1、3 二倍角的三角函数（一） 1.1.知识目标：知识目标： （1 1）能够导出二倍角的正弦、余弦、正切公式；能够导出二倍角的正弦、余弦、正切公式； （2 2）掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；）掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式； （3 3）能灵活运用公式进行简单三角函数的化简、求值和）能灵活运用公式进行简单三角函数的化简、求值和 证明证明. . 2.2.能力目标：能力目标：能利用各类公式及化归的思想、等价转换的能利用各类公式及化归的思想、等价转换的 思想、方程和分类讨论的思想方法，解决一些综合问题思想、方程和分类讨论的思想方法，解决一些综合问题. . 3.3.情感目标：情感目标：体会公式所蕴含的
2、和谐美、对称美体会公式所蕴含的和谐美、对称美. . 4.4.教学重点：教学重点：二倍角公式与和差角公式的内在联系，二倍二倍角公式与和差角公式的内在联系，二倍 角的正弦、余弦、正切公式及其变形；角的正弦、余弦、正切公式及其变形； 5.5.教学难点：教学难点：灵活运用公式进行简单三角函数的化简、求灵活运用公式进行简单三角函数的化简、求 值和证明值和证明. . sin(a a + + b b ) = sin a a cos b b cos a a sin b b sin(a a - - b b ) = sin a a cos b b cos a a sin b b cos(a a + + b b )
3、 = cos a a cos b b sin a a sin b b cos(a a - - b b ) = cos a a cos b b sin a a sin b b - - + + - - + + 以上公式中以上公式中a a和和b b可以取任意角可以取任意角. . 两两角角和和与与差差的的正正弦弦和和余余弦弦公公式式 复复 习习 以以上上两两个个公公式式中中， 和和可可取取使使两两边边都都有有意意义义的的任任意意角角 tantan tan() 1tantan tantan tan() 1tantan .a a abab abab abab abab a a b b b b abab +
4、 + + - - - - + 两角和的正切公式两角和的正切公式 是是特特殊殊角角， 和和是是倍倍半半关关系系，利利用用上上述述公公式式 不不可可以以求求的的三三角角函函数数值值 如如果果能能推推导导一一组组反反映映倍倍半半关关系系 的的三三角角函函数数公公式式，将将是是很很有有实实际际意意义义的的 思思考考 448 . . 1 C A B 3 ABC 5 () 等等腰腰三三角角形形的的底底角角的的余余弦弦值值是是 ，那那么么顶顶角角 的的正正弦弦值值是是多多少少 思思考考 ？图图 2 2 如如 ，解解: : 34 cossin. 55 sinsin()sin() sin2sin() sinco
5、scossin 4324 2sincos2. 5525 AA CABAB AAA AAAA AA -+-+ + + 两两角角和和的的正正弦弦、余余弦弦和和正正切切公公式式都都是是恒恒等等式式，特特别别 地地，当当 时时，这这三三个个公公式式分分别别变变为为什什式式 考考 形形 思思 么么？ 3 baba 二倍角公式的推导二倍角公式的推导 sin 2a a = sin(a a + + a a) = sin a a cos a a + cos a a sin a a = 2sin a a cos a a cos 2a a = cos(a a + + a a) = cos a a cos a a s
6、in a a sin a a = cos2a a sin2a a tan 2a a = tan(a a + + a a) a aa a a aa a tantan tantan - - + + 1 a a a a 2 tan1 tan2 - - 利用利用 sin2a a + cos2a a = 1，cos2a a 还可变为还可变为 cos 2a a = cos2a a ( 1 - - cos2a a ) = 2cos2a a - - 1 cos 2a a = ( 1- - sin2a a ) - - sin2a a = 1 - - 2sin2a a . 2 22 2 2 2 22 sin22s
7、incos cos2cossin cos22cos1 cos212sin 2tan tan2 1tan S C T aaaaaa aaaaaa aaaa aaaa a a a a a a - - - - - 二倍角公式二倍角公式 已已知知，求求的的值值例例 1 tantan2. 2 1aaaa 直直接接代代入入二二倍倍角角的的正正分分析析：切切公公式式. . 解解 2 2tan tan2 1tan - - 2 1 2 2 1 1 2 - - 4 . 3 1.1.二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二 倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函
