1、圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 第二章第二章 2 抛抛 物物 线线 2.2 抛物线的简单性质抛物线的简单性质 第二章第二章 课堂典例探究课堂典例探究 2 课课 时时 作作 业业 3 课前自主预习课前自主预习 1 课前自主预习课前自主预习 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、 准线等几何性质 2会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物 线问题. 抛物线y22px(p0)的简单几何性质 (1)对称性：以y代y，方程y22px(p0)不 变，因此这条抛物线是以_轴为对称轴 的轴对称图形 抛物线的对称轴叫作抛物线的_，抛物 线只有一条对称轴 (2)顶点：抛物线和它的_的交点叫作抛 物线的顶点 抛物线的
2、几何性质 x 轴 轴 (3)离心率：抛物线上的点到_的距离和 它到_的距离的比，叫作抛物线的离心 率，抛物线的离心率为1. (4)通径：过焦点垂直于轴的弦称为抛物线的 通径，其长为_. (5)范围：由y22px0，p0知x0，所以抛 物线在y轴的_侧；当x的值增大时，|y| 也_，这说明抛物线向右上方和右下方 无限延伸，p值越大，它开口_. 焦点 准线 2p 右 增大 越开阔 1.将直线方程与抛物线方程联立，消元后得 到一元二次方程，若0，则直线与抛物线 _，若0，则直线与抛物线_，若 0) y22px (p0) x22py (p0) x22py (p0) 焦半 径|AF| |AF|x0p 2
3、 |AF| p 2x0 |AF|y0 p 2 |AF| p 2y0 2.焦点弦问题 如图所示：AB是抛物线y22px(p0)过焦点 F的一条弦，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的 中点M(x0，y0)，抛物线的准线为l. (1)以 AB 为直径的圆必与准线 l 相切； (2)|AB|2(x0p 2)x1x2p； (3)A、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即 x1 x2 p 2 4 ，y1 y2p2. 1.若抛物线y2x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距 离，则点 P 的坐标为( ) A(1 4， 2 4 ) B(1 8， 2 4 ) C(1 4， 2 4 ) D(1 8，
4、2 4 ) 答案 B 解析 设焦点为 F，原点为 O，P(x0，y0)，由条件及抛物 线的定义知，|PF|PO|，又 F(1 4，0)，x0 1 8， y2 01 8，y0 2 4 ，故选 B. 答案 A 解析 抛物线的顶点在原点，坐标轴为对 称轴， 抛物线的方程为标准形式 当抛物线的焦点在x轴上时， 抛物线过点(1,2)， 2顶点在原点、坐标轴为对称轴的抛物线，过点(1，2)， 则它的方程是( ) Ay2x2或 y24x By24x 或 x22y Cx21 2y Dy24x 设抛物线的方程为 y22px(p0) 222p(1)p2. 抛物线的方程为 y24x. 当抛物线的焦点在 y 轴上时，
5、 抛物线过点(1,2)， 设抛物线的方程为 x22py(p0) (1)22p 2，p1 4. 抛物线的方程为 x21 2y. 3过抛物线y28x的焦点，作倾斜角为45 的直线，则被抛物线截得的弦长为( ) A8 B16 C32 D61 答案 B 解析 由抛物线y28x的焦点为(2,0)，得直 线的方程为yx2. 代入y28x，得(x2)28x，即x212x4 0. x1x212，弦长x1x2p124 16. 4顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点到 焦点的距离等于6的抛物线方程是 _ 答案 y224x或y224x 解析 顶点到焦点距离为 6， 即p 26，2p24， 又对称轴为 x 轴， 抛物线
