1、北师大版高中数学选修北师大版高中数学选修2-12-1精品精品课件课件3.4.1曲线和方程曲线和方程 我们把借助于坐标系研究几何图形的方法我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法叫做坐标法. 在数学中，用坐标法研究几何图形在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何的知识形成的学科叫做解析几何.因此，解析几因此，解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科.问题问题1 1：解析几何与坐标法：解析几何与坐标法. .问题问题2 2：平面解析几何研究的两个基本问题：平面解析几何研究的两个基本问题. .（1 1）根据已知条件，求出表示平面曲线
2、的方程；）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；（2 2）通过曲线的方程，研究平面曲线的性质）通过曲线的方程，研究平面曲线的性质. .【例例1 1】设设A,BA,B两点的坐标分别是两点的坐标分别是( (1,1,1)1)，(3,7)(3,7)，求线段求线段ABAB的垂直平分线的方程的垂直平分线的方程. .解析：解析：设点设点M(x,y)是线段是线段ABAB的垂直平分的垂直平分线上的任意一点，也就是点线上的任意一点，也就是点M属于集合属于集合.PM MAMB由两点间的距离公式，点由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为适合的条件可表示为2222(x 1)(y 1)(x 3)(y 7) .上式两边
3、平方，并整理得上式两边平方，并整理得 x+2y7=0. 我们证明方程是线段我们证明方程是线段ABAB的垂直平分线的方程的垂直平分线的方程. .（1 1）由求方程的过程可知，垂直平分线上每一）由求方程的过程可知，垂直平分线上每一点的坐标都是方程的解；点的坐标都是方程的解；（2 2）设点）设点M1的坐标的坐标（x1,y1）是方程的解，即是方程的解，即 x1+2y17=0, x1=72y1.点点M1到到A，B的距离分别是的距离分别是11 ,M AM B 所所以以222211111211118215613()() ()() ();M Axyyyyy222211111211374275613()()()
4、() ().M Bxyyyyy即点即点M在线段在线段ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上. .由由(1)(1)、(2)(2)可知可知, ,方程是线段方程是线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线的方程的方程. . 由上述例子可以看出，求曲线的方程，一般有下面由上述例子可以看出，求曲线的方程，一般有下面几个步骤：几个步骤：(1)(1)建系设动点：建系设动点：建立适当的坐标系建立适当的坐标系, ,用有序实数对用有序实数对（x,yx,y）表示所求曲线上任意一点）表示所求曲线上任意一点M M的坐标；（求谁设谁）的坐标；（求谁设谁）(2)(2)列几何条件列几何条件: :写出适合条件写出适合条件p p的点的点
5、M M的集合的集合P=M|p(M);P=M|p(M);(3)(3)坐标代换坐标代换: :用坐标表示条件用坐标表示条件p(M),p(M),列出方程列出方程f(x,y)=0;f(x,y)=0;说明：说明：一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤步骤（5 5）可以省略不写，如有特殊情况，可适当可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明予以说明. 另外，也可以根据情况省略步骤另外，也可以根据情况省略步骤（2 2），），直接列出曲线方程直接列出曲线方程.(4)(4)化简化简: :化方程化方程f(x,y)=0f(x,y)=0为最简形式；为最简形式；(5)(5)证
6、明证明: :说明以化简后的方程的解为坐标的点都在说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上曲线上. .【例例2 2】已知一条直线已知一条直线l和它上方的一个点和它上方的一个点F F，点，点F F到到l的距离是的距离是2.2.一条曲线也在一条曲线也在l的上方，它上面的每一的上方，它上面的每一点到点到F F的距离减去到的距离减去到l的距离的差都是的距离的差都是2,2,建立适当的建立适当的坐标系，求这条曲线的方程坐标系，求这条曲线的方程. .分析：分析：在建立坐标系时，一般应当充分在建立坐标系时，一般应当充分利用已知条件中的定点、定直线等，利用已知条件中的定点、定直线等，这样可以使问题中的几何特征得
7、到更好的这样可以使问题中的几何特征得到更好的表示，从而使曲线方程的形式简单一些表示，从而使曲线方程的形式简单一些. .学习目标：学习目标：曲线和方程的概念、意义及曲线和方程的两个基本问题曲线和方程的概念、意义及曲线和方程的两个基本问题.重点和难点：重点和难点：曲线和方程的概念曲线和方程的概念曲线和方程之间有什么对应关系呢？曲线和方程之间有什么对应关系呢？为什么为什么? ?复习回顾复习回顾: 我们研究了直线和圆的方程我们研究了直线和圆的方程.1.经过点经过点P(0,b)和斜率为和斜率为k的直线的直线L的方程的方程为为_2.在直角坐标系中在直角坐标系中,平分第一、三象限的平分第一、三象限的直线方程
