1、3.2.23.2.2抛物线抛物线的简单的简单几何性质几何性质一、温故知新一、温故知新( (一一) ) 圆锥曲线的统一定义圆锥曲线的统一定义 平面内，到定点平面内，到定点F的距离与到定直线的距离与到定直线l的距离的距离比为常数比为常数e的点的轨迹的点的轨迹,当当0e0) (2)开口向左开口向左 y2 = -2px (p0)(3)开口向上开口向上 x2 = 2py (p0) (4)开口向下开口向下 x2 = -2py (p0)CMFle=1H 在平面内在平面内,与一个定点与一个定点F和和一条定直线一条定直线l(l不经过点不经过点F)的的距离相等距离相等的点的轨迹叫的点的轨迹叫抛抛物线物线.点点F叫
2、抛物线的叫抛物线的焦点焦点,直线直线l 叫抛物线的叫抛物线的准线准线d 为为 M 到到 l 的距离的距离准线准线焦焦点点d的轨迹是抛物线。则点若MMNMF, 1标准方程标准方程 图形图形焦点焦点准线准线xyOFly2=2pxy2=-2pxxyOFlx2=2pyx2=-2pyxyOFlxyOFl(,0)2pF(0, )2pF2px(0,)2pF(,0)2pF 2px 2py 2py 1抛物线x24y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为()A2 B3C4 D5解析：点A与抛物线焦点的距离就是点A与抛物线准线的距离，即4(1)5.答案：D答案：Byox)0,2(pFP(x,y)一、一、抛
3、物线抛物线的的几何性质几何性质抛物线在抛物线在y轴的右侧，当轴的右侧，当x的值增大时，的值增大时，y也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。延伸。1、范围范围由抛物线由抛物线y2 =2px（p0）220pxy而而0p 0 x 所以抛物线的范围为所以抛物线的范围为0 x ( , )x y关于关于x轴轴对称对称( ,)xy 由于点由于点 也满也满足足 ，故抛物线，故抛物线(p0)关于关于x轴轴对称对称.( ,)xyy2 = 2pxy2 = 2px2、对称性、对称性yox) 0 ,2(pFP(x,y)定义：抛物线和它的轴的交点称为抛物线定义：抛物线和它的
4、轴的交点称为抛物线的的顶点顶点。yox) 0 ,2(pFP(x,y)由y2 = 2px （p0）当当y=0时时,x=0, 因此抛物线的顶点顶点就是坐标原点（0，0）。注注:这与椭圆有四个顶点这与椭圆有四个顶点,双曲线有双曲线有两个顶点不同。两个顶点不同。、顶点、顶点离心率离心率4、yox) 0 ,2(pFP(x,y) 抛物线上的点与焦抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的点的距离和它到准线的距离之比，叫做距离之比，叫做抛物线抛物线的的离心率离心率。 由定义知，由定义知， 抛物线抛物线y2 = 2px (p0)的离心率为的离心率为e=1.5、开口方向、开口方向yox) 0 ,2(pFP(x,y)抛
5、物线抛物线y2 =2px（p0）的开）的开口方向向右。口方向向右。pyxpyxpxypxy22222222+X，x轴正半轴，向右轴正半轴，向右-X，x轴负半轴，向左轴负半轴，向左+y，y轴正半轴，向上轴正半轴，向上-y，y轴负半轴，向下轴负半轴，向下特点：特点：1.抛物线只位于半个坐标平面内抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无虽然它可以无限延伸限延伸,但它没有渐近线但它没有渐近线;2.抛物线只有一条对称轴抛物线只有一条对称轴,没有没有对称中心对称中心;3.抛物线只有一个顶点、抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的抛物线的离心率是确定的,为为1;
6、思考思考：抛物线标准方程中的：抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响对抛物线开口的影响.yox)0 ,2(pFP(x,y)P越大开口越大开口越大越大方程图形准线焦点对称轴)0(22ppxy)0(22ppxy)0(22ppyx)0(22ppyx)0 ,(2pF) 0 ,(2pF ), 0(2pF), 0(2pF2px2px2yp2py x轴轴x轴轴y轴轴y轴轴ox xF FOy ylx xF FOy ylx xF FOy ylx xFOy yl练习练习：填空（顶点在原点，焦点在坐标：填空（顶点在原点，焦点在坐标轴上）轴上） 方程方程焦点焦点准线准线开口方向开口方向xy62yx420722 yx)
7、0 ,(23F)0 , 1(F) 1 , 0(F), 0(87F23x1x1y87yxy42开口向开口向右右开口向开口向左左开口向开口向上上开口向开口向下下（二）归纳：抛物线（二）归纳：抛物线的的几何性质几何性质图图 形形方程方程焦点焦点准线准线范围范围顶点顶点对称轴对称轴elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）)0 ,2(pF)0 ,2(pF )2, 0(pF)2, 0(pF2px 2px 2py 2pyx0yRx0yRy0 xRy 0 xR(0,0)x轴轴y轴轴1xyOFABy2=2px2
8、p过焦点而垂直于对称轴的弦过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的，称为抛物线的通径，通径，利用抛物线的利用抛物线的顶点顶点、通、通径的两个径的两个端点端点可较准确可较准确画出反映抛物线基本特画出反映抛物线基本特征的草图征的草图. pp,2 pp,2|AB|=2p通径通径5、2p越大，抛物线张口越大越大，抛物线张口越大.P越大越大,开口越开阔开口越开阔 1、已知抛物线的顶点在原点，对称、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴为x轴，焦点在直线轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那上，那么抛物线通径长是么抛物线通径长是 . 2、一个正三角形的三个顶点，都在抛、一个正三角形的三个顶点，都在抛物线物
