1、课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 1 同角三角函数的基本关系 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 【课标要求】 1理解同角三角函数的基本关系式： sin2cos21， sin cos tan . 2 会利用这两个公式求三角函数式的值， 化简三角函数式或证 明三角恒等式 【核心扫描】 1同角三角函数的基本关系(重点) 2利用基本关系式化简、证明、求值(难点) 3解题时容易忽略题目中的隐含条件(疑点) 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 自学导引 同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系： . (
2、2)商数关系：tan sin cos ( 2k，kZ)，该式子可变 形为：sin ，cos sin tan . sin2cos21 tan cos 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 ：如何理解同角三角函数的基本关系？ 提示 (1)同角三角函数的基本关系是在借助单位圆的正、余弦 线及正切线的关系下推导出来的两个恒等式： 平方关系： sin2 cos21，对 R 恒成立；商数关系：tan sin cos ，其中 k 2，kZ， 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 (2)“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一 个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立
3、，与角的表达形 式无关，如 sin23cos231， sin 2 cos 2 tan 2；而 sin 2cos2 1 不一定成立 提醒：sin2 是(sin )2的简写，读作“sin 的平方”，不能将 sin2 写成 sin 2，前者是 的正弦的平方，后者是 的平方的 正弦，两者是不同的应弄清它们的区别，并能正确书写 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 名师点睛 1同角三角函数的基本关系式的应用 同角三角函数的基本关系式主要用于： (1)已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值； (2)化简三角函数式； (3)证明三角恒等式 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲
4、练互动 2已知一个角的某个三角函数值求其他三角函数值 (1)已知正弦值求余弦值及正切值 若已知 sin m，可以先用公式 cos 1sin2，求得 cos 的值，再由公式 tan sin cos ，求得 tan 的值 (2)已知余弦值求正弦值及正切值 若已知 cos m，可先用公式 sin 1cos2，求得 sin 的值，再由公式 tan sin cos ，求得 tan 的值 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 (3)已知正切值求正(余)弦值 若已知 tan m， 可先由公式 sin cos tan ， 求得 sin tan cos ，再结合 sin2cos21，求得 cos
5、的值，最后由 sin tan cos ，求得 sin 的值 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 题型一 利用同角三角函数关系求值 【例 1】 是第四象限角，tan 5 12，求 sin . 思路探索 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 解 法一 sin2 cos2 1 sin cos 5 12 ， 解得 sin 5 13. 又 为第四象限角，sin 0，sin 5 13. 法二 是第四象限角，sin 0，又tan 5 12， 可设 终边上一点坐标为(12，5)， sin 5 13. 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 规律方法 同角三角函数的基本
6、关系最基本的应用是“知一求 二” ， 要注意这个角所在的象限， 由此来决定所求是一解还是两 解，同时应体会方程思想的运用 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 【训练 1】 已知 cos 8 17，求 sin ，tan 的值 解 cos 8 170， 是第二或第三象限的角如果 是 第二象限角，那么 sin 1cos2 1 8 17 215 17， tan sin cos 15 17 8 17 15 8 . 如果 是第三象限角，同理可得 sin 1cos215 17，tan 15 8 . 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 题型二 三角函数式的化简 【例 2】 若3
7、 2 2，化简 1cos 1cos 1cos 1cos . 思路探索 本题主要考查平方关系和正、余弦函数值的正负， 可先将分母有理化，使两个根号下的分母相同，然后开方化简 整理 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 解 3 2 2， 原式 1cos 2 1cos 1cos 1cos 2 1cos 1cos 1cos 2 1cos2 1cos 2 1cos2 1cos 2 sin2 1cos 2 sin2 1cos sin 1cos sin 2 sin . 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 规律方法 解答此类题目的关键在于公式的灵活运用，切实分 析好同角三角函数间
8、的关系，化简过程中常用的方法有： (1)化切为弦，即把非正、余弦的函数都化成正、余弦函数，从 而减少函数名称，达到化简的目的 (2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号 达到化简的目的 (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构 造 sin2cos21，以降低函数次数，达到化简的目的 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 【训练 2】 化简：1cos 4sin4 1cos6sin6. 解 法一 原式cos 2sin22cos4sin4 cos2sin23cos6sin6 2cos2 sin2 3cos2sin2cos2sin2 2 3. 法二 原式