8、数倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数 之间的互化问题；之间的互化问题； 2.2.二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角 相等时推导出来的，记忆时可联想相应角的公式相等时推导出来的，记忆时可联想相应角的公式. . 公式的作用：公式的作用： （ ）左左边边角角是是右右边边角角的的二二倍倍； （ ）左左边边是是的的三三角角函函数数的的一一次次式式，右右边边是是 二二次次式式. . 由由左左到到右右：升升幂幂缩缩角角；由由右右到到左左：降降幂幂扩扩角角； （ ）二二倍倍角角的的正正弦弦是是单单项项式式，余余弦弦是是多多项项式式， 正正切切是
9、是分分式式. . 1 22 3 aaaa 公式的特征与记忆公式的特征与记忆 关于公式的几个说明：关于公式的几个说明： 1.公式公式S S2 2a a和和C C2 2b b对任意角均成立，对于公式对任意角均成立，对于公式T2 2a a 242 ,(). k kkZ a aa a+ 2 2 . 2 422 22 224 3 32 2 倍倍角角公公式式不不仅仅可可运运用用于于将将作作为为 的的 倍倍的的情情况况，还还可可以以 运运用用于于 等等式式中中的的 “二二倍倍角角 诸诸如如将将作作为为的的 倍倍. . 将将 作作为为的的 倍倍. .将将作作为为的的 倍倍. . 将将作作为为的的 倍倍等等情情
10、况况 ”的的意意义义是是相相对对的的，如如： . . aaaa aaaa aaaaaa a a a a a a 3.3.注意公式的各种变化，如：注意公式的各种变化，如： 4.4.注意公式的逆用：注意公式的逆用： ， 22 22 2 2 2cos1cos22sin1cos2 1cos21cos2 cossin 22 tan21tan2tan 2tan 1tan tan2 a a aaaaaaaa aaaa aaaa aaaa a a a a +-+- +-+- - - 22 2 2 1 sincossin2cossincos2 2 2tan tan22tantan21tan 1tan aaaaa
11、aaaaaaa a a aaaaaaaa a a - - - - 例例2 2 求下列各式的值：求下列各式的值： 解：解： 22 2 2 (1)sin15 cos15 ;(2)cossin; 88 2tan22.5 (3); (4)12sin 75 . 1tan 22.5 - - - - - - 1 (1)(2sin15 cos15 ) 2 原原式式 1 sin30 2 1 4 原原式式(2)cos 4 2 2 原原式式(3)tan45 1 (4)cos150 原原式式cos(18030 )-cos30 - - 3 2 - - 点评：直接运用公式将已知角转化为特殊角求值点评：直接运用公式将已知角
12、转化为特殊角求值. 设设 是是第第二二象象限限角角，已已知知，求求， 和和 例例 的的值值 cos-0.6sin2 cos2t n 3 a 2. aaaaaa aaaa 因因为为 是是第第二二象象限限角角，所所以以， 由由于于，故故 解解 ， : : 2 sin0 tan0. cos0.6sin1cos0.8 aaaaaa aaaaaa - - 可可得得； ； 2 2 sin22sincos2 0.80.60.96 cos22cos120.610.28 sin224 tan2. cos27 aaaaaa aaaa a a a a a a - - - - - - - - - 已知已知 ), 2
13、(, 13 12 cos aa- 解：解： sin22sin cosaaa 求求sin2sin2 , cos2, cos2 , tan2, tan2 的值的值. . 所以所以 512 2() 1313 - aa 2 sin212cos- 2 ) 13 12 (1- 12 cos,(, ) 132 aa - aa 2 cos1sin- . 13 5 于是于是 169 120 - 2 ) 13 5 (21- 169 119 a a a 2cos 2sin 2tan 119 169 169 120 -. 119 120 - 因为因为 练习：练习： 技巧方法：技巧方法： 1.1.利用平方关系求三角函数
14、值时，一定注意角的取值利用平方关系求三角函数值时，一定注意角的取值 范围范围. . 2.2.求正切值时，常常采用商数关系，可以避免讨论符求正切值时，常常采用商数关系，可以避免讨论符 号问题号问题. . 引申：公式变形：引申：公式变形： 2 21)cos(sinsina aa aa a a aa a 2 cos22cos1 + + a aa a 2 sin22cos1 - - 2 2cos1 cos 2 a a a a + + 2 2cos1 sin 2 a a a a - - 升幂降角公式升幂降角公式 降幂升角公式降幂升角公式 利利用用三三角角公公例例式式化化简简 sin50 (13tan14
