1、圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 第二章第二章 3 双曲线双曲线 3.1 双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程 第二章第二章 课堂典例探究课堂典例探究 2 课课 时时 作作 业业 3 课前自主预习课前自主预习 1 课前自主预习课前自主预习 1.了解双曲线的定义，会推导双曲线的标准 方程 2会用待定系数法求双曲线的标准方程. 类比椭圆的定义我们可以给出双曲线的定义 在平面内到两个定点F1、F2距离之_的 绝对值等于定值2a(大于0且小于|F1F2|)的点 的轨迹叫作双曲线这两个定点叫作双曲线 的_，两焦点之间的距离叫作双曲线的 _. 双曲线的定义 差 焦点 焦距 1.焦点在x轴上的双曲线的标准方程为
2、 _，焦点在y轴上的双曲线 的标准方程为_ 2在双曲线的标准方程中a、b、c的关系为 _. 双曲线的标准方程 x2 a2 y2 b21(a0，b0) y2 a2 x2 b21(a0，b0) a2b2c2 1.定义中为何强调“绝对值”和“0c0， 所以令 a2c2b2(b0) 因为 0b0) x2 a2 y2 b21 或 y2 a2 x2 b21 (a0，b0，a 不一定大于 b) 3.通过比较两种不同类型的双曲线方程x 2 a2 y2 b21 和 y2 a2 x2 b2 1(a0，b0)，可以看出，如果 x2项的系数是正的，那么焦点 在 x 轴上；如果 y2项的系数是正的，那么焦点在 y 轴上
3、对于 双曲线， a 不一定大于 b， 因此不能像椭圆那样通过比较分母的 大小来判定焦点在哪一条坐标轴上. 1.已知两定点F1(3,0)、F2(3,0)，在满足下 列条件的平面内动点P的轨迹中，是双曲线 的是( ) A|PF1|PF2|5 B|PF1|PF2|6 C|PF1|PF2|7 D|PF1|PF2|0 解析 A中，|F1F2|6，|PF1|PF2| 5|F1F2|，动点P 的轨迹不存在； D中，|PF1|PF2|0，即|PF1|PF2|， 根据线段垂直平分线的性质，动点P的轨迹 是线段F1F2的垂直平分线，故选A. 答案 A 方法规律总结 注意双曲线定义中的“小于 |F1F2|”这一限制
4、条件，其依据是“三角形两 边之差小于第三边”实际上， (1)若2a|F1F1|，即|PF1|PF2|F1F2|， 根据平面几何知识，当|PF1|PF2|F1F2| 时，动点轨迹是以F2为端点的一条射线；当 |PF2|PF1|F1F2|时，动点轨迹是以F1为 端点的一条射线； (2)若2a|F1F2|，即|PF1|PF2|F1F2|，则 与“三角形两边之差小于第三边”相矛盾， 故动点轨迹不存在； (3)特别地当2a0时，|PF1|PF2|，根据线 段垂直平分线的性质，动点P的轨迹是线段 F1F2的垂直平分线 2双曲线 x2 25 y2 9 1 上的点到一个焦点的距离为 12，则到 另一个焦点的距
5、离为( ) A22 或 2 B7 C22 D2 答案 A 解析 a225， a5， 由双曲线定义可得|PF1|PF2| 10，由题意知|PF1|12，|PF1|PF2| 10，|PF2|22 或 2. 3在方程mx2my2n中，若mn0， b0)， 则 32 a2 9 b21 25 a2 81 16b21 ，解得 a216 b29 . 双曲线的标准方程为 y2 16 x2 9 1. (2)解法一：设双曲线方程为x 2 a2 y2 b21(a0，b0)，由题意 易求得 c2 5. 又双曲线过点(3 2，2)， 3 2 2 a2 4 b21. 又a2b2(2 5)2， a212，b28. 故所求双
6、曲线的方程为 x2 12 y2 8 1. 解法二：设双曲线方程为 x2 16k y2 4k1， 将点(3 2，2)代入得 k4， 所求双曲线方程为 x2 12 y2 8 1. 方法规律总结 1.利用待定系数法求双曲线标准方程的 步骤如下： (1)定位置：根据条件判定双曲线的焦点在 x 轴上还是在 y 轴上，还是两坐标轴都有可能 (2)设方程：根据焦点位置，设方程为x 2 a2 y2 b21 或 y2 a2 x2 b2 1(a0，b0)，焦点不定时，亦可设为 mx2ny21(m n0， n0)以简化运算， 同理求经过两定点的双曲 线方程也可设为 mx2ny21，但这里应有 m n0，b0)，则有
7、 25 4a2 1 b21， a2b29. a25，b24. 所求的双曲线的方程为y 2 5 x 2 4 1. 双曲线的定义在解题中的应用 已知双曲线的方程是 x2 16 y2 8 1，点 P 在双曲线 上，且到其中一个焦点 F1的距离为 10，点 N 是 PF1的中点， 求|ON|的大小(O 为坐标原点) 解析 设双曲线的另一个焦点为 F2，连接 PF2，ON 是三 角形 PF1F2的中位线，所以|ON|1 2|PF2|， 因为|PF1|PF2|8，|PF1|10， 所以|PF2|2 或 18，|ON|1 2|PF2|1 或 9. 在双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)中，F1、F