8、是直线方程是_3.圆心为圆心为C(a,b) ,半径为半径为r的圆的圆C的方程的方程为为_.x-y=0例例1.1.设设A A，B B两点的坐标分别是两点的坐标分别是(-1,-1),(-1,-1),(3,7),(3,7),求线段求线段ABAB的垂直平分线的方程。的垂直平分线的方程。思考思考1： 我们有哪些我们有哪些可以求直线方程的方可以求直线方程的方法？法？0 xyAB二、典例分析二、典例分析例例1.1.设设A A，B B两点的坐标分别是两点的坐标分别是(-1,-1),(-1,-1),(3,7),(3,7),求线段求线段ABAB的垂直平分线的方程。的垂直平分线的方程。y0 xABM例例1.1.设设
9、A A，B B两点的坐标分别是两点的坐标分别是(-1,-1),(-1,-1),(3,7),(3,7),求线段求线段ABAB的垂直平分线的方程。的垂直平分线的方程。求曲线的方程求曲线的方程我们的目标就是要找我们的目标就是要找x与与y的关系式的关系式先找曲线上的点满足的几何条件先找曲线上的点满足的几何条件例例1.1.设设A A，B B两点的坐标分别是两点的坐标分别是(-1,-1),(-1,-1),(3,7),(3,7),求线段求线段ABAB的垂直平分线的方程。的垂直平分线的方程。下面证明线段下面证明线段AB的垂直平分线的方程是的垂直平分线的方程是x+2y-7=0.22222111111111821
10、5613M Axyyyyy222221111111374275613M Bxyyyyy点点1M到到A A、B B的距离分别是的距离分别是点点1M在线段在线段ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上. .17课本例课本例18xy0(0,2)( , )x ylB如何建立直角坐标系？在建立直角坐标系时应遵循“避繁就简”这一原则一般地，我们按以下几个原则来建立直角坐标系：(1)若条件中只出现一个定点，常以定点为原点建立直角坐标系(2)若已知两定点，常以两定点的中点(或其中一个定点)为原点，两定点所在的直线为 x 轴建立直角坐标系(3)若已知两条互相垂直的直线，则以它们为坐标轴建立直角坐标系(4)若已知一定
11、点和一条直线，常以定点到定直线的垂线段的中点为原点，以定点到定直线的反向延长线为 x 轴正方向建立直角坐标系(5)若已知定角，常以定角的顶点为原点，定角的角平分线为 x 轴建立直角坐标系21xy0MBA( , )x y课外拓展课外拓展PMNO1O2高考真题： 如图，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2=4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得 试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程. 2.PMPNxyo本节小结：本节小结：一、求曲线的方程一、求曲线的方程(轨迹方程轨迹方程)的一般步骤的一般步骤: 1、建建立适当的坐标立适当的坐标系系，设设曲线上任一曲线上任一
12、点点的坐标的坐标; 2、找条件，由条件、找条件，由条件列出方程列出方程; 3、化简方程化简方程. 说明所得方程说明所得方程(可以省略可以省略)为所求的曲线为所求的曲线方程方程.二、求曲线方程的常用方法：二、求曲线方程的常用方法：直接法直接法检验xy0( , )x yCABDM0y 作业：作业： P37 A 3、4思考题：思考题：优化设计优化设计 P21 例例22.1.2 2.1.2 求曲线的方程求曲线的方程曲线C方程f(x,y)=0（第二课时）（第二课时）忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点解解 已知RtABC，|AB|2a(a0)，求直角顶点C的轨迹方程解题过程以AB所在直线为x轴，AB
13、的中点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则有A(a,0)，B(a,0)，设顶点C(x，y)由ABC是直角三角形可知|OC|OB|a，C点的轨迹是以O为圆心，以a为半径的圆(除去A、B两点)，C点的轨迹方程为x2y2a2(xa)题后感悟(1)求曲线的方程时，若题设条件中无坐标系，则需要恰当建系，要遵循垂直性和对称性的原则，即借助图形中互相垂直的直线建系，借助图形的对称性建系一方面让尽量多的点落在坐标轴上，另一方面能使求出的轨迹方程形式简洁(2)如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依据定义结合条件写出动点的轨迹方程利用定义法求轨迹要善于抓住曲线的定义特征2.过点P(2,4)作两条互相垂直
14、的直线l1、l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程动点M在曲线x2y21上移动，M和定点B(3,0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程(3)何时用代入法求轨迹方程？已知一个点在已知曲线上运动，并带动另一个点M运动，在求动点M的方程时，往往用代入法3.已知点A是抛物线yx24上的动点，过A作ABx轴，垂足为B，试求线段AB的中点M的轨迹方程解析：设M(x，y)，A(x0，y0)，则B点坐标为(x0,0)M为线段AB的中点，2求曲线方程(轨迹方程)常见的方法直接法直接法动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系，只需把这种关系“翻译”成含x，y的等式就得到曲线的轨迹