6、方程为 y224x 或 y224x. 5过抛物线y22px(p0)的焦点F作倾斜角 为45的直线交抛物线于A、B两点，若线段 AB的长为8，则p_. 答案 2 解析 本小题主要考查抛物线的性质、弦长等基础知识 直线 AB：yxp 2代入抛物线 y 22px， 得 x23pxp 2 4 0， x1x23p， 3pp8，p2. 课堂典例探究课堂典例探究 若抛物线y22px(p0)上有一点 M，其横坐标为9，它到焦点的距离为10，求 抛物线方程和M点的坐标 抛物线的标准方程 解析 由抛物线定义， 设焦点为 F(p 2，0) 则该抛物线准线方程为 xp 2， 由题意设点 M 到准线的距离 为|MN|，
7、 方法规律总结 求抛物线的标准方程要明确 四个步骤： (1)定位置(根据条件确定抛物线的焦点位置及 开口)； (2)设方程(根据焦点和开口设出标准方程)； (3)找关系(根据条件列出关于p的方程)； (4)得出抛物线的标准方程 则|MN|MF|10，即p 2(9)10，p2. 故抛物线方程为 y24x. 将 M(9，y)代入抛物线方程，得 y 6. M 点的坐标为(9,6)或(9，6) 已知抛物线的方程为标准方程，焦点在x轴上， 其上一点P(3，m)到焦点F的距离为5，则 抛物线方程为( ) Ay28x By28x Cy24x Dy24x 答案 B 解析 由题意可判定抛物线开口向左，由 P(3
8、，m)到准 线的距离为 5，可知准线为 x2，p 22，p4， 抛物线方程为 y28x. 抛物线的焦点弦问题 已知直线l经过抛物线y26x的焦点 F，且与抛物线相交于A、B两点 (1)若直线l的倾斜角为60，求|AB|的值； (2)若|AB|9，求线段AB的中点M到准线的 距离 解析 (1)因为直线 l 的倾斜角为 60 ， 所以其斜率 ktan60 3，又 F(3 2，0) 所以直线 l 的方程为 y 3(x3 2) 联立 y26x， y 3x3 2， 消去 y 得 x25x9 40. 若设 A(x1，y1)，B(x2，y2) 则 x1x25， 而|AB|AF|BF|x1p 2x2 p 2x
9、1x2p. |AB|538. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知 |AB|AF|BF|x1p 2x2 p 2 x1x2px1x23， 所以 x1x26，于是线段 AB 的中点 M 的横坐标是 3， 又准线方程是 x3 2， 所以 M 到准线的距离等于 33 2 9 2. 方法规律总结 解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛 物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的 坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解 (1)斜率为2的直线经过抛物线y24x的焦点， 与抛物线相交于两点A、B，则线段AB的长 度为_ (2)过抛物线y28x的焦点作直线l，交抛物线 于A，
10、B两点，若线段AB中点的横坐标为3， 则|AB|的长度为_ 答案 (1)5 (2)10 解析 (1)如图，由抛物线的标准方程可知， 焦点F(1,0)，准线方程x1. 由题设，直线AB的方程为：y2x2. 代入抛物线方程y24x， 整理得：x23x10. 设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由抛物线定义可知， |AF|等于点A到准线x1的距离|AA|， 即|AF|AA|x11，同理|BF|x21， |AB|AF|BF|x1x22325. (2)由抛物线 y28x 知，p4. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线定义知： |AF|x2p 2，|BF|x2 p 2， |AB|AF|B
11、F|x1p 2x2 p 2x1x2p， x1x2|AB|p. 由条件知x 1x2 2 3，则 x1x26， |AB|p6，又p4，|AB|10. 最值问题 设P是抛物线y24x上的一个动点， F为抛物线焦点 (1)求点P到点A(1,1)的距离与点P到直线x 1的距离之和的最小值； (2)若B(3,2)，求|PB|PF|的最小值 解析 (1)如图，易知抛物线的焦点为 F(1,0)，准线方程 是 x1，由抛物线的定义知：点 P 到直线 x1 的距离等 于点 P 到焦点 F 的距离于是，问题转化为：在曲线上求一点 P，使点 P 到点 A(1,1)的距离与点 P 到 F(1,0)的距离之和最 小显然，