15、0 ).+ sin10 sin50 (13) cos10 cos103sin10 sin50 () cos10 + + + 原原解解：式式 13 2( cos10sin10 ) 22 sin50 cos10 2sin50 cos40 cos10 + + 2 2cos 401cos80 cos10cos10 + + 1sin101 tan10 . cos10cos10 + + + 1.“1.“切化弦”；切化弦”； 2.“2.“异角化同角”；异角化同角”； 3.3.注意逆用公式及公式的变形应用；注意逆用公式及公式的变形应用； 4.4.拼凑公式的形式，必要时利用诱导公式拼凑公式的形式，必要时利用诱导
16、公式. . 技巧方法：技巧方法： 作作于于 ，设设，那那么么 因因为为 ， 所所以以 因因为为，所所以以， 于于是是， 故故A A 解解: :2 . 11 24 1 sin. 4 020 2 15 cos 4 15 sinsin2. 8 ADBCDBADA BDBCAB BD AB 在在中中，已已知知如如图图 ， 求求角角 的的正正弦弦值值 例例 . 52ABCABACBC A D D C C B B A A 要要把把半半径径为为 的的半半圆圆形形木木料料截截成成长长方方形形 如如图图 ， 应应怎怎样样截截取取，才才能能使使长长方方形形面面 例例 积积最最大大？ 6R R R a a O O
17、B B A A 如如图图，设设圆圆心心为为长长方方形形面面积积为为 ， ，则则， 当当取取最最大大值值，即即时时，截截面面面面积积最最大大 不不难难推推出出，时时，长长方方形形截截面面面面积积最最大大，最最大大 截截面面面面积积等等于于 解解: : 2 2 2 , sincos sin2cos 2sincos sin2 . sin2sin21. 4 . OS AOBABROBR SRR R R R aaaaaa aaaa aaaa a a aaaa a a 技巧方法：技巧方法： 三角函数应用题的基本步骤可分为四步：三角函数应用题的基本步骤可分为四步： 1.1.审题：审题：是解题的基础，它包括阅
18、读理解、翻译、挖掘是解题的基础，它包括阅读理解、翻译、挖掘 等，通过阅读，真正理解用文字语言表述的实际问题的等，通过阅读，真正理解用文字语言表述的实际问题的 类型类型, ,注意挖掘一些隐含条件注意挖掘一些隐含条件. . 2.2.建立数学模型：建立数学模型：引进数学符号，将试题中的非数学语引进数学符号，将试题中的非数学语 言转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系言转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系 建立三角函数模型建立三角函数模型. . 3.3.解模：解模：运用三角函数的有关公式进行推理、运算，使运用三角函数的有关公式进行推理、运算，使 问题得到解决问题得到解决. . 4.4.回归实
19、际问题：回归实际问题：应用问题不是单纯的数学问题，既要应用问题不是单纯的数学问题，既要 符合数学科学，又要符合实际背景，因此，对于解出的符合数学科学，又要符合实际背景，因此，对于解出的 结果要代入原问题中进行检验、评判结果要代入原问题中进行检验、评判. . 例例7 7 证明：证明： 2 sin2sin tan 2cos22sincos + + 证明：证明：左边左边 222 2sinsin 2(sin)2sin sin (21) tan (21) cos coscos cos coscos + -+ + + = =右右边边. 二倍角公式的变通二倍角公式的变通 思考思考4 4 1 1sin2sin
20、2可化为什么？可化为什么？ 2 1cos2 sin 2 a a a a - = 2 1cos2 cos 2 a a a a + = 2 1sin2(sincos )aaaaaa 根根据据二二倍倍角角的的余余弦弦公公式式， ，与与的的关关系系 考考 分分别别？ 思思 如如何何sincoscos2 5 aaaaaa 2 1cos2 tan 1cos2 sin21cos2 tan 1cos2sin2 a a a a a a aaaa a a aaaa - = + - = + 与与，之之间间是是否否存存在在某某种种关关系系 思思考考？tansin2c6os2aaaaaa 1.判断：判断： 错错 错错
21、错错 2 2 33 (1)sin3sincos 22 (2)cos22sin1 32tan3 (3)tan 21tan 3 aaaa a a aaaa aaaa a a - - - 求求值值： 2cos10sin20 2 cos20 - - 3 1.1.方法上：方法上：学会怎样去发现数学规律，并体会从一般化学会怎样去发现数学规律，并体会从一般化 归为特殊这一基本数学思想在发现中所起的作用归为特殊这一基本数学思想在发现中所起的作用. . 2 2、知识上：、知识上：记住二倍角公式记住二倍角公式. . 3.3.公式变形公式变形: : 2222 2 sin22sincos cos2cossin2cos1 1 2sin 2tan tan2 1 tan aaa aaaaa a a a - - - 22 1 cos22cos1 cos22sinaaaa+- 对一个人来说，所期望的不是别的，而 仅仅是他能全力以赴和献身于一种美好 事业。 爱因斯坦