9、1cos 4sin4 1cos6sin6 1cos2sin222cos2 sin2 1cos2sin2cos4cos2 sin2sin4 112cos2 sin2 1cos2sin223cos2 sin2 2cos2 sin2 3cos2 sin2 2 3. 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 法三 原式 1cos21cos2sin4 1cos21cos2cos4sin6 sin21cos2sin2 sin21cos2cos4sin4 2cos2 1cos2cos2sin2cos2sin2 2cos2 1cos2cos2sin2 2cos 2 3cos2 2 3. 课前探究学习
10、课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 题型三 三角恒等式的证明 【例 3】 已知 sin()1，求证：tan(2)tan 0. 思路探索 本题主要考查终边相同的角的概念、三角恒等式的 证明，由 sin()1 知 2k 2(kZ)，将其代入要证 明的式子中，然后化简 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 证明 sin()1，2k 2，kZ， 2k 2，kZ. 左边tan 2 2k 2 tan tan(4k2)tan tan(4k)tan tan()tan tan tan 0. 左边右边 等式成立 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 规律方法 本题是条件等式证明，一
11、般有两种方法：一是从被 证等式的一边推向另一边，适当时候将条件代入推证的被证式 的另一边，称作代入法二是直接将条件等式变形，变形为被 证的等式，这种方法称作推出法 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 【训练 3】 求证：sin cos 1 sin cos 1 1sin cos . 证明 法一 左边sin cos 1sin cos 1 sin cos 1sin cos 1 sin 1 2cos2 sin cos 21 sin 22sin 11sin2 12sin cos 1 2sin 1sin 2sin cos 1sin cos 右边 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲
12、练互动 法二 由 cos21sin2 得cos2(sin 1)(sin 1)， 所以sin 1 cos cos sin 1，由等比定理得 sin 1 cos sin 1cos cos sin 1， 所以，原式成立 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 题型四 综合问题 【例 4】 (12 分)是否存在一个实数 k，使方程 8x26kx2k1 0 的两个根是一个直角三角形两个锐角的正弦 审题指导 本题是寻找角或三角函数式是否满足一些条件， 使确 定的三角函数关系成立，属于条件存在性问题 【解题流程】 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 规范解答 设这两个锐角分别为
13、A，B， AB90 ，sin Bcos A， (2 分) 所以 sin A，cos A 为 8x26kx2k10 的两个根所以 sin Acos A3k 4 ， sin Acos A2k1 8 ， 6分 代入的平方，得 9k28k200，解得 k12，k210 9 ， (8 分) 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 当 k2 时，原方程变为 8x212x50，0，方程无解； 将 k10 9 代入，得 sin A cos A11 720， 所以 A 是钝角，与已知直角三角形矛盾，所以不存在满足已知 条件的 k. (12 分) 【题后反思】 (1)假设所求存在，利用题目所给条件去推
14、理， 得出结论是常用解题方法 (2)在本例中注意直角三角形这个条件的用处所在 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 【训练 4】 已知sin cos sin cos 2，计算下列各式的值： (1) 3sin cos 2sin 3cos ；(2)sin 22sin cos 1. 解 由sin cos sin cos 2，化简，得 sin 3cos ，所以 tan 3. (1)法一 原式 33cos cos 23cos 3cos 8cos 9cos 8 9. 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 法二 原式 3 sin cos cos cos 2 sin cos 3 c
15、os cos 3tan 1 2tan 3 331 233 8 9. (2)原式sin 2 2sin cos sin2cos2 1 tan 22tan tan21 1 3 223 321 113 10. 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 误区警示 因没注意到隐含条件而出错 【示例】 设 6x 3 2 ，且 sin xcos x1 5，求 tan x 的值 错解 因为 6x 3 2 ，所以由 sin xcos x1 5， sin2xcos2x1， 解得 sin x4 5， cos x3 5， 或 sin x3 5， cos x4 5. 所以 tan x4 3或 tan x 3 4
16、. 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 解三角函数问题常出错的原因主要表现为以下几个方 面：(1)运用平方关系时，正负号的选取会出现问题；(2)没有注意到 角的取值范围；(3)没有注意到题中隐含的条件 正解 sin xcos x1 5，两边平方得：sin xcos x 12 250，所以 2 x 或 6x0.当 6x0 时， 1 2sin x0， 3 2 cos x1， 所以 31 2 sin xcos x1 5，所以 6x0 不可能，所以 2x， 又由 sin xcos x 1 5， sin2xcos2x1， 解得 sin x4 5， cos x3 5. 故 tan x4 3. 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 错解虽然注意了 x 的取值范围但结论错误， 原因是在 变形中忽视了 sin xcos x1 5所隐含的重要条件
