1、推理与证明推理与证明 第三章第三章 1 归纳与类比归纳与类比 第三章第三章 第第2课时课时 类类 比比 推推 理理 课堂典例探究课堂典例探究 2 课课 时时 作作 业业 3 课前自主预习课前自主预习 1 课前自主预习课前自主预习 理解类比推理概念，能利用类比推理的方法 进行简单的推理，体会并认识合情推理在数 学发现中的作用 1.概念 两类不同对象具有某些_的特征， 在此基础上，根据一类对象的其他特征，推 断另一类对象也具有类似的其他特征，这类 推理叫作类比推理(简称类比) 类比推理是数学推理的一种重要形式，它的 实质是根据两对象之间的相似，把信息从一 个对象转移到另外一个对象，类比推理不仅 是
2、一种从特殊到特殊的推理方法，也是一种 探索解题思路、猜测问题答案或结论的一种 有效的方法这在事物规律的发现和事物本 质的认识等方面都有着极其重要的作用 类比推理 类似 2特点 (1)类比推理是由_到_ 的推理 (2)类比推理是从人们已经掌握了的事物的特 征，推测正在被研究的事物的特征，所以， 类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠 (3)类比推理以旧的知识作基础，推测新的结 果，具有发现的功能类比推理在数学发现 中有重要作用 (4)由于类比推理的前提是两类对象之间具有 某些可以清楚定义的类似特征，所以进行类 比推理的关键是明确地指出两类对象在某些 方面的类似特征 特殊 特殊 类比推理是一种由特殊
3、到特殊的推理形式， 目的是寻找事物之间的共同或相似性质，它 是一种似真推理类比推理的结论需要进一 步证明其正确性，类比的性质相似性越多， 相似的性质与推测的性质之间就越相关，从 而类比得出的结论就越可靠 1.下列哪个平面图形与空间图形中的平行六 面体作为类比对象较合适( ) A三角形 B梯形 C平行四边形 D矩形 答案 C 解析 从构成几何图形的几何元素的数目、 位置关系、度量等方面考虑，用平行四边形 作为平行六面体的类比对象较为合适 2鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶 能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材， 它们在功能上是类似的因此，它们在形状 上也应该类似，“锯子”应该是齿形的该 过
4、程体现了( ) A归纳推理 B类比推理 C没有推理 D以上说法都不对 答案 B 解析 推理是根据一个或几个已知的判断来 确定一个新的判断的思维过程，上述过程是 推理，由性质类比可知是类比推理 3下面使用类比推理，得出的结论正确的是( ) A若“a 3b 3，则 ab”类比推出“若 a 0b 0，则 a b” B“若(ab)cacbc”类比出“(a b)cac bc” C“若(ab)cacbc”类比出“ab c a c b c(c0)” D“(ab)nanbn”类比出“(ab)nanbn” 答案 C 解析 A中，3与0两个数的性质不同，故类 比中把3换成0，其结论不成立；B中，乘法 满足对加法的
5、分配律，但乘法不满足对乘法 的分配律；C是正确的；D中，令n2显然不 成立 4类比平面内正三角形的“三边相等，三内 角相等”的性质，可推知正四面体的下列哪 些性质，你认为比较恰当的是( ) 各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹 角都相等 各个面都是全等的正三角形，相邻两个面 所成的二面角都相等 各个面都是全等的正三角形，同一顶点上 的任两条棱的夹角都相等 A B C D 答案 C 解析 因为正三角形的边和角可以与正四面 体的面(或棱)和相邻的两面成的二面角(或共 顶点的两棱夹角)类比，所以都恰当 5医药研究中，研制新药初期，常用一些动 物做药性、药理试验，最后才做临床试验与 应用，通过对动物的
6、观察，得出对人应用的 一些结论，所用推理为 _. 答案 类比推理 解析 符合类比推理的方法，故应为类比推 理 课堂典例探究课堂典例探究 圆是平面上到定点的距离等于定长 的点的集合；球是空间中到定点的距离等于定 长的点的集合这两个定义很相似于是我们 猜想圆与球会有某些相似的性质试将平面上 的圆与空间中的球进行类比 事物的相似性与类比 解析 圆与球在它们的生成、形状、定义等方面都具有 相似的属性据此，在圆与球的相关元素之间可以建立如下的 对应关系： 弦 截面圆， 直径 大圆， 周长 表面积， 圆面积 球体积， 等等于是，根据圆的性质，可以猜测球的性质如下表所 示： 圆的性质 球的性质 圆心与弦(不
7、是直径)的中点的 连线垂直于弦 球心与截面圆(不是大圆)的圆心的连 线垂直于截面 与圆心距离相等的两弦相等； 与圆心距离不等的两弦不等， 距圆心较近的弦较长 与球心距离相等的两截面圆是等圆； 与球心距离不等的两截面圆不等，距 球心较近的截面圆较大 圆的切线垂直于经过切点的半 径； 经过圆心且垂直于切线的直线 必经过切点 球的切面垂直于经过切点的半径； 经过球心且垂直于切面的直线必经过 切点 经过切点且垂直于切线的直线 必经过圆心 经过切点且垂直于切面的直线必经过 球心 圆的周长 cd 球的表面积 Sd2 圆的面积 Sr2 球的体积 V4 3r 3 方法规律总结 运用类比推理要在合适的类 比对象
