1、1.1 1.1 等腰三角形等腰三角形 第一章 三角形的证明 情景情景 引入引入 合作合作 探究探究 课堂课堂 小结小结 随堂随堂 训练训练 第第1 1课时课时 三角形的全等和等腰三角形的性质三角形的全等和等腰三角形的性质 情景引入情景引入 首页首页 下载图片 合作探究合作探究 全等三角形的判定和性质全等三角形的判定和性质 定理：两角分别相等且其中一组灯脚的对边相等定理：两角分别相等且其中一组灯脚的对边相等 的两个三角形全等的两个三角形全等 全等三角形的对应边相等、对应角相等全等三角形的对应边相等、对应角相等 首页首页 等腰三角形等腰三角形 你知道什么是等腰三角形吗你知道什么是等腰三角形吗? 有
2、两条边相等的三角形叫做等腰三角形。有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 A B C 腰腰 腰腰 底边底边 底底 角角 顶顶角角 相等的两条边相等的两条边AB和和AC叫做腰叫做腰; 另一条边另一条边BC叫做底边叫做底边; 两腰所夹的角两腰所夹的角BAC叫做顶角叫做顶角; 底边与腰的夹角底边与腰的夹角ABC和和 ACB叫做底角叫做底角. 如图，如图，ABC中中,AB=AC，那么，那么ABC就就 是等腰三角形。是等腰三角形。 只有等腰三角形才有底角和底边只有等腰三角形才有底角和底边. A B C D 如图如图:在三角形在三角形ABC中，中，AB=AC，且，且AD=BD，请大家，请大家 数一数，这个图
3、形中一共有多少个等腰三角形？数一数，这个图形中一共有多少个等腰三角形？ ABC（AB=AC），），ADB（AD=BD） 若将条件改为若将条件改为AB=AC ,AD=BD=BC，则有多，则有多 少个等腰三角形？少个等腰三角形？ ABC（AB=AC） ADB（AD=BD） BDC （BD=BC） 材料材料: 剪刀、一张矩形纸剪刀、一张矩形纸 方法方法：（：（1）先将矩形纸按图中虚线对折；先将矩形纸按图中虚线对折； （2）剪去阴影部分；）剪去阴影部分； （3）将剩余部分展开。）将剩余部分展开。 大胆猜测大胆猜测 请同学们拿出你们刚剪好的等腰三角形请同学们拿出你们刚剪好的等腰三角形 纸片纸片,它除了两
4、腰相等以外它除了两腰相等以外,你还能发你还能发 现什么现什么? A B C 如果一个图形沿如果一个图形沿一条直线直线折叠折叠,直线直线 两旁的部分能够互相重合两旁的部分能够互相重合,我们就说我们就说这个这个 图形图形关于这条直线对称关于这条直线对称,那么这个图形就那么这个图形就 叫叫轴对称图形轴对称图形,这条直线叫这条直线叫对称轴对称轴.互相重互相重 合的点是对应点合的点是对应点,叫做叫做对称点对称点. 设问：你发现了什么现象，设问：你发现了什么现象， 猜想等腰猜想等腰ABC有哪些性质？有哪些性质？ 角角: B = C BAD=CDA ADC= ADB=900 边边: BD = CD 两个底角
5、相等两个底角相等 AD为顶角为顶角BAC的平分线的平分线 AD为底边为底边BC上的高上的高 AD为底边为底边BC上的中线上的中线 结论结论: 等腰三角形是轴对称图形等腰三角形是轴对称图形； 等腰三角形性质等腰三角形性质 性质性质1 等腰三角形的等腰三角形的两个底角相等两个底角相等（简写成“（简写成“等边对等边对 等角等角”）；”）； 性质性质2 等腰三角形的等腰三角形的顶角平分线顶角平分线、底边上的中线、底底边上的中线、底 边上的高边上的高互相重合。（可简记为“互相重合。（可简记为“三线合一三线合一”）”） 证明：证明： 作顶角的平分线作顶角的平分线AD. 在在BAD和和CAD中，中， AB=
6、AC ( 已知已知 ), 1= 2 ( 辅助线作法辅助线作法 )， AD=AD (公共边公共边) , BAD CAD (SAS). B= C (全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等). 已知：已知： ABC中，中，AB=AC. 求证：求证： B= C. A B C 1 2 证明：等腰三角形的两个底角相等证明：等腰三角形的两个底角相等 作顶角的平分线作顶角的平分线 D 证明：证明： 作底边中线作底边中线AD. 在在BAD和和CAD中，中， AB=AC ( 已知已知 ), BD=CD ( 辅助线作法辅助线作法 )， AD=AD (公共边公共边) , BAD CAD (SSS). B= C
7、(全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等). 已知：已知： ABC中，中，AB=AC. 求证：求证： B= C. A B C D 证明：等腰三角形的两个底角相等证明：等腰三角形的两个底角相等 作底边中线作底边中线 证明：证明： 作底边高线作底边高线AD. AB=AC ( 已知已知 ), AD=AD (公共边公共边) , Rt BAD Rt CAD (HL). B= C (全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等). 已知：已知： ABC中，中，AB=AC. 求证：求证： B= C. A B C D 证明：等腰三角形的两个底角相等证明：等腰三角形的两个底角相等 作底边的高线作底边的高线
