1、20.(12分）如图1,在边长为2的菱形ABCD中，LDAB=60,点M,N分别是边BC,CD上的点，且MNIIBD,AcnMN=G.沿MN将6.CMN翻折到6.PMN的位置，连接PA,PB,PD,得到如图2所示的五棱锥PABMND.P(C)(1)在翻折过程中是否总有BD1-平面PAG?证明你的结论；、MN(2)若平面PMN上平面ABMND,记入，入E(0,1),试探究：随着A值的变化，二面BD 角B-PM-N的大小是否改变？如果改变，请说明理由；如果不改变，请求出二面角B-PM-N的余弦值21.(12分）已知椭圆C:+L=1(a b 0)的右焦点为F,上顶点为Bl下顶点为B2,L.B1F B
2、2 矿b2为等腰直角三角形，且直线FBI与圆x2+y2=1相切(1)求椭圆C 的方程；(2)过P(0,2)的直线l交椭圆C千D,E两点（异千点Bi,B2),直线B1E,B心相交千点Q,证明：点Q 在一条平行千x轴的直线上22.(12分）已知函数f(x)=-(a+l)x+Inx,cp(x)=旦x2+x+!_,(a ER).2 2(1)求函数f(x)的单凋区间；1 1(2)当a4时，若方程f(x)+cp(x)=0在(0,1)内存在唯一实根Xo求证：X。E(曰数学试题卷第4页（共4页）数学参考答案 第 1 页（共 8 页）A 佳教育2022 年 12 月高三月考测试卷 数学参考答案数学参考答案 一、
3、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的要求的 1D【解析】2|1,11,Ax yx ，|3,10 3xBy yx，所以1,3AB，故选：D 2C【解析】23i(23i)iii iz32i32i,32i1 z,32i z，13z，故选：C 3B【解析】由 A，B，C 三点共线的充要条件是ABmBC且Rm，所以1mm，故1.故选：B.4B【解析】圆台的体积22114 52 52523T ，圆锥的体积22156503T ，总体积为312102 cmTT
4、T，故选：B.5A【解析】因为对任意xR，都有31fxf x 所以函数()f x的图象关于直线 x=2 对称.又函数1f x的图象关于点1,0对称，则函数()f x的图象关于点(0,0)对称，即函数()f x为奇函数，所以(4)()()f xfxf x，所以(8)(4)()f xf xf x，所以 8 是函数()f x的一个周期，61f8 83f 3313fff ，故选：A.6D【解析】根据“数字黑洞”的定义，任取数字 2023，经过一步之后为 314，经过第二步之后为 123，再变为 123，再变为 123，所以数字黑洞为 123，即 a=123，123coscos44a3cos4221si
5、ncos223sincos23，平方得：21 2sincos1 sin29 7sin29，故选：D.7C【解析】根据题意知：52ca，221ba，故2a，1b，双曲线方程为2214xy，则 A(-2,0)，B(2,0)，设 P(x0，y0)，则220014xy，00 x，00y，00000201020022224yyx yxxxyxkk，根据渐近线方程知：00102yx，故012012xkky.故选：C.8 A【解析】解：因为sin()tancosxf xxx，所以2222cossin()1tancosxxfxxx，因为1nnf afa，所以21tan1tannnaa，即221tantan1n
6、naa，所以2tanna是以 1 为首项，以 1 为公差的等差数学参考答案 第 2 页（共 8 页）数列，所以2tannan，则tannan，所以11tantannnnnbaa1111nnnnnn ，则21232mmTbbbb 213243 212mm 21110m ，60m，故选：A.二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分分 9AB【解析】对
7、于 A.最高温 37出现 4 次，所以最高温的众数为 37，A 正确。对于 B.1(3837373910 x 383938373937)37.9 C，所以B正确；对于C.第9天的温差为8，而第 2 和 8 天的温差为 7，所以 C 不正确；对于 D.最高温的波动比最低温小，所以最高温的方差小于最低温的方差，所以 D 不正确。故选：AB.10ACD【解析】对于 A，点30A，点0 4B，过点 B 作圆O的切线，则切线长为222 3OBr，A 正确；对于 B，以 AB 为直径的圆与圆224Oxy：相交，有两个交点，即满足0PA PB的点P有2 个，B 不正确；对于 C，点0 4B，则圆心到直线l的
8、距离221212543d，所以点 P 到该直线距离的最大值为maxd1222255C 正确；对于 D，AB 的中点 M3,22，2PAPBPM,因为min51222PMOMr，PAPB的最小值是 1，D 正确；故选：ACD 11BC【解析】由函数 sin6f xx(0)，令,62xkkz，则31,3kxkz，函数()f x在区间0,上有且仅有4条对称轴，即3103k 有4个整数k符合，由3103k ，得310103133kk ，则 k=0,1,2,3，即1 3 331 3 4 ，101333，故C 正确；对于 A，0,x，,666x，79,622，当7662，时，()f x在区间(0,)上有且
