1、常用逻辑用语常用逻辑用语 第一章第一章 1 命命 题题 第一章第一章 课堂典例探究课堂典例探究 2 课课 时时 作作 业业 3 课前自主预习课前自主预习 1 课前自主预习课前自主预习 1.了解命题的概念，会判断命题的真假 2会把命题表示为“若p，则q”的形式 3了解命题的逆命题、否命题、逆否命题， 会分析四种命题的相互关系. 1.命题的定义与分类 可以判断_、用文字或符号表达的语句 叫作命题判断为_的命题叫作真命 题，判断为_的命题叫作假命题 2数学中的定义、公理、公式、定理都是命 题，但命题不一定都是定理，因为命题有 _之分，而定理是_命题. 命题及其真假 真假 真 假 真假 真 若命题的结
2、构形式是“若p，则q”，则 _是条件，_是结论. 命题的构成形式 p q 1.一般地，对于两个命题，如果一个命题的 条件和结论分别是另一个命题的_和 _，那么我们把这样的两个命题叫作互 逆命题，其中一个命题叫作_，另一 个命题叫作原命题的_ 若原命题是“若p，则q”，则其逆命题为 “_” 命题的逆命题、否命题、逆否命 题 结论 条件 原命题 逆命题 若q，则p 2对于两个命题，其中一个命题的条件和结 论分别是另一个命题的_和 _我们把这样的两个命题叫作 互否命题，如果把其中一个命题叫作原命 题，那么另一个命题叫作原命题的 _ 若原命题为“若p，则q”，则其否命题为 “_” 3对于两个命题，其中
3、一个命题的条件和结 论恰好是另一个命题的_和 _，我们把这样的两个命题叫作 互为逆否命题，如果把其中一个命题叫作原 命题，那么另一个命题叫作原命题的 _ 若原命题为“若p，则q”，则其逆否命题为 “_”. 条件的否定 结论的否定 否命题 若 p，则 q 结论的否定 条件的否定 逆否命题 1.四种命题的相互关系 四种命题的关系及真假判断 2(1)原命题为真，它的逆命题_为 真 (2)原命题为真，它的否命题_为真 (3)原命题为真，它的逆否命题_为真 即互为逆否的命题是等价命题，它们同 _同_，同一个命题的逆命题和否命 题是一对互为_的命题，它们同_同 _. 不一定 不一定 一定 真 假 逆否 真
4、 假 四种命题相互转化的关键是准确把握命题的 条件和结论，因此，转化前应把一个命题改 写为“若p，则q”的形式，清楚这个命题的 条件p与结论q，正确地对原命题的条件和结 论进行互换或否定要注意四种命题关系的 相对性，一旦确定一个命题为原命题，相应 地就有了它的其他三种命题 注意：对存在大前提的命题，在写其他三种 命题时，应保留大前提不变. 1.下列语句中，是命题的是( ) A3比5大 B太阳和月亮 C高年级的学生 Dx2y20 答案 A 解析 3比5大是一个假命题B、C、D都 不能判断真假 答案 A 2下列命题为真命题的是( ) A若1 x 1 y，则 xy B若|x|1，则 x1 C若 xy
5、，则1 x 1 y D若 x3，则a5”的逆命题是 _ 答案 若a5，则a3 解析 将原命题的条件改为结论，结论改为 条件，即得原命题的逆命题 8指出下列命题的条件与结论 (1)负数的平方是正数； (2)正方形的四条边相等 解析 (1)可表述为“若一个数是负数，则 这个数的平方是正数”条件为：“一个数是 负数”；结论为：“这个数的平方是正 数” (2)可表述为：“若一个四边形是正方形，则 这个四边形的四条边相等” 条件为：“一个四边形是正方形”； 结论为：“这个四边形的四条边相等” 课堂典例探究课堂典例探究 命题概念的理解 判断下列语句是否是命题，并说明理由 (1)任何负数都大于零； (2)6
6、 是方程(x5)(x6)0 的解； (3)求证： 3是无理数； (4)x24x40，xR； (5)你是高一的学生吗？ 解析 (1)负数都是小于零的，因此“任何 负数都大于零”是不正确的，它能构成命 题，而且这个命题是假命题 (2)把x6代入方程中，等式成立， 6是所给方程的解，它是命题，是真命 题 (3)祈使句，不是命题 (4)x24x4(x2)20，它包括x24x 40，和x24x40，对于xR，可以判 断真假，它是命题 (5)是疑问句，不涉及真假，不是命题 方法规律总结 判定一个语句是否为命题， 主要把握以下两点： (1)是陈述句祈使句、疑问句、感叹句都不 是命题 (2)其结论可以判定真或