15、方程定义法动点满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量代入法动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程待定系数法根据条件能确定曲线的类型，可设出方程形式，再根据条件确定待定的系数3.建立适当的坐标系(1)若条件中只出现一个定点，常以定点为原点建立直角坐标系；(2)若已知两定点，常以两定点的中点为原点，两定点所在的直线为x轴建立直角坐标系；(3)若已知两条互相垂直的直线，则以它们为坐标轴建立直角坐标系；(4)若已知一定点和一定
16、直线，常以点到直线的垂线段的中点为原点，以点到直线的垂线的反向延长线为x轴建立直角坐标系等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个顶点是B(3,5)，求另一个顶点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么？【错因】造成以上错误的原因是没有认真考虑题目要求的几何条件实际上有两个：(1)A、B、C三点要组成一个三角形；(2)A、B、C三点组成的三角形是一个等腰三角形错解过程中，只是根据条件(2)，由|AC|AB|求出方程，所得方程保证满足条件(2)，而无法保证满足条件(1)，解题后没有进行检验，因此造成解题不严密xy0( , )x yCABDM0y 例例2.2.设圆设圆C：(x-1)2+y2=1，过原点，过
17、原点O作作圆圆C的任意弦，求所作弦的中点的轨迹的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程方程. .OxyQCP解法一(直接法)： 设OQ为过O的一条弦，P(x,y)为OQ的中点，则CPOQ，OC的中点为M( ,0)如图，从而所求的方程为2211.24xy而|PM|= |OC|=121212M也可利用斜率，但要讨论01x 例例2.2.设圆设圆C：(x-1)2+y2=1，过原点，过原点O作作圆圆C的任意弦，求所作弦的中点的轨迹的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程方程. .解法二(定义法)：OxyQCP 由解法一知，OPC=900从而所求的圆的方程为2211,24xy12M故动点P在以M( ,0) 为圆心，O
18、C为直径的圆上01x 例例2.2.设圆设圆C：(x-1)2+y2=1，过原点，过原点O作作圆圆C的任意弦，求所作弦的中点的轨迹的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程方程. .解法三(相关点法或称代入法)：OxyQCP P(x,y)为OQ的中点，设Q(x1,y1),则从而所求的方程为2211,24xyM又点Q在圆C上，1122xxyy1122xxyy (x1-1)2+y12=1故 (2x-1)2+(2y)2=101x 例例2.2.设圆设圆C：(x-1)2+y2=1，过原点，过原点O作作圆圆C的任意弦，求所作弦的中点的轨迹的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程方程. .解法四(参数法)：OxyQCP 设P
19、(x,y)，Q(1+cos,sin),0,2)则消去参数，得2211,24xyM又点P为OQ的中点，1 cos2sin2xy如图，01x 例例2.2.设圆设圆C：(x-1)2+y2=1，过原点，过原点O作作圆圆C的任意弦，求所作弦的中点的轨迹的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程方程. .解法四(参数法二)：OxyQCP 设动弦OQ的方程为y=kx,代入圆的方程，得消去参数k，得2211,24xyM(x-1)2+k2x2=1.即 (1+k2)x2-2x=0.122121xxxk设P(x,y)为轨迹上任一点而y=kx，01x 方法小结：方法小结：求曲线的轨迹方程的主要方法有：直接法代入法（相关点法）
20、参数法定义法待定系数法所求动点随另一动点在已知曲线上的运动而运动，称为相关点法.已知曲线的类型，可先设出曲线的方程分析作业： P37 A4 求曲线方程(轨迹方程)常见的方法直接法直接法动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系，只需把这种关系“翻译”成含x，y的等式就得到曲线的轨迹方程定义法动点满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量代入法动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程待定系数法根据条件能确定曲线的类型，可设出方程形式，再根据条件确定待定的系数xy0ABCMlxy0ABCMlO本节小结：本节小结：一、求曲线的方程一、求曲线的方程(轨迹方程轨迹方程)的一般步骤的一般步骤: 1、建立适当的坐标系，设曲线上任一、建立适当的坐标系，设曲线上任一点的坐标点的坐标; 2、找条件，由条件列出方程、找条件，由条件列出方程; 3、化简方程、化简方程. 说明所得方程说明所得方程(可以省略可以省略)为所求的曲线为所求的曲线方程方程.二、求曲线方程的常用方法：二、求曲线方程的常用方法：直接法、相关点法、几何法、定义法、直接法、相关点法、几何法、定义法、参数法、待定系数法参数法、待定系数法课堂练习：P37 练习 3