9、仅有 3 个不同的零点；当9,662 时，()f x在区间(0,)上有且仅有 4 个不同的零点；故 A 错误；对于 B，周期2T，由101333，则3131310，63135T，又63,2135，所以()f x的最小正周期可能是2，故 B 正确；对于 D，0,12x，,66 126x，又101333，419,6936 又19362，所以()f x在区间0,12x上不一定单调递增，故 D 错误故选：BC 数学参考答案 第 3 页（共 8 页）12BCD【解析】由62a，63b，得66log 2,log 3ab，所以666log 2log 3log 61ab，对于 A，由基本不等式222xyxy得
10、222()2xyxy，222xyxy，,ab11ab 2a116b，所以 A 不正确；对于 B，因为66log 20,log 30ab，所以2()4abab266(log 2log 3)144，因为 ab，所以等号不成立，所以14ab，1114abababab，所以 B正确，对于 C，因为222abab，所以222()122baab，因为ab，所以等号不成立，所以2212ab，所以 C 正确，对于 D，因为ln2ln3,ln6ln6ab，所以11ln6ln3ln63ln2ln63ln3bab，由于ln6ln42ln2ln2，且ln3ln6ln3ln6122ln63ln3ln6 3ln33，因为
11、ln3ln6ln63ln3，所以等号不成立，所以ln3ln612ln63ln33，所以11ln6ln3ln612 223ln2ln63ln33bab，所以1123bab，所以 D 正确，故选：BCD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13280【解析】二项式72axx的展开式中所有项的系数和为 1，1a，二项式72axx展开式的通项为7171(2)rTCxx37727(1)2Cx，令37142rr，x项的系数为4437(1)2C=280故答案为：280 147【解析】由22yx在(0,)e上递增，3yx在,e上递增，所以，由 5f
12、 af a，得0555aeaeae，故233aaa=3 或 7，a=3 舍去，故答案为：7 154 10【解析】因为底面ABCD是边长为4 6的正方形，所以该正方形外接圆半径341r，所以球心O到底面ABCD的距离2274 31d，又顶点P到底面ABCD的距离为 4，所以点P在与底面ABCD平行的截面圆的圆周上，由球心O在四棱锥PABCD内，可得截面圆的半径22274 1r 2 10，故顶点P的轨迹长度为4 10.故答案为：4 10.1632 【解析】F 为 AC 的中点，且|3AF，|3CF,所以，FMN中，|MNm MF,即MNmMF，过点作准线的垂线，垂足为，则可得|1|sinMNMNM
13、FMDMND，若|MNMF取到最232p MD数学参考答案 第 4 页（共 8 页）大值即MND最小，此时直线 MN 与抛物线 C 相切23xy，即23xy，则23yx，设200,3xMx，则切线斜率023kx，切线方程为2000233xyxxx，切线过30,4N，代入得220023433xx，解得032x ，即3 3,2 4M，则33|,|22MDND，即4MMD，则|1|sinMNMNMFMDMND的最大值为m的最大值为，故答案为：23,四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（
14、10 分）【答案】（1）21nan 3nnb （2）存在 k=1,2，使得对任意的*nN，都有nknkaabb【解析】（1）点1,nnP a a在直线上，所以12nnaa 又35a，11a，则数列是首项为 1，公差为 2 的等差数列.1 分 21nan2 分 又当时，11233Sb得13b，当，由233nnSb，得11233nnSb 由整理得：，4 分 130b，数列是首项为 3，公比为 3 的等比数列，故3nnb 5 分（2）设213nnnnancb，6 分 由11212133nnnnnncc1121634433nnnnn 7 分 当1n 时，12cc，当2n时，1nncc，8 分 所以当1
15、n 或 2 时，nc取得最大值，即nnab取得最大值 9 分 所以存在 k=1,2，使得对任意的*nN，都有nknkaabb 10 分 18（12 分）【答案】（1）3A （2）1sinsin2BC 【解析】（1）解法一：因为22 coscbaC，由正弦定理得：sin2sin2sincosCBAC1 分 22220 xy na1n 2n13nnbb10nb13nnbb nb数学参考答案 第 5 页（共 8 页）所以sin2sin()2sincosCACAC2sincos2cossin2sincos2cossinACACACAC 3 分 因为sin0C，所以12cos1,cos2AA 5 分 因
16、为0A，所以3A 6 分 解法二：因为22 coscbaC，由余弦定理得：222222abccbaab 1 分 整理得222bcbca，即222abcbc 3 分 又由余弦定理得2222cosabcbcA，所以12cos1,cos2AA5 分 因为0A，所以3A 6 分（2）ABC的面积3 32S，故113 3sinsin2232bcAbc，7 分 所以6bc 8 分 由于3c，所以2 3b 9 分 利用余弦定理：2222cosabcbcA12369，故3a 10 分 则22 3sinaRA，利用2(2)sinsin6RCB，解得1sinsin2BC 12 分 19（12 分）【答案】见解析。