7、假含义模糊不清， 不能辨其真假的语句，不是命题 判断下列语句是否为命题，并说明理由 (1)f(x)3x(xR)是指数函数； (2)垂直于同一条直线的两条直线平行吗？； (3)集合a，b，c有3个子集； (4)这盆花长得太好了！ 解析 (1)“f(x)3x(xR)是指数函数”是 陈述句，并且它是真的，因此它是命题 (2)是疑问句，不能判断真假，不是命题 (3)“集合a，b，c有3个子集”是假的，所 以它是命题 (4)“这盆花长得太好了”无法判断真假，它 不是命题. 命题真假的判断 判断下列命题的真假： (1)形如 a 6b 的数是无理数 (2)正项等差数列的公差大于零 (3)奇函数的图像关于原点
8、对称 (4)能被 2 整除的数一定能被 4 整除 分析 根据命题本身涉及到的知识去判断真假 解析 (1)假命题，反例：若 b0，则 a 6b 为有理数 (2)假命题，反例：若此等差数列为递减数列，如数列 20,17,14,11,8,5,2，它的公差为3. (3)真命题 (4)假命题，反例：数 2,6 能被 2 整除，但不能被 4 整除 方法规律总结 判断一个命题为假命题，只要举出一个 反例即可而要判断一个命题为真命题，一般要进行严格的逻 辑推证 给出以下命题： f(x)tanx 的图像关于点 k 2，0 (kZ)对称； f(x)cos(kx)(kZ)是偶函数； f(x)cos|x|是最小正周期
9、为 的周期函数； y3|sinx|4|cosx|的最大值为 5； ysin2xcosx 的最小值为1. 其中所有真命题的序号是_ 答案 解析 本题考查三角函数的图像与性质；由正切函数 的图像易知为真；真，不论 k 取奇数或偶数，函数名称不变， 故为偶函数；假，因为 f(x)cos|x|cosx，故最小正周期仍 为 2；真，可以用分类讨论的思想来解决；真，ysin2x cosxcos2xcosx1 cosx1 2 25 4，易知当 cosx1 时函数取得最小值1. 命题的结构 指出下列命题中的条件p和结论q. (1)若a，b，c成等差数列，则2bac； (2)如果两个三角形相似，那么它们的对应
10、角相等； (3)偶函数的图像关于y轴成轴对称图形； (4)菱形的对角线互相垂直 解析 (1)条件p：a，b，c成等差数列，结 论q：2bac. (2)条件p：两个三角形相似，结论q：它们的 对应角相等 (3)条件p：一个函数是偶函数，结论q：这个 函数的图像关于y轴成轴对称图形 (4)条件p：一个四边形是菱形，结论q：这个 四边形的对角线互相垂直 方法规律总结 1.关于“若p，则q”型的命 题 本章中我们讨论的命题都可写成“若p，则 q”的形式其中p为条件，q为结论，p和q 本身也可为一个简单命题 2有些命题的条件和结论不是很明显，这时 可以把它的表述作适当的改变写成“若p，则 q”的形式 把
11、命题改写为“若p，则q”形式时，不要把 大前提误为条件 3并非所有的命题都可写成“若p，则q” 型，如“53”也是命题 写出下列命题的条件与结论 (1)质数是奇数； (2)矩形的两条对角线相等 解析 (1)可表述为：“若一个自然数是质 数，则它是奇数” 条件为：“一个自然数是质数”； 结论为：“这个自然数是奇数” (2)可表述为：“若一个四边形是矩形，则它 的两条对角线相等” 条件为：“一个四边形是矩形”； 结论为：“这个四边形的两条对角线相等”. 四种命题的概念 写出下列命题的逆命题、否命题与 逆否命题 (1)正数的平方根不等于0； (2)在平面上，若四边形的对角互补，则该 四边形是圆内接四
12、边形 分析 本题中第(1)小题不是“若p，则q” 的形式，首先应化为这种形式，再写其他命 题，第(2)(3)小题具备“若p，则q”的形式， 可直接写其他三种命题 解析 (1)原命题：若a是正数，则a的平方 根不等于0； 逆命题：若a的平方根不等于0，则a是正 数； 否命题：若a不是正数，则a的平方根等于 0； 逆否命题：若a的平方根等于0，则a不是正 数； (2)该命题为真命题 逆命题：在平面上，若一个四边形是圆内接 四边形，则该四边形的对角互补 否命题：在平面上，若一个四边形的对角不 互补，则该四边形不是圆内接四边形 逆否命题：在平面上，若一个四边形不是圆 内接四边形，则该四边形的对角不互补
