1、 2021-2022 学年第一学期福州市高一期末质量抽测学年第一学期福州市高一期末质量抽测 数学试卷数学试卷（完卷时间（完卷时间 120 分钟，满分：分钟，满分：150 分）分）友情提示：请将所有答案填写到答题卡上友情提示：请将所有答案填写到答题卡上!请不要错位、难界答题请不要错位、难界答题!一、选择题：本照共一、选择题：本照共 8小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项在每小题给出的四个选项中，只有一项提符合题目要求的中，只有一项提符合题目要求的.1.sin120=（）A.12 B.12 C.32 D.32【答案】D【解析】【分析】根据诱导公式以及特殊角
2、的三角函数值，即可容易求得结果.【详解】因为()3sin120sin 18060sin602=.故选：D.2.设集合2340Ax xx=，3Bx x=，则AB=（）A.1x x B.|4x x C.41|xx D.|13xx 【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式求出集合 A，利用交集定义和运算计算即可【详解】由题意可得|14Axx=，则|13ABxx=，210 x ”的否定是（）A.0 x，210 x B.0 x，210 x C.0 x，210 x D.0 x，210 x 【答案】C【解析】【分析】利用全称量词的命题的否定解答即可.【详解】解：因为全称量词的命题的否定是存在量词的命题，命
3、题“0 x，210 x ”是全称量词的命题，所以其否定是“0 x，210 x ”.故选：C 4.“四边形是菱形”是“四边形是平行四边形”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由菱形和平行四边形的定义可判断.【详解】解：四边形是菱形则四边形是平行四边形，反之，若四边形是平行四边形则四边形不一定是菱形，所以“四边形是菱形”是“四边形是平行四边形”充分不必要条件.故选：A.5.已知函数()2,0,2,02.xxxf xx+=以下关于()f x的结论正确的是（）A.若()2f x=，则0 x=B.()f x的值域为(),4 C.(
4、)f x在(),2上单调递增 D.()2f x 的解集为()0,1【答案】B【解析】【分析】A选项逐段代入求自变量的值可判断;B选项分别求各段函数的值域再求并集可判断;C选项取特值比较大小可判断不单调递增;D 选项分别求各段范围下的不等式的解集求并集即可判断.【详解】解:A选项:当0 x 时,若()2f x=,则0 x=;当02x时,若()2f x=,则1x=,故 A 错误;B选项:当0 x 时,()2f x;当02x时,()14f x,故()f x的值城为(),4,B正确;C选项:当0 x=时,()2f x=,当1x=时,()2f x=,()f x在(),2上不单调递增,故 C错误;的 D选
5、项:当0 x 时,若()2f x,则0 x;当02x时,若()2f x,则01x,故()2f x 解集为()0,1(),0,故 D错误;故选:B.6.已知函数()()ln 1xf xxx=+，则()f x的大致图像为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】计算1(1),()2ff 的值即可判断得解.【详解】解：由题得()1110ln2 1ln2lnef=+,所以排除选项 C.故选：B 7.设30.12a=，0.43b=，0.4log0.12c=，则 a，b，c的大小关系为（）A.abc B.bac C.acb D.cab【答案】A【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的单调性得出,a b
6、 c的范围，然后即可得出,a b c的大小关系.的【详解】由题意知，3000.120.121=，即01a，00.40.5133332=，即12b，0.40.4log0.121 log0.3=+，又0.40.40.41log0.4log0.3log0.162=，即23c，abc 故选：A 8.已知函数()()()()()()()33f xxxexexxx=+的零点1x，2x（12xx B.123xxe C.21xxe D.12xx+，(0)3ee30f=+，(e)(e)(e3)0f=+，所以(3)(0)0(e)()0ffff，因为3 0、e(,1)3+，e、e(1,)3+，所以1230exx，所
