1、3 全称量词与存在量词全称量词与存在量词 第一章第一章 课堂典例探究课堂典例探究 2 课课 时时 作作 业业 3 课前自主预习课前自主预习 1 课前自主预习课前自主预习 1.通过具体实例理解全称量词和存在量词的 含义并会判断全称命题和特称命题的真 假 2能够用符号表示全称命题、特称命题，能 正确地对含有一个量词的命题进行否定. “所有”“每个”“任何”“任意一 个”“一切”都是在指定范围内，表示 _或_的含义，这样的词叫作全称量 词像这样含有_的命题，叫作全 称命题. 全称量词与全称命题 整体 全部 全称量词 “有些”“至少有一个”“有一个”“存在” 都有表示_或_的含义，这样的 词叫作存在量
2、词像这样含有_的 命题，叫作特称命题. 存在量词与特称命题 个别 一部分 存在量词 全称命题的否定是_命题；特称命题的 否定是_命题 要说明一个全称命题是错误的，只需找出一 个反例就可以了实际上是要说明 _是正确的 要说明一个特称命题“存在一些对象满足某 一性质”是错误的，就要说明所有的对象都 不满足这一性质实际上是要说明 _是正确的. 全称命题与特称命题的否定 特称 全称 这个全称命题的否定 这个特称命题的否定 1.全称命题、存在性命题的不同表述 同一个全称命题或存在性命题，由于自然语 言的不同，可以有不同的表述方法现列表 总结于下，在实际应用中可以灵活地选择. 命 题 全称命题“xA， p
3、(x)” 存在性命题“xA， p(x)” 表 述 方 法 所有的xA，p(x) 成立； 对一切xA，p(x) 成立； 对每一个xA， p(x)成立； 任选一个xA， p(x)成立； 凡xA，都有p(x) 成立. 存在xA，使p(x)成 立； 至少有一个xA，使 p(x)成立； 对有些xA，使p(x) 成立； 对某个xA，使p(x) 成立； 有一个xA，使p(x) 成立. 2.对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐 含的量词，改写成含量词的完整形式，再依 据规则来写出命题的否定 3否定命题时，要注意特殊的词，如 “全”“都”等常见关键词及其否定形式 如下表. 关键词 否定词 关键词 否定词 等于
4、不等于 大于 不大于 能 不能 小于 不小于 至少有 一个 一个都 没有 至多有 一个 至少有 两个 都是 不都是 是 不是 没有 至少有 一个 属于 不属于 1.观察下列语句： (1)2x是偶数； (2)对于任意一个xZ,2x都是偶数 (3)所有的三角函数都是周期函数 问题1：以上语句是命题吗？ 问题2：上述命题中强调的是什么？ 答案 问题1：(1)不是命题，因为无法判断 真假；(2)(3)是命题 问题2：(2)强调任意一个xZ；(3)强调所有 的三角函数 2观察下列语句： (1)存在一个x0R，使2x0210； (2)至少有一个x0R，使x0能被5和8整除 问题1：以上语句是命题吗？ 问题
5、2：上述命题有什么特点？ 答案 问题1：都是命题 问题2：两命题都强调存在符合条件的x0. 3下列命题： 有一个实数不能做除数； 棱柱是多面体； 所有方程都有实数解； 有些三角形是锐角三角形 其中是特称命题的个数为( ) A1 B2 C3 D4 答案 B 解析 是特称命题；是全称命题 4命题“存在实数x，使x1”的否定是( ) A对任意实数x，都有x1 B不存在实数x，使x1 C对任意实数x，都有x1 D存在实数x，使x1 答案 C 解析 特称命题的否定为全称命题 “存在实数x，使x1”的否定是“对任意实 数x，都有x1” 5(2014湖北省八校联考)命题“对任意 xR，exx2”的否定是(
6、) A不存在xR，使exx2 B存在xR，使ex”的否定为“”，故选C. 6(2014 韶关市曲江一中月考)下列说法正确的是( ) A“a1”是“f(x)logax(a0，a1)在(0，)上为增函 数”的充要条件 B命题“存在 xR 使得 x22x30” C“x1”是“x22x30”的必要不充分条件 D命题 p：“对任意 xR，sinxcosx 2”，则 p 的否 定是真命题 答案 A 解析 a1 时，f(x)logax 为增函数，f(x)logax(a0 且 a1)为增函数时，a1，A 正确；“b，则2a2b1”的否命 题为“若ab，则2a2b1”；对“对任意 xR，x211”的否定为“存在