8、 在在RtBAD和和RtCAD中，中， 等腰三角形的性质等腰三角形的性质 1 等腰三角形的两等腰三角形的两 个底角相等个底角相等（等边（等边 对等角）对等角） 2等腰三角形顶角的等腰三角形顶角的 平分线，底边上的平分线，底边上的 中线和底边上的高中线和底边上的高 互相重合互相重合（等腰三（等腰三 角形三线合一）角形三线合一） 例例1 在三角形在三角形ABC中，已知中，已知AB=AC， 且且B=80 ，则，则C= _度，度， A=_度？度？ AB=AC（已知）（已知） B=C（等边对等角）（等边对等角） B=80 （已知）（已知） C=80 又又A+B+C=180 （三角形内角和为（三角形内角和
9、为180 ） A=180 BC A=20 B C A 等腰三角形的性质等腰三角形的性质 1 等腰三角形的两等腰三角形的两 个底角相等个底角相等（等边（等边 对等角）对等角） 2等腰三角形顶角等腰三角形顶角 的平分线，底边上的平分线，底边上 的中线和底边上的的中线和底边上的 高互相重合高互相重合（等腰（等腰 三角形三线合一）三角形三线合一） 操练操练1 在三角形在三角形ABC中，已知中，已知AB=AC， 且且 A=50 ，则，则B=度，度， C=度？度？ C B A AB=AC（已知）（已知） B=C（等边对等角）（等边对等角） 又又A+B+C=180 （三角形内角和为（三角形内角和为180 ）
10、 A=50 （已知）（已知） B=65 C=65 等腰三角形的性质定理等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等 （简写成“等边对等角”“等边对等角”） 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底 边边. 等腰三角形的等腰三角形的顶角平分线顶角平分线、底边上的中线底边上的中线、 底边上的高底边上的高互相重合互相重合. “三线合一”三线合一” 课堂小结课堂小结 首页首页 通过本节课的学习，你有哪些收获？通过本节课的学习，你有哪些收获？ 性质性质1：等边对等角：等边对等角 性质性质2：“三线合一”：“三线合一” 常用来证明两常用
11、来证明两 角相等，求等角相等，求等 腰三角形各角腰三角形各角 的度数的度数 研究等腰三角研究等腰三角 形的有关问题形的有关问题 时“三线”是时“三线”是 常用的辅助常用的辅助 线线 等等 腰腰 三三 角角 形形 1.判断下列语句是否正确。判断下列语句是否正确。 （1）等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合。）等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合。 （ ） （2）有一个角是）有一个角是60的等腰三角形，其它两个的等腰三角形，其它两个 内角也为内角也为60. （ ） （3）等腰三角形的底角都是锐角）等腰三角形的底角都是锐角. （ ） （4）钝角三角形不可能是等腰三角形）钝角三角形不可能是等腰三角
12、形 . （ ） 随堂训练随堂训练 首页首页 2. 在三角形在三角形ABC中，中，AB=AC，且，且AD BC，已知，已知 BD=2cm,求求DC=_cm, BC=_cm？ C B D A 1 2 AB=AC ,AD BC（已知）（已知） BD=CD（等腰三角形的高与底边（等腰三角形的高与底边 上的中线重合）上的中线重合） 即（等腰三角形三线合一）即（等腰三角形三线合一） BD=2cm（已知）（已知） CD=2cm 3.已知已知AD BC,试找出等腰三角形试找出等腰三角形 ABC （AB=AC）中，存在相等关系）中，存在相等关系 的量。的量。 C B D A 1 2 B=C 1=2 BDA=CD
13、A=90 BD=CD 4. 根据等腰三角形的性质根据等腰三角形的性质,在在ABC中，中， AB=AC时，时， (1) ADBC，_ = _，_= _. (2) AD是中线，是中线，_ ，_ =_. (3) AD是角平分线，是角平分线，_ _ ，_ =_. A B C D BAD CAD CAD BD CD AD BC BD BAD BC AD CD 5. 如图，在等腰三角形如图，在等腰三角形ABC中，中，AB=AC，D为为BC的中点，的中点， 则点则点D到到AB，AC的距离相等。请说明理由。的距离相等。请说明理由。 A E F B D C 解：相等，理由如下：解：相等，理由如下： 连接连接AD 在在ABC中，中， AB=AC，D为为C中点中点 AD平分平分BAC DEAB，DFAC DE=DF
