1、圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 第二章第二章 1 椭圆椭圆 1.1 椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程 第二章第二章 课堂典例探究课堂典例探究 2 课课 时时 作作 业业 3 课前自主预习课前自主预习 1 课前自主预习课前自主预习 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中 抽象出椭圆的过程和椭圆标准方程的推导与 化简过程 2掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形， 会用待定系数法求椭圆的标准方程. 1.我们已知平面内到两定点距离相等的点的 轨迹为 _也曾 讨论过到两定点距离之比为某个常数的点的 轨迹的情形那么平面内到两定点距离的和 (或差)等于常数的点的轨迹是什么呢？ 2平面内与两个定点F1、F2的距
2、离的_ 等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫 作椭圆这两个定点叫作椭圆的_， _间的距离叫作椭圆的焦距当常数 等于|F1F2|时轨迹为_，当常数小 于|F1F2|时，轨迹_. 椭圆的定义 和 焦点 两焦点 线段|F1F2| 不存在 椭圆的标准方程 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 标准方程 图形 焦点坐标 ( c,0) (0， c) a，b，c 的关系 a2b2c2 x2 a2 y2 b21 y2 a2 x2 b21 1.如何建立坐标系才能使椭圆的方程比较简 单 求椭圆的方程，首先要建立直角坐标系，由 于曲线上同一个点在不同的坐标系中的坐标 不同，曲线的方程也不同，为了使方程简
3、 单，必须注意坐标系的选择一般情况下， 应使已知点的坐标和直线(或曲线)的方程尽 可能简单，在求椭圆的标准方程时，选择x轴 经过两个定点F1、F2，并且使坐标原点为线 段F1F2的中点，这样两个定点的坐标比较简 单，便于推导方程 2在推导椭圆方程时，为何要设|F1F2| 2c，常数为2a？为何令a2c2b2， 在求方程时，设椭圆的焦距为2c(c0)，椭圆 上任意一点到两个焦点的距离的和为 2a(a0)，这是为了使推导出的椭圆的方程形 式简单令a2c2b2是为了使方程的形式 整齐而便于记忆 3推导椭圆方程时，需化简无理式，应注意 什么？ (1)方程中只有一个根式时，需将它单独留在 方程的一侧，把
4、其他项移到另一侧；(2)方程 中有两个根式时，需将它们放在方程的两 侧，并使其中一侧只有一个根式，然后两边 平方 4 椭圆的标准方程中参数 a、 b(ab0)有什么意义？方程x 2 a2 y 2 b21 与 y2 a2 x2 b21 有何不同？a、b、c 满足什么关系？ a，b，c 三个量的关系： 椭圆的标准方程中，a 表示椭圆上的点 M 到两焦点间距离 的和的一半，可借助图形帮助记忆a，b，c(都是正数)恰好构 成一个直角三角形的三条边，a 是斜边，所以 ab，ac，且 a2 b2c2.(如图所示) 当 ab0 时，方程x 2 a2 y2 b21 表示焦点在 x 轴上的椭圆，方 程y 2 a
5、2 x2 b21 表示焦点在 y 轴上的椭圆， 即焦点在哪个轴上相应 的那个项的分母就大. 1.已知F1、F2是两点，|F1F2|8， (1)动点M满足|MF1|MF2|10，则点M的 轨迹是_ _ (2)动点M满足|MF1|MF2|8，则点M的轨 迹是_ 答案 以F1、F2为焦点，焦距为8的椭圆 线段F1F2 解析 (1)因为|F1F2|8 且动点 M 满足|MF1|MF2| 108|F1F2|， 由椭圆定义知，动点 M 的轨迹是以 F1、F2为焦点，焦距 为 8 的椭圆 (2)因为|MF1|MF2|8|F1F2|，所以动点 M 的轨迹是线 段 F1F2. 答案 B 解析 169144，焦点
6、在y轴上， 又c2a2b216914425， c5，焦点坐标为(0，5) 2椭圆 x2 144 y2 1691 的焦点坐标是( ) A( 5,0) B(0， 5) C(0， 12) D( 12,0) 3(2014山西曲沃中学期中)对于常数m、 n，“mn0”是“方程mx2ny21的曲线是 椭圆”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条 件 答案 B 解析 本题考查了充分必要条件及椭圆的标 准方程的形式，由mn0，若mn0，则方 程 mx2ny21表示圆，故mn0/方程mx2 ny21表示椭圆，若mx2ny21表示椭 圆mn0，故mn0是方程表示椭圆的必
