以DOB=AOBDOB=AOBCODCOD COA=180COA=18090903636=54=54. . 4.4.点点P P是直线是直线l外一点，点外一点，点A A，B B，C C是直线是直线l上三点，且上三点，且PA=10PA=10， PB=8PB=8，PC=6PC=6，那么点，那么点P P到直线到直线l的距离为（的距离为（ ）. . A.6 B.8 A.6 B.8 C.C.大于大于6 6的数的数
21、 D.D.不大于不大于6 6的数的数 【解析解析】选选D.D.根据根据“垂线段最短垂线段最短”，垂线段的长度一定小于，垂线段的长度一定小于 或等于或等于6 6，即为不大于，即为不大于6 6的数的数. . 5.5.在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系可能在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系可能 是是 . . 6.6.在同一平面内在同一平面内, ,两条相交直线公共点的个数是两条相交直线公共点的个数是_;_; 两条平行直线的公共点的个数是两条平行直线的公共点的个数是_;_;两条直线重合两条直线重合, , 公共点有公共点有_个个. . 相交或平行相交或平行 1 1个个 0 0个个 无数无数 7
22、.7.（长沙（长沙中考）如图，中考）如图，O O为直线为直线ABAB上一点，上一点， BOC=26BOC=263030则则1 1 【解析解析】由图得由图得1 1与与BOCBOC互为补角，所以互为补角，所以1=1801=180- - BOC=180BOC=180- -262630=15330=15330.30. 答案：答案：1531533030 1 O C BA 8 8（娄底（娄底中考）如图，直线中考）如图，直线ABAB，CDCD相交于点相交于点O O，OEOE平分平分 AODAOD，若，若BOD=100BOD=100，则，则AOE=_.AOE=_. 【解析解析】因为因为AOD+BOD=180A
23、OD+BOD=180，所以，所以AOD=180AOD=180- - 100100=80=80. .因为因为OEOE平分平分AODAOD，所以，所以AOE= AOD=40AOE= AOD=40 答案：答案：4040 1 2 一、余角、补角、对顶角的概念：一、余角、补角、对顶角的概念： 二、余角、补角、对顶角的性质：二、余角、补角、对顶角的性质： 1.1. 和为和为9090的两个角称互为余角；的两个角称互为余角； 2.2. 和为和为180180的两个角称互为补角；的两个角称互为补角； 3.3. 有公共顶点，且两边互为反向延长线的两个角称有公共顶点，且两边互为反向延长线的两个角称 为对顶角为对顶角 1.1. 同角或等角的余角相等；同角或等角的余角相等； 2.2. 同角或等角的补角相等；同角或等角的补角相等； 3.3. 对顶角相等对顶角相等. . 1.1.垂直定义；垂直定义； 2.2.垂直的画法；垂直的画法； 3.3.垂直的记法；垂直的记法； 4.4.垂直的一个结论；垂直的一个结论； 5.5.点到直线的距离点到直线的距离. . 三、垂直的相关知识：三、垂直的相关知识：