12、连 AF 交抛物线于 P 点，故最小值为 2212，即 5. (2)如图把点 B 的横坐标代入 y24x 中，得 y 12，因为 122，所以 B 在抛物线内部，自 B 作 BQ 垂直准线于 Q，交 抛物线于 P1. 此时，由抛物线定义知： |P1Q|P1F|. 那么|PB|PF|P1B|P1Q| |BQ|314. 即最小值为 4. 方法规律总结 与抛物线有关的最值问题， 一是涉及到焦点或准线的距离，可利用抛物 线的定义(即抛物线上的点到准线的距离等于 该点到焦点的距离)，构造出“两点间线段最 短”或“点到直线的垂线段最短”使问题获 解；二是抛物线上的点到某曲线或直线的距 离最小，常转化为函数
13、最值求解 (1)定点 M 3，10 3 与抛物线 y22x 上的点 P 之间的距离为 d1，P 到抛物线准线 l 的距离为 d2，则 d1d2取最小值时，P 点 坐标为( ) A(0,0) B(1， 2) C(2,2) D 1 8， 1 2 (2)设 P 是抛物线 y22x 上任一点，则 P 到直线 xy3 0 的距离的最小值为_，点 P 的坐标为_ 答案 (1)C (2)5 2 4 (1 2，1) 解析 (1)如下图 连结 PF，则 d1d2|PM|PF|MF|，知 d1d2最小值 是|MF|，当且仅当点 P 在线段 MF 上时，等号成立，而直线 MF 的方程为 y4 3 x1 2 ， 与
14、y22x， 联立求得 x2， y2 或 x1 8， y1 2(舍去)，所以，P 点坐标为(2,2) (2)解法一：设 p(x0，y0)是 y22x 上任一点，则点 P 到直线 l 的距离 d|x 0y03| 2 |y 2 0 2 y03| 2 |y 01 25| 2 2 ， 当 y01 时，dmin5 2 4 ，点 P 坐标为(1 2，1) 解法二：设与抛物线相切且与直线 xy30 平行的直线 方程为 xym0， 由 xym0， y22x， 得 y22y2m0， (2)242m0，m1 2. 平行直线的方程为 xy1 20，此时点到直线的最短距 离转化为两平行线之间的距离， 则 dmin |3
15、1 2| 2 5 2 4 ， 点 P 坐标 为(1 2，1). 直线与抛物线的位置关系及定点 定值问题 如图，过抛物线y2x 上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条 直线AB、AC交抛物线于B、C两点， 求证：直线BC的斜率是定值 分析 第一步，审题审结论明确解题目标，欲证明直线 BC 的斜率为定值，可写出直线 BC 的方程，然后说明其斜率为 定值，或直接用 k0y 2y1 x2x1，写出斜率，然后说明 k0 的值与参数 无关； 审条件，挖解题信息，已知直线 AB、AC 过定点，AB 与 AC 两 直线倾斜角互补，故两直线方程可用同一参数(直线 AB 的斜率 k)来表示 第二步，建联系确定解题步
16、骤先设直线 AB 的斜率为 k， 用 k 将 AB、AC 的方程表示出来，再由直线与抛物线交于两点， 利用根与系数的关系求得 B、C 点的坐标，然后验证 kBC与 k 无 关 第三步，规范解答 证明 设 kABk(k0)， 直线 AB，AC 的倾斜角互补，kACk(k0)， AB 的方程是 yk(x4)2. 由方程组 ykx42， y2x， 消去 y 整理得， k2x2(8k24k1)x16k216k40. A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程组的解， 4 xB16k 216k4 k2 ，即 xB4k 24k1 k2 ， 以k 代替 xB中的 k，得 xC4k 24k1 k2 ， kBCy
17、 ByC xBxC kxB42kxC42 xBxC kx BxC8 xBxC k8k 22 k2 8 8k k2 1 4. 所以直线 BC 的斜率为定值 方法规律总结 解析几何中，常遇到定点、定值问题， 解决这类问题常用方法是依据题设条件选取某个参数，将题中 定值(或过定点的几何对象)用参数表示，然后说明与参数无关， 常涉及方法有斜率法、方程法、向量法等 (2015福建文，19)已知点F为抛 物线E：y22px(p0)的焦点， 点A(2，m)在抛物线E上，且|AF| 3. (1)求抛物线E的方程； (2)已知点G(1,0)，延长AF交 抛物线E于点B，证明：以点F为 圆心且与直线GA相切的圆，