7、以120 x x，故 A错误；1123eexxx且21xy+=，则（）A.18xy B.22xy+C.1210 xy+D.22142xy+【答案】ABD【解析】【分析】根据题意，由基本不等式和不等式的性质依次分析选项，综合可得答案【详解】根据题意，依次分析选项：对于 A，若x，0y，1122 28xyxyxy=+，当且仅当122xy=时等号成立，A正确；对于 B，()22222xyxyxyxy+=+=+，121,8xyxy+=，12212 212 228xyxyxy+=+=，B正确；对于 C，121222()(2)5549yxyxxyxyxyxyxy+=+=+=，当且仅当13xy=时等号成立，
8、C错误；对于 D，21xy+=，则有2(2)1xy+=，变形可得22441xyxy+=，故22111414242xyxy=+，当且仅当122xy=时，取等号，故 D正确；故选：ABD 12.边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有 十分广泛的应用，函数()f x的边际函数()Mf x定义为()()()1Mf xf xf x=+某公司每月最多生产 75 台报警系统装置，生产x台()*Nx的收入函数()2300020R xxx=（单位：元），其成本的数()5004000C xx=+（单位：元），利润是收入与成本之差，设利润函数为()P x，则以下说法正确的是（）A
9、.()P x取得最大值时每月产量为63台 B.边际利润函数的表达式为()()*248040NMP xx x=C.利润函数()P x与边际利润函数()MP x不具有相同的最大值 D.边际利润函数()MP x说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少【答案】BCD【解析】【分析】求出函数()P x、()MP x的解析式，可判断 B选项；利用二次函数的基本性质可判断 A选项；求出利润函数()P x与边际利润函数()MP x的最大值，可判断 C 选项；利用边际利润函数()MP x的单调性可判断 D 选项.【详解】对于 A选项，()()()22025004000P xR xC xxx=+，二次函
10、数()P x的图象开口向下，对称轴为直线250062.540 x=，因Nx，所以，()P x取得最大值时每月产量为63台或62台，A错；对于 B选项，()()()()()()2212012500140002025004000MP xP xP xxxxx=+=+()248040Nx x=，B 对；对于 C选项，()()()max626374120P xPP=，因为函数()248040MP xx=为减函数，则()()max12440MP xMP=，C对；对于 D选项，因为函数()248040MP xx=为减函数，说明边际利润函数()MP x说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少，D对.
11、故选：BCD.三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4小题，每小圈小题，每小圈 5 分，共分，共 20 分分.为 13.lg4lg25+=_.【答案】2【解析】【分析】由对数的运算法则直接求解.【详解】()lg4lg25lg 4 25lg1002+=故答案为：2 14.要在半径60OA=cm的圆形金属板上截取一块扇形板，使弧 AB 的长为50 cm，那么圆心角AOB=_ （用弧度表示）【答案】56【解析】【分析】由弧长公式变形可得：lr=，代入计算即可.【详解】解：由题意可知：AOB=505606=（弧度）.故答案为：56.15.函数()()sin0,2f xx=+=，把7(,1)12代入函数
12、解析式中，得775sin(2)122212122233kk+=+=【答案】()3 2xf x=（答案不唯一，形如()()1,1xf xm ama=均可）【解析】【分析】由指数函数的性质以及运算得出()3 2xf x=.【详解】对函数()3 2xf x=，因为2xy=在 R上单调递增，所以()f x在 R上单调递增；()()()()1212120129 2303 23 2xxxxf xf xff xx+=+，()031f=.故答案为：()3 2xf x=（答案不唯一，形如()()1,1xf xm ama=均可）四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说