8、2 是两焦点，P 在 双曲线上，若PF1 PF2 0，tanPF1F22，则ab ab_. 答案 1 3 解析 因为 P 在双曲线上，且PF1 PF2 0， 所以PF1F2是直角三角形 又因为 tanPF1F22，所以|PF2|2|PF1|. 根据双曲线的定义有|PF2|PF1|2a， 所以|PF2|4a，|PF1|2a， 于是|F1F2|2 5a，即 2c2 5a， 所以 c 5a，于是 b2a，故ab ab a2a a2a 1 3. 双曲线的焦点三角形 设双曲线x 2 4 y 2 9 1，F1，F2是其两个焦点，点 P 在双曲线右支上 (1)若F1PF290 ，求F1PF2的面积； (2)
9、若F1PF260 时，F1PF2的面积是多少？若F1PF2 120 时，F1PF2的面积又是多少？ 分析 由于三角形面积 SF1PF21 2|PF1| |PF2| sin，所以 只要求出|PF1|PF2|即可因此可考虑用双曲线定义及余弦定理 求出|PF1| |PF2|. 解析 (1)由双曲线方程知 a2，b3，c 13， 设|PF1|r1，|PF2|r2(r1r2)， 如图所示由双曲线定义，有 r1r22a4， 两边平方得 r2 1r 2 22r1r216. F1PF290 ， r2 1r 2 24c 24( 13)252. 2r1r2521636，SF1PF21 2r1r29. (2)若F1
10、PF260 ， 在F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2r2 1r 2 22r1r2cos60 (r1r2)2r1r2， 而 r1r24，|F1F2|2 13，r1r236. 于是 SF1PF21 2r1r2sin60 1 236 3 2 9 3. 同理可求得若F1PF2120 时，SF1PF23 3. 方法规律总结 在椭圆的研究中我们已经体 验了定义在解决有关曲线上的点到焦点距离 问题中的作用，同样在双曲线中也应注意定 义的应用 已知双曲线上一点与两焦点构成的三角形问 题，往往利用正弦定理、余弦定理以及双曲 线的定义列出关系式 若 F1、F2是双曲线x 2 9 y2 161 的两个焦点，P
11、 在双曲线上， 且|PF1| |PF2|32，求F1PF2的大小 解析 由双曲线的对称性，可设点 P 在第一象限， 由双曲线的方程，知 a3，b4，c5. 由双曲线的定义，得|PF1|PF2|2a6. 上式两边平方，得|PF1|2|PF2|2362|PF1| |PF2|3664 100， 由余弦定理，得 cosF1PF2 |PF 1| 2|PF 2| 2|F 1F2| 2 2|PF1| |PF2| 100100 2|PF1| |PF2|0. F1PF290 . 方法规律总结 双曲线的焦点三角形是常见的命题着眼 点，在焦点三角形中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义等 是经常使用的知识点另外，还经
12、常结合|PF1|PF2| 2a，运 用平方的方法，建立它与|PF1| |PF2|的联系，请同学们多加注意. 分类讨论思想的应用 已知方程kx2y24，其中k为实 数，对于不同范围的k值分别指出方程所表示的 曲线类型 分析 解答本题可依据所学的各种曲线的 标准形式的系数应满足的条件进行分类讨论 解析 (1)当 k0 时，y 2，表示两条与 x 轴平行的直 线； (2)当 k1 时，方程为 x2y24，表示圆心在原点，半径 为 2 的圆； (3)当 k0，此时方程 x2 5m y2 2m1 表示焦点在 x 轴上的椭圆. 注意参数取值范围对解题的影响 已知双曲线 8kx2ky28 的一个焦点为(0,
13、3)， 求 k 的值 错解 将双曲线方程化为标准方程x 2 1 k y 2 8 k 1.因为焦点在 y 轴上，所以 a28 k，b 21 k，所以 c a 2b2 8 k 1 k3，即 7 k9，所以 k 7 9. 辨析 上述解法有两处错误：一是 a2、b2确定错误，应 该是 a28 k，b 21 k；二是 a、b、c 的关系式用错了在双 曲线中应为 c2a2b2. 正解 将双曲线方程化为 kx2k 8y 21，即x 2 1 k y 2 8 k 1.因为 一个焦点是(0,3)，所以焦点在 y 轴上，所以 c3，a28 k，b 2 1 k，所以 a 2b28 k 1 k 9 kc 29.所以 k
14、1. 已知定点A(3,0)和定圆C：(x3)2y216， 动圆和圆C相外切，并且过定点A，则动圆圆 心M的轨迹方程为_ 答案 x2 4 y 2 5 1(x2) 解析 设 M(x，y)，设动圆与圆 C 的切点为 B，|BC|4， 则|MC|MB|BC|， |MA|MB|， 所以|MC|MA|BC|， 即|MC| |MA|BC|4|AC|. 所以由双曲线的定义知，M 点轨迹是以 A，C 为焦点的双 曲线的左支，且 a2，c3，所以 b25. 所以所求圆心 M 的轨迹方程是x 2 4 y 2 5 1(x2) 方法规律总结 求解中易把动点的轨迹看成双曲线，忽 视了双曲线定义中“距离的差的绝对值是常数”这一条件，动 点轨迹实际上是双曲线的一支 若 F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，|PF1|PF2| 2a0)，即|PF1|PF2| 2a(02a|F1F2|)时，P 点的轨 迹是双曲线，其中取正号时为双曲线的右支，取负号时为双曲 线的左支