17、【解析】（1）由题意 X 的取值可能为-1，0，1，则23111355P X,1 分 23238011353515P X,2 分 234113515P X 3 分 那么 X 的分布列为：X-1 0 1 P 15 815 415 4 分 18411015151515E X 6 分（2）第 3 轮比赛后，甲单位累计得分低于乙单位的 3 轮计分有四种情况（不按先后顺序）：1,1,1 ；1,1,0；1,1,1 ；1,0,0 9 分 所以322222233311814811035515515155375PCCC 12 分 20（12 分）【答案】（1）见解析。数学参考答案 第 6 页（共 8 页）（2）
18、二面角BPMN的大小不变，其余弦值为55【解析】（1）在翻折过程中总有BD平面PAG。1 分 证明如下：点M，N分别是边BC，CD的点，且/MNBD 又60DAB，且PMN是等边三角形，G是MN的中点，MNPG，2 分 菱形ABCD的对角线互相垂直，BDAC，MNAC，3 分 ACPGG，AC 平面PAG，PG 平面PAG，MN 平面PAG，4 分 BD 平面PAG，5 分（2）以G为坐标原点，GA，GM，GP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，边长为 2 的菱形ABCD中，60DAB，2BC,又MN,0,1BD 0,0,0,0,MN0,0,3,3 1,1,0PB 3
19、1,1,0,0,3MBMP7 分 平面BMP的一个法向量为,nx y z，则 3 11030n MBxyn MPyz 取1x，则1,3,1n 9 分 又平面PMN的一个法向量为1,0,0m，所以5cos,5m nm nm n，10 分 设二面角BPMN的平面角为，且由图可知，为钝角，则5cos5 11 分 即随着值的变化，二面角BPMN的大小不变，其余弦值为55.12 分（其他建系方法可计分）21【答案】（1）（2）见解析。【解析】（1）解：由题可知，F(c,0)、10,Bb，12B FB为等腰直角三角形，则cb，1 分 又直线 FB1与圆221xy相切所以原点到直线 FB1的距离为 1，2
20、分 直线 FB1的方程为1xycb，即0bxcybc，所以221bcbc，22142xyO数学参考答案 第 7 页（共 8 页）解得2bc，3 分 又2224abc，所以椭圆 C 的标准方程为22142xy4 分（2）由过(0,2)P的直线 l 不过1(0,2)B，2(0,2)B，可设其直线方程为2ykx，把2ykx代入22142xy，得2221840kxkx，0，即212k，5 分 设1122,E x yD xy,则121 22284,2121kxxx xkk,6 分 直线 B1E 的方程为1122yyxx，7 分 直线 B2D 的方程为2222yyxx 8 分 设直线 B1E 和 B2D
21、的交点为(,)Q x y，则121 211 22212(22)22(22)2xykx xxyykx xxxy，9 分 把122821kxxk及1 22421x xk代入上式，得22224(32 2)(22)212(32 2)24(22)21kkxyykkx，整理得1y，11 分 故点 Q 在一条平行于 x 轴的直线 y=1 上，得证.12 分 22（12 分）【答案】见解析。【解析】（1）函数()f x的定义域为0,则：1111axfxaxx 1 分 当10a 即1a 时，0 x时，()0fx恒成立，所以()f x单调递增；2 分 当1 0a 即1a-时，令()0fx，解得101xa，所以()
22、f x在10,1a上单调递增，1,1a上单调递减；4 分 综上所述：当1a 时，()f x的单调递增区间为0,，无单调递减区间；当1a-时，()f x的单调递增区间为10,1a，单调递减区间为1,1a 5 分（2）当4a 时，若方程 0f xx在(0，1)内存在唯一实根 x0 当4a 时，方程2ln022aaxaxx在(0，1)内存在唯一根 x0，令 2ln22aag xxaxx，则 211axaxgxaxaxx，0,x6 分 数学参考答案 第 8 页（共 8 页）当4a 时，240aa，则210axax 有两个不相等的实数根 x1，x2，又121xx+，1210 x xa，故12,0,1x
23、x 7 分 设121012xx，令 0gx，则10 xx，或2xx 则当1(0,)xx时，g(x)单调递增，当12(,)xx x时，g(x)单调递减，当2,1xx时，g(x)单调递增，又 10g，且 g(x)在(0，1)内存在唯一零点 x0，则 10g x，即01xx，8 分 所以200001()0axaxg xx，且20000()ln022aag xxaxx，由得：2001axx，代入得0011ln022xx 9 分 令 111ln0,222h xxxx，则 22112122xh xxxx，当10,2x时，0h x h(x)在(0，12)上单调递减，10 分 又11e1e3ln0ee2222h，1113ln22ln204422h h(x)在区间1 1,e 4有且仅有一个零点，即01 1,4 ex12 分