13、明、证明过程解答应写出文字说明、证明过程或演算或演算步骤步骤.17.已知角的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边过点3 4,5 5P（1）求()cos+的值；（2）若tan2=，求()tan的值【答案】（1）35；（2）-2.【解析】【分析】（1）先利用三角函数的坐标定义求出3cos5=，再利用诱导公式求解；（2）求出4tan3=，再利用差角正切公式求解.【小问 1 详解】解：由于角的终边过点3 4,5 5P，由三角函数的定义可得3cos5=，则()3coscos5+=【小问 2 详解】解：由已知得4tan3=，则()()42tantan3tan281tantan13=+18
14、.已知函数()()2Rxaf xax+=，且()15f=（1）求 a 的值；（2）判断()f x在区间()0,2上单调性，并用单调性的定义证明你的判断【答案】（1）4 （2）()4f xxx=+在区间()0,2上单调递减，证明见解析【解析】【分析】（1）直接根据()15f=即可得出答案；（2）对任意()12,0,2x x，且12xx，利用作差法比较()()12,f xf x的大小关系，即可得出结论.【小问 1 详解】解：由()15f=得15a+=，解得4a=；【小问 2 详解】解：()f x在区间()0,2内单调递减，证明：由（1）得()244xf xxxx+=+，对任意()12,0,2x x
15、，且12xx，有()()()()()()2112121212121212124444=+=+=xxxxx xfxfxxxxxxxx xx x，的的 由1x，()20,2x，得1204x x，1240 x x，又由12xx，得120 xx，即()()12f xf x，所以()4f xxx=+在区间()0,2上单调递减 19.已知函数()23sin22cos2f xxx=+（1）求()fx的最小正周期；（2）将()yf x=的图象上的各点_得到()yg x=的图象，当,6 4x 时，方程()g xm=有解，求实数 m的取值范围 在以下、中选择一个，补在（2）中的横线上，并加以解答，如果、都做，则按
16、给分.向左平移6个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半 纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的 2倍，再向右平移6个单位【答案】（1）；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）根据三角恒等变换化简()f x，再求其最小正周期即可；（2）选择不同的条件，根据三角函数的图象变换求得()g x的解析式，再求其在区间,6 4 上的值域即可.【小问 1 详解】因为()23sin22cos23sin2cos232sin 236f xxxxxx=+=+=+所以函数()fx的最小正周期22T=【小问 2 详解】若选择，由（1）知()2sin 236f xx=+，那么将()fx图象上各点向左平移6个单位，
17、再保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半，得到()2cos43g xx=+当,6 4x 时，可得24,3x，cos41,1x，()1,5g x，由方程()g xm=有解，可得实数 m的取值范围为1,5 若选择，由（1）知()2sin 236f xx=+，那么将()fx图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的 2倍，再向右平移6个单位，得到()2sin3g xx=+当,6 4x 时，12sin,22x，()2,32g x+，由方程()g xm=有解，可得实数 m的取值范围为2,32+20.已知函数()f x是定义在R上的偶函数，当0 x 时，()23xf x=+（1）求()f x的解析式；（
18、2）解不等式()()22fxf x【答案】（1）()23xf x=+；（2）()22,log 3log 3,+.【解析】【分析】（1）利用偶函数的定义可求得函数()f x在(),0上的解析式，综合可得出函数()f x的解析式；（2）令21xt=，则所求不等式可变为2230tt，求出t的取值范围，可得出关于x的不等式，解之即可.【小问 1 详解】解：因为数()f x是定义在 R 上的偶函数，当0 x，()23xf x=+，则当0 x，()()2323xxf xfx=+=+.因此，对任意的Rx，()23xf x=+.【小问 2 详解】解：由（1）得()23xf x=+，所以不等式()()()222