18、必 与直线GB相切 答案 (1)y24x (2)略 解析 法一：(1)由抛物线的定义得|AF|2p 2. 因为|AF|3，即 2p 23，解得 p2，所以抛物线 E 的方 程为 y24x. (2)因为点 A(2，m)在抛物线 E：y24x 上， 所以 m 2 2，由抛物线的对称性，不妨设 A(2,2 2) 由 A(2,2 2)，F(1,0)可得直线 AF 的方程为 y2 2(x1) 由 y2 2x1， y24x， 得 2x25x20， 解得 x2 或 x1 2，从而 B( 1 2， 2) 又 G(1,0)， 所以 kGA 2 20 21 2 2 3 ，kGB 20 1 21 2 2 3 ， 所
19、以 kGAkGB0，从而AGFBGF，这表明点 F 到直 线 GA，GB 的距离相等，故以 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆 必与直线 GB 相切 法二：(1)同法一 (2)设以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆的半径为 r. 因为点 A(2，m)在抛物线 E：y24x 上， 所以 m 2 2，由抛物线的对称性，不妨设 A(2,2 2) 由 A(2,2 2)，F(1,0)可得直线 AF 的方程为 y2 2(x1) 由 y2 2x1， y24x， 得 2x25x20. 解得 x2 或 x1 2，从而 B 1 2， 2 . 又 G(1,0)，故直线 GA 的方程为 2 2x3y2 20， 从
20、而 r|2 22 2| 89 4 2 17 . 又直线 GB 的方程为 2 2x3y2 20， 所以点 F 到直线 GB 的距离 d|2 22 2| 89 4 2 17r. 这表明以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆必与直线 GB 相切 考虑问题要全面 求过点 P(0,1)且与抛物线 y22x 只有一个公共 点的直线方程 错解 设直线方程为 ykx1， 由方程组 ykx1 y22x ，消去 y，得 k2x22(k1)x10. 由直线与抛物线只有一个公共点， 则 4(k1)24k20， 所以 k1 2，所以所求直线的方程为 y 1 2x1. 辨析 本题造成错解的原因有两个：一是遗 漏了直线不
21、存在斜率的情况，只考虑了斜率 存在的直线；二是方程组消元后的方程认定 为二次方程，事实上，当二次项系数为零的 一次方程的解也符合题意 正解 (1)若直线斜率不存在，则过点 P(0,1)的直线方程 为 x0，由 x0 y22x ，得 x0 y0 .即直线 x0 与抛物线只有一 个公共点 (2)若直线的斜率存在， 设为 k， 则过点 P(0,1)的直线方程为 ykx1，由方程组 ykx1 y22x ，消去 y 得 k2x22(k1)x1 0. 当 k0 时，得 x1 2 y1 . 即直线 y1 与抛物线只有一个公共点； 当 k0 时， 直线与抛物线只有一个公共点， 则 4(k1)2 4k20，所以
22、 k1 2，直线方程为 y 1 2x1.综上所述，所求直 线方程为 x0 或 y1 或 y1 2x1. 分析指出下题解答中的错误，并订正 设抛物线 ymx2(m0)的准线与直线 y1 的距离为 3，则 抛物线的标准方程为_ 解：由 ymx2(m0)可得其准线方程为 ym 4 . 由题意知m 4 2，解得 m8， 故所求抛物线的标准方程为 y8x2. 答案 错误略，抛物线方程为 x28y 或 x216y 解析 上述解答过程有两处错误，一是不能正确理解抛 物线标准方程的形式，错误地将所给方程看作是抛物线的标准 方程，得到准线方程为 ym 4 ；二是得到准线方程后，只分析 其中的一种情况，而忽略了另一种情况，只得到一个解正确 解答如下： ymx2(m0)可化为 x2 1 my，其准线方程为 y 1 4m. 由题意知 1 4m2 或 1 4m4，解得 m 1 8或 m 1 16， 故所求抛物线的标准方程为 x28y 或 x216y.
