1、导数应用导数应用 第四章第四章 1 函数的单调性与极值函数的单调性与极值 1.2 函数的极值函数的极值 第四章第四章 课堂典例探究课堂典例探究 2 课课 时时 作作 业业 3 课前自主预习课前自主预习 1 课前自主预习课前自主预习 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值 的必要条件和充分条件；会用导数求不超过 三次的多项式函数的极大值、极小值；体会 导数方法在研究函数性质中的一般性和有效 性. 函数的极值与导数的关系 1如图是函数yf(x)的图像，在xa邻近的 左侧f(x)单调递_，f (x) _0，右侧 f(x)单调递_，f (x) _0，在xa邻 近的函数值都比f(a)小，且f (a) _
2、0.在x b邻近情形恰好相反，图形上与a类似的点 还有_，(e，f(e)，与b类似的点 还有_ 我们把点a叫作函数f(x)的极_值点，f(a) 是函数的一个极_值；把点b叫作函数 f(x)的极_值点，f(b)是函数的一个极 _值 增 减 0，得 x 2或 x0，且函数f(x)4x3ax2 2bx2在x1处有极值，则ab的最大值等于 ( ) A2 B3 C6 D9 答案 D 解析 f (x)12x22ax2b，由条件知 f (1)0，a b6，ab(ab 2 )29，等号在 ab3 时成立，故选 D. 课堂典例探究课堂典例探究 求函数y3x3x1的极值 分析 首先对函数求导，然后求方程y0 的根
3、，再检查y在方程根左右的值的符号如 果左正右负，那么y在这个根处取得极大值；如 果左负右正，那么y在这个根处取得极小值 利用导数求函数的极值 解析 y9x21，令 y0， 解得 x11 3，x2 1 3. 当 x 变化时，y和 y 的变化情况如下表： x (，1 3) 1 3 (1 3， 1 3) 1 3 (1 3，) y 0 0 y 单调递增 极大值11 9 单调递减 极小值7 9 单调递增 因此，当 x1 3时，y 有极大值，并且 y 极大值11 9 . 而当 x1 3时，y 有极小值，并且 y 极小值7 9. 方法规律总结 1.当函数f(x)在点x0处连续 时，判断f(x0)是否为极大(
4、小)值的方法是： (1)如果在x0附近的左侧f (x)0，右侧f (x)0与f (x)0的x的取值范围，并区 分f (x)的符号由正到负和由负到正，再做判 断 解析 由 f (x)的图像可见在 ，3 2 和(2,4)上 f (x)0，f(x) 单调递增，只有正确 答案 方法规律总结 给出函数图像研究函数性质 的题目，要分清给的是f(x)的图像还是f (x)的 图像，若给的是f(x)的图像，应先找出f(x)的 单调区间及极(最)值点，如果给的是f (x)的图 像，应先找出f (x)的正负区间及由正变负还 是由负变正，然后结合题目特点分析求解 函数f(x)的定义域为R，导函数f (x)的图像如 图
5、所示，则函数f(x)( ) A无极大值点、有四个极小值点 B有一个极大值点、两个极小值点 C有两个极大值点、两个极小值点 D有四个极大值点、无极小值点 答案 C 解析 设 f (x)与 x 轴的 4 个交点，从左至右依次为 x1、 x2、x3、x4， 当 x0，f(x)为增函数， 当 x1xx2时，f (x)0，当 x 变化时，f (x)，f(x)的变化情况如下表： x (，1 a) 1 a (1 a，a) a (a，) f (x) 0 0 f(x) 单调递减 极小值 单调递增 极大 值 单调递减 所以 f(x)在区间(，1 a)，(a，)内为减函数，在区间 (1 a，a)内为增函数函数 f(
6、x)在 x 1 a处取得极小值 f( 1 a) 1 1 3a2，在 xa 处取得极大值 f(a)a 21 3a 4. 若 a0，当 x 变化时，f (x)，f(x)的变化情况如下表： x (，a) a (a，1 a) 1 a (1 a，) f (x) 0 0 f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以 f(x)在区间(，a)，(1 a，)内为增函数，在区间 (a， 1 a)内为减函数 函数 f(x)在 xa 处取得极大值 f(a)a 2a 4 3 ， 在 x1 a处取得极小值 f( 1 a)1 1 3a2. 注意极大值点与极小值点的区别 已知 f(x)x33ax2bxa2在
7、x1 时有极值 0，求常数 a、b 的值 错解 因为 f(x)在 x1 时有极值 0，且 f (x)3x2 6axb. 所以 f 10 f10 ，即 36ab0 13aba20 ， 解得 a1 b3 ，或 a2 b9 . 辨析 根据极值定义，函数先减后增为极小 值，函数先增后减为极大值，上述解法未验 证x1时函数两侧的单调性，导致错误 正解 (在上述解法之后继续)当a1，b3 时，f (x)3x26x33(x1)20， 所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去； 当a2，b9时，f (x)3x212x9 3(x1)(x3) 当x3，1时，f(x)为减函数； 当x1，)时，f(x)为增函数， 所以f(x)在x1时取得极小值因此a2， b9.