19、232 23xxfxf x+，即222 230 xx，令2xt=，则1t，于是2230tt，解得3t，所以2log 3x，得2log 3x 或2log 3x ，从而不等式()()22fxf x的解集为()22,log 3log 3,+21.筒车是我国古代发哪的一种水利灌溉工具，因其经济环保，至今还在农业生产中得到使用明朝科学家徐光启在农政全书中描绘了筒车的工作原理如图 1是一个半径为R（单位：米），有 24个盛水筒的筒车，按逆时针方向匀速旋转，转一周需要 120秒，为了研究某个盛水筒 P 离水面高度 h（单位，米）与时间 t（单位：秒）的变化关系，建立如图2 所示的平面直角坐标系 xOy已知0
20、=t时 P的初始位置为点()2,2 3A（此时 P 装满水）.（1）P从出发到开始倒水入槽需要用时 40秒，求此刻 P 距离水面的高度（结果精确到0.1）；（2）记与 P相邻的下一个盛水筒为 Q，在筒车旋转一周的过程中，求 P与 Q距离水面高度差的最大值（结果精确到 0.1）参考数据：21.41，31.73，sin0.2612，sin0.1324【答案】（1）6.9m （2）1.0m【解析】【分析】（1）根据题意 P从出发到开始倒水入槽用时 40 秒，可知线段 OA按逆时针方向旋转了23，由()2,2 3A，可求圆的半径，由题意可知以 OA为终边的角为3，由此即可求出 P 距离水面的高度；（2
21、）由题意可知 P 转动的角速度为60rad/s，易知 P开始转动 t秒后距离水面的高度1h的解析式，设 P，Q 两个盛水筒分别用点 B，C表示，易知22412BOC=，点 C 相对于点 B 始终落后12rad，求出 Q距离水面的高度2h，可得则 P，Q距离水面的高度差12Hhh=，再根据三角函数的性质，即可求出结果.【小问 1 详解】解：由于筒车转一周需要 120秒，所以 P从出发到开始倒水入槽的 40 秒，线段 OA按逆时针方向旋转了40221203=，因为 A 点坐标为()2,2 3，得()2222 34R=+=，以 OA为终边的角为3，所以 P 距离水面的高度24 sin2 34 36.
22、933=+=m【小问 2 详解】解：由于筒车转一周需要 120秒，可知 P转动的角速度为60rad/s，又以 OA 为终边的角为3，则 P开始转动 t秒后距离水面的高度14sin2 3603ht=+，0120t 如图，P，Q 两个盛水筒分别用点 B，C 表示，则22412BOC=，点 C 相对于点 B 始终落后12rad，此时 Q距离水面的高度254sin2 36012ht=+则 P，Q 距离水面的高度差 12554 sinsin4 sinsin60360126031260Hhhtttt=+，0120t 利用sinsin2sincos22+=，可得38sincos21608Ht=当30608t
23、=或3608t=，即22.5t=或82.5t=时，H最大值为8sin1.024 所以，筒车旋转一周的过程中，P与 Q距离水面高度差的最大值约为1.0m 22.已知函数()22log2xg xx=+（1）证明：()()22g xgx+=；（2）若存在一个平行四边形的四个顶点都在函数()f x的图象上，则称函数()f x具有性质 P，判断函数()g x是否具有性质 P，并证明你的结论；（3）设点()4,0A，函数()()2h xg x=设点 B是曲线()yh x=上任意一点，求线段AB 长度的最小值【答案】（1）证明见解析；（2）函数()g x具有性质 P，证明见解析；（3）min2 3AB=.【
24、解析】【分析】（1）直接利用对数的运算求解；（2）取函数()g x图象上四个点，证明函数()g x具有性质 P；（3）设0002,2xB xx+（02x），求出()()()22002001616|2424422ABxxxx=+,再换元利用二次函数求函数的最值得解.【小问 1 详解】解：()()()222222loglog2xxg xgxxx+=+()22222loglog 422xxxx=【小问 2 详解】解：由（1）知，()g x的图象关于点()1,1M 中心对称，取函数()g x图象上两点()2,0C，()4,2D，显然线段 CD的中点恰为点 M；再取函数()g x图象上两点2,13E，8,33F，显然线段 EF 的中点也恰为点 M 因此四边形 CEDF 的对角线互相平分，所以四边形 CEDF 为平行四边形，所以函数()g x具有性质 P【小问 3 详解】解：()()222g xxh xx=+，则0002,2xB xx+（02x），则()()2222222000000002244442222xxABxxxxxx=+=+=+()()()20020016162424422xxxx=+，记02xt+=（0t），则222216164448416ABtttttttt=+=+，记4tut=，则()222416212ABuuu=+=+，所以，当2u=，即035x=时，min2 3AB=