9、线 上，其中一个顶点为坐标上，其中一个顶点为坐标原点，则这个三角形的面积为原点，则这个三角形的面积为 。24yx1648 3课堂练习：课堂练习：连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的线的焦半径焦半径。|PF|=x0+p/2焦半径公式：焦半径公式：焦半径焦半径6、xyOFPx0p/2焦半径及焦半径公式焦半径及焦半径公式抛物线上一点到焦点的距离抛物线上一点到焦点的距离P(x0，y0)在在y2=2px上，上， P(x0，y0)在在y2=-2px上上,P(x0，y0)在在x2=2py上上,P(x0，y0)在在x2=-2py上上,20pxPF 02xpPF 20
10、pyPF 02ypPF 归纳归纳: (1)、抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它、抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；也可以无限延伸，但没有渐近线； (2)、抛物线只有一条对称轴、抛物线只有一条对称轴,没有对称中心没有对称中心; (3)、抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条、抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；准线； (4)、抛物线的离心率、抛物线的离心率e是确定的为是确定的为, 、抛物线的通径为、抛物线的通径为2P, 2p越大，抛物线的越大，抛物线的张口越大张口越大.例例1.已知抛物线关于已知抛物线关于x轴对称轴对称,它的顶点在坐标原它的顶点在坐标原点点,并且过点
11、并且过点M(2, ),求它的标准方程求它的标准方程.2 2pxy22为解：由题设抛物线方程222)22(2pp.42xy 所求抛物线方程为| |AB| |8 8 例例2 2 斜率为斜率为1 1的直线的直线l经过抛物线经过抛物线y2 24 4x的的焦点焦点F，且与抛物线相交于，且与抛物线相交于A、B两点，两点，求线段求线段AB的长的长. . O OxyBAF法法1：解出交点坐标；计算弦长：解出交点坐标；计算弦长(运算量一般较大运算量一般较大); 法法2：设而不求：设而不求,运用韦达定理运用韦达定理,计算弦长计算弦长(运算量一般运算量一般); 法法3：焦半径公式。：焦半径公式。xyOFABBA22
12、4 ,(1)4 ,yxxx代代入入方方程程得得.0162xx化简得84)(216212212121xxxxABxxxx。的长是所以，线段8AB例例3.斜率为斜率为1的直线的直线L经过抛物线经过抛物线 的焦点的焦点F,且与抛物线相交于且与抛物线相交于A,B两点两点,求线段求线段AB的长的长.y2 = 4x解法一解法一:由已知得抛物线的焦点由已知得抛物线的焦点为为F(1,0),所以直线所以直线AB的方程为的方程为y=x-1xyOFABBA.,),(),(2211BAddlBAyxByxA的距离分别为准线到设, 1, 121xdBFxdAFBA由抛物线的定义可知1228ABAFBFxx 所所以以例例
13、3.斜率为斜率为1的直线的直线L经过抛物线经过抛物线 的焦点的焦点F,且与抛物线相交于且与抛物线相交于A,B两点两点,求线段求线段AB的长的长.y2 = 4x2,1,2pp . 1:xl准线解法二解法二:由题意可知由题意可知,焦点弦公式：焦点弦公式：12pxx练习练习:1.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，轴，焦点在直线焦点在直线3x-4y-12=0上，那么抛物线的标上，那么抛物线的标准方程准方程_.2.过抛物线过抛物线 的焦点的焦点,作倾斜角为作倾斜角为的直线的直线,则被抛物线截得的弦长为则被抛物线截得的弦长为_3.垂直于垂直于x轴的直线交抛物线轴的直线交
14、抛物线y2=4x于于A、B,且且|AB|=4 ,求直线求直线AB的方程的方程.16 y2 = 8x0453X=3xy162令令y=0,得到焦点坐标得到焦点坐标例例5.正三角形的一个顶点位于坐标原点正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个点另外两个点在抛物线在抛物线y2=2px(p0)上上,求这个正三角形的边长求这个正三角形的边长.例例6.等腰直角三角形等腰直角三角形AOB内接于抛物线内接于抛物线y2=2px(P0),O为抛物线的顶点为抛物线的顶点,OAOB,则则AOB的面积为的面积为( )A. 8p2B. 4p2C. 2p2D. p2),3aa为（解：由题可设一个顶点paapa32322则由.
15、34p三角形的边长为),aa为（解：由题可设一个顶点papaa222则由.42BpSAOB选 五、归纳总结五、归纳总结抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；以无限延伸，但没有渐近线；抛物线只有一条对称轴抛物线只有一条对称轴, ,没有对称中心没有对称中心; ;抛物线的离心率是确定的，等于；抛物线的离心率是确定的，等于；抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；抛物线的通径为抛物线的通径为2P, 2p越大，抛物线的张口越大，抛物线的张口越大越大.1、范围：、范围：2、对称性：、对称性：3、顶点：、顶点：4、离心率：、离心率：5、通径：、通径：6、光学性质：、光学性质： 从焦点出发的光线，通过抛物线反射就从焦点出发的光线，通过抛物线反射就变成了平行光束变成了平行光束. .