13、 方法规律总结 1.写出四种命题的方法 (1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是 逆命题； (2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命 题是否命题； (3)交换原命题的条件和结论，并且同时否 定，所得的命题是逆否命题 写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命 题 (1)负数的平方是正数 (2)正方形的四条边相等 解析 (1)改写成“若一个数是负数，则它 的平方是正数” 逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负 数 否命题：若一个数不是负数，则它的平方不 是正数 逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它 不是负数 (2)原命题可以写成：若一个四边形是正方 形，则它的四条边相等 逆命题：若一个四边形的四
14、条边相等，则它 是正方形 否命题：若一个四边形不是正方形，则它的 四条边不相等 逆否命题：若一个四边形的四条边不相等， 则它不是正方形 特别提示 (1)题还有另一种解答： 原命题可以写成：若一个数是负数的平方， 则这个数是正数 逆命题：若一个数是正数，则它是负数的平 方 否命题：若一个数不是负数的平方，则这个 数不是正数 逆否命题：若一个数不是正数，则它不是负 数的平方 这两种解答都可以，实际上跟踪训练4中的第 (2)小题也有同样的两种解答. 四种命题间的相互关系 判断下列命题的真假，并写出它们 的逆命题、否命题、逆否命题，同时，判断这 些命题的真假 (1)若ab，则ac2bc2. (2)若在
15、二次函数yax2bxc中，b2 4acbc2，则ab，为真 否命题：若ab，则ac2bc2，为真 逆否命题：若ac2bc2，则ab，为假 (2)该命题为假，当b24acb2”的逆否命题； “若x3，则x2x60”的否命题； “若ab是无理数，则a，b是无理数”的逆 命题 其中真命题的个数为( ) A0 B1 C2 D3 (2)写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命 题，并判断命题的真假 若mn3，则x2x 60”，如x43，但x2x6 140，是假命题 原命题的逆命题为“若 a，b 是无理数，则 ab也是无 理数”，如 a( 2) 2，b 2，则 ab2 是有理数，是假命 题，选 B. (2)逆
16、命题：若方程 mx2xn0 有实数根，则 m n0，且无论 x，y，z 为何实数， (x1)2(y1)2(z1)20，abc0. 这与 abc0 矛盾，所以 a，b，c 中至少有一个大于 0. 方法规律总结 使用反证法证明问题时，准 确地作出反设(即否定结论)，是正确运用反 证法的前提，常见的“结论词”与“反设词” 列表如下： 原结论 词 反设词 原结论词 反设词 至少有 一个 一个也没 有 对所有x成 立 存在某个x不 成立 至多有 一个 至少有两 个 对任意x不 成立 存在某个x成 立 至少有n 个 至多有n 1个 p或q p且q 至多有n 个 至少有n 1个 p且q p或q 已知 a，b
17、，cR，证明：若 abc1，则 a，b，c 中至 少有一个小于1 3. 证明 原命题的逆否命题为“已知 a， b， cR， 若 a， b， c 都大于或等于1 3，则 abc1” 由条件 a1 3，b 1 3，c 1 3，三式相加得 abc1， 显然逆否命题为真命题，所以原命题也为真命题，即已知 a，b，cR，若 abc1，则 a，b，c 中至少有一个小于1 3. 写出命题“已知a、b、c、d是实 数，如果ab，cd，则acbd”的逆命 题、否命题，并判断它们的真假 错解 逆命题：如果acbd，则a、 b、c、d是实数，且ab，cd.假命题 否命题：如果a、b、c、d不是实数，ab， cd，则acbd.假命题 分清命题的条件与结论 辨析 上述解法没有弄清命题的条件，将大 前提“a、b、c、d是实数”充当了条件 正解 逆命题：已知a、b、c、d是实数， 如果acbd，则ab，cd.假命题 否命题：已知a、b、c、d是实数，如果 ab，或cd，则acbd.假命题