8、之间进行，可以从其形式、结构、维 数等不同方向进行例如相等与不等的类比 (解一元二次方程与解一元二次不等式的类 比)，升维类比(圆与球、三角形与四面体)， 概念与性质(分解因式与分解因数、等差数列 与等比数列)等等 找出三角形与四面体的相似性质，并用三角 形的下列性质类比四面体的有关性质： (1)三角形任意两边之和大于第三边； (2)三角形的中位线等于第三边的一半，且平 行于第三边 解析 三角形与四面体有下列相似的性质： 三角形是平面内由直线段所围成的最简单 的封闭图形；四面体是空间中由平面所围成 的最简单的封闭图形 三角形可以看作平面上一条线段外一点与 这条线段端点连线所形成的图形；四面体可
9、 以看作空间中一个三角形所在平面外一点与 这个三角形顶点连线所形成的图形 根据三角形的性质，可以推测空间四面体的 性质如下： 三角形 四面体 三角形任意两边之和 大于第三边 四面体任意三个面的面积之和大 于第四个面的面积 三角形的中位线等于 第三边的一半，且平 行于第三边 四面体的中截面(以任意三条棱的 中点为顶点的三角形)的面积等于 第四个面的面积的1 4，且平行于第 四个面 类比推理 如图，已知 O 是ABC 内任意一 点， 连结 AO、 BO、 CO 并延长交对边分别于 A、 B、C，则OA AA OB BB OC CC1. 这是平面几何中的一道题，其证明常采用“面积法” OA AA O
10、B BB OC CC SOBC SABC SOCA SABC SOAB SABC SABC SABC1. 请运用类比思想，对于空间中的四面体 VBCD，存在什 么类似的结论？并用“体积法”证明 分析 考虑到用“面积法”证明结论时把O 点与三角形的三个顶点连结，把三角形分成 三个三角形，利用面积相等来证明相应的结 论在证明四面体中类似结论时，可考虑利 用体积相等的方法证明相应的结论 解析 在四面体 VBCD 中， 任取一 点 O，连结 VO、DO、BO、CO 并延长分 别交四个面于 E、F、G、H 点，则OE VE OF DF OG BG OH CH1. 证明：在四面体 OBCD 与 VBCD
11、中，设底面 BCD 上 的高分别为 h，h，则 OE VE h1 h 1 3SBCD h1 1 3SBCD h V OBCD VVBCD. 同理有：OF DF VOVBC VDVBC； OG BG VOVCD VBVCD； OH CH VOVBD VCVBD， OE VE OF DF OG BG OH CH V OBCDVOVBCVOVCDVOVBD VVBCD V VBCD VVBCD1. 方法规律总结 1.类比推理的思维过程大致为： 观察、比较 相似性 一致性 联想、类推 猜测新 的结论 2类比推理的一般步骤： (1)通过观察、 分析， 找出两类事物之间的相似性或一致性 (2)通过类比、联
12、想，用一类事物的性质去推测另一类事物 的性质，得出一个明确的命题(猜想) (3)通过推理论证，证明结论或推翻结论 一般情况下，如果类比的两类事物的相似性越多，相似的 性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可 靠类比推理的结论既可能真，也可能假，它是一种由特殊到 特殊的认识过程，具有十分重要的实用价值 3合情推理的思维过程大致为： 从具体问题出发观察、分析、比较、联想 归纳、类比提出猜想 合情推理是指“合乎情理”的推理数学研究中，得到一 个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证 明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路 和方向 已知ABC 的边长分别为 a
13、、b、c，内切圆半径为 r，用 S ABC表示ABC 的面积， 则 SABC1 2r(abc) 类比这一结论 有：若三棱锥 ABCD 的内切球半径为 R，则三棱锥体积 VA BCD_. 分析 解答本题的关键是确定好类比对 象平面中圆类比空间中球，平面中长度类 比空间中面积，平面中面积类比空间中体 积 答案 1 3R(SABCSACDSBCDSABD) 解析 内切圆半径 r 类比 内切球半径 R， 三角形的周长：abc 类比 三棱锥各面的面积和：SABC SACDSBCDSABD， 三角形面积公式系数1 2 类比 三棱锥体积公式系数1 3. 类比得三棱锥体积 VABCD1 3R(SABCSACD
14、SBCDSABD) 类比推理在数列中的应用 设等差数列an的前 n 项和为 Sn， 则 S4， S8S4， S12S8， S16S12成等差数列 类比以上结论有： 设等比数列bn 的前 n 项积为 Tn， 则 T4， _， _， T16 T12成等比数列 解析 对于等比数列，通过类比，有等比数列bn的前 n 项积为 Tn，则 T4，T8 T4， T12 T8 ，T16 T12成等比数列 答案 T8 T4 T12 T8 在等差数列an中，若a100，则有等式a1 a2ana1a2a19n(n19， nN)成立，类比上述性质，相应地：在等 比数列bn中，若b91，则有等式_ 成立 答案 b1b2bnb1b2b17n 解析 本题考查等差数列与等比数列的类 比 等差数列中：若m，n，p，qN，且mn pq，则amanapaq，等比数列中： 若m，n，p，qN，且mnpq，则 amanapaq. 由此，猜测本题的答案为： b1b2bnb1b2b17n(n17，nN)