7、xR，x2 11”其中正确命题的个数是( ) A0个 B1个 C2个 D3个 答案 C 解析 由于p与其逆否命题同真假， 正确；ab的否定为ab,2a2b1的否定为 2a2b1，故正确；全称命题的否定为 特称命题，“”的否定为“0 恒成 立 (4)p 是存在性命题，是假命题 对于任一等差数列an(首项 a1，公差 d)，其前 n 项和为： Snna11 2n(n1)d d 2n 2(a 1d 2)n.因此不可能是 Snn 22n 1 这种形式(含常数式) 方法规律总结 对于全称命题，若真，要证明其正确性， 若假只需举一反例，对于存在性命题，若真，只要有一个元素 满足即可；若假，全部否定才可以
8、指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是 特称命题，并判断其真假 (1)至少有一个整数，它既不是合数，也不是 素数； (2)存在xx|x是无理数，x2是无理数； (3)任意的xR，则x22x11，log2x0； (2)p：对任意 a，bR，a2b20； (3)p：有的正方形是矩形； (4)p：存在 x0R，x2 0x020. 解析 (1)p的否定：存在x01，log2x00. (2)p的否定：存在a、bR，a2b20. (3)p的否定：任意一个正方形都不是矩形 (4)p的否定：对任意xR，x2x20. 利用全称命题与特称命题求参数 的取值范围 命题p：所有的x1,2，4x2x 12a(t1)21
9、. 命题 p 等价于： 所有的 t1 2， 4， a(t1) 21 恒成立 令 y(t1)21，当 t1 2，4时，ymax(41) 2110.所以只需 a10，即可得证命题 p 为真命题故所求实数 a 的取值范围是 (10，) 方法规律总结 应用全称命题与特称命题求 参数范围的常见题型 1全称命题的常见题型是“恒成立”问题， 全称命题为真时，意味着命题对应的集合中 的每一个元素都具有某种性质，所以可以代 入，也可以根据函数等数学知识来解决 2特称命题的常见题型是以适合某种条件的 结论“存在”、“不存在”、“是否存在” 等语句表达解答这类问题，一般要先对结 论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假
10、设 出发，结合已知条件进行推理证明，若推出 合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛 盾，则否定了假设 若命题p：对任意xR，ax24xa2x2 1是真命题，则实数a的取值范围是( ) A(，2 B2，) C(2，) D(2,2) 答案 B 解析 ax24xa2x21 是真命题，即不等式 ax2 4xa2x21 对任意 xR 恒成立，即(a2)x24x(a 1)0 恒成立 当 a20 时，不符合题意 故有 a20 0 ，即 a20， 164a2a10 ， 解得 a2. (2014 北京朝阳区期中)已知函数 f(x)x24x a3，aR. (1)若函数 yf(x)的图像与 x 轴无交点，求 a 的
11、取值范围； (2)若函数 yf(x)在1,1上存在零点，求 a 的取值范围； (3)设函数 g(x)bx52b，bR.当 a0 时，若对任意的 x11,4，总存在 x21,4，使得 f(x1)g(x2)， 求 b 的取值范围 解题思路探究 第一步，审题，审条件发掘 解题信息，给出含参数的二次函数，其图像 开口向上 审结论明确解题方向，求参数的取值范围 第二步，找联系，确定解题方案 第(1)问中f(x)的图像与x轴无交点，故方程f(x) 0无实根，对应0 时，g(x)在1,4 上的值域为5b,2b5，只需 5b1， 2b53， b6；当 b0 时，g(x)5 不合题意，当 b0 时，g(x)在1
12、,4上的值域为2b 5,5b， 只需 2b51， 5b3， b3.综上知 b 的取值范围是 b6 或 b3. 注意准确把握语句的真实含义 指出下列命题是全称命题还是特称命题 (1)“末位是 0 的整数，可以被 5 整除”； (2)当 x(0,1)时，1 2 1 2 x1； (3)有的平面四边形两对角线互相垂直 错解 (1)无法判定(2)特称命题(3)全称 命题 辨析 对省略全称量词和存在性量词的命题 缺乏分析理解 正解 (1)指所有的末位数字是零的整数都可以被 5 整 除，是全称命题 (2)是指对任意的 x(0,1)，都有1 2 1 2 x1，是全称命题 (3)是指存在这样的平面四边形，其两条对角线互相垂直， 是特称命题