7、要 不充分条件 4椭圆 x2 25 y2 161 上有一点 P 到左焦点的距离是 4，则点 P 到右焦点的距离是( ) A3 B4 C5 D6 答案 D 解析 设椭圆的左、右焦点分别为 F1、F2，由椭圆的定 义得|PF1|PF2|2a10，|PF2|10|PF1|1046. 5椭圆x 2 m y2 4 1 的焦距为 2，则 m 的值为_ 答案 5 或 3 解析 若焦点在 x 轴上，则 m41，m5； 若焦点在 y 轴上，则 4m1，m3. 6求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是(4,0)、(4,0)，椭圆上任意一点 P 到两焦点的距离的和等于 10； (2)两个焦点的
8、坐标分别为(0，2)、(0,2)，并且椭圆经过 点(3 2， 5 2) 答案 (1) x2 25 y2 9 1 (2) y2 10 x2 6 1 分析 根据题意，先判断椭圆的焦点位置， 再设出椭圆的标准方程，从而确定a、b的 值 解析 (1)椭圆的焦点在 x 轴上， 设它的标准方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)， c4,2a10，b2a2c29， 所以所求的椭圆方程为 x2 25 y2 9 1. (2)椭圆的焦点在 y 轴上， 设所求椭圆的标准方程为y 2 a2 x2 b21(ab0) 由椭圆定义知 2a3 2 25 22 2 3 2 25 22 22 10. 即 a 10，又 c2，
9、b2a2c26， 所以所求椭圆的方程为 y2 10 x2 6 1. 点评 根据已知条件，判定焦点的位置，设出椭圆的标 准方程是解决此题的关键 课堂典例探究课堂典例探究 待定系数法求椭圆的标准方程 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点坐标分别是(3,0)、(3,0)，椭圆经过点(5,0)； (2)经过点 A( 3，2)和点 B(2 3，1) 解析 (1)椭圆的焦点在 x 轴上， 设它的标准方程为x 2 a2 y 2 b21(ab0) 2a 5320 532010,2c6. a5，c3，b2a2c2523216. 所求椭圆的方程为： x2 25 y2 161. (2)解法一： 当焦点在
10、 x 轴上时， 设椭圆的标准方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)依题意有 32 a2 2 2 b2 1 2 32 a2 1 b21 ，解得 a215 b25 . 所以所求椭圆的方程为 x2 15 y2 5 1. 当焦点在 y 轴上时，设椭圆的标准方程为 y2 a2 x2 b2 1(ab0)依题意有 22 a2 3 2 b2 1 1 a2 2 32 b2 1 ， 解得 a25 b215 .因为 a0，n0，且 mn)，依题意有 3m4n1 12mn1 ，解得 m 1 15 n1 5 . 所以所求椭圆的方程为 x2 15 y2 5 1. 方法规律总结 利用待定系数法求椭圆的标准方程，即 设出
11、椭圆的标准方程，再依据条件确定 a2、b2的值，可归纳为 “先定型，再定量”，其一般步骤是： 定类型：根据条件判断焦点在 x 轴上还是在 y 轴上，还 是两种情况都有可能，并设椭圆方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)或 y2 a2 x2 b21(ab0)；也可设椭圆方程为 mx 2ny21(m0，n0， mn) 确定未知量：根据已知条件列出关于 a、b、c 的方程组， 解方程组，可得 a、b 的值，然后代入所设方程即可 根据下列条件，写出椭圆的标准方程 (1)经过两点 A(0,2)， B 1 2， 3 的椭圆标准方程为_； (2)经过点(2，3)且与椭圆 9x24y236 有共同的焦点的
12、 椭圆标准方程为_ 答案 (1)x2y 2 4 1 (2) x2 10 y2 151 解析 (1)设所求椭圆的方程为x 2 m y2 n 1(m0，n0)， 椭圆过 A(0,2)，B 1 2， 3 . 0 m 4 n1 1 4m 3 n1 ，解得 m1 n4 ， 即所求椭圆方程为 x2y 2 4 1. (2)椭圆 9x24y236 的焦点为(0， 5)，则可设所求椭 圆方程为x 2 m y2 m51(m0)， 又椭圆经过点(2，3)，则有 4 m 9 m51， 解得 m10 或 m2(舍去)， 即所求椭圆的方程为 x2 10 y2 151. 椭圆的标准方程 已知方程 x2 k4 y2 k101
13、 表示焦点在 x 轴上的 椭圆，则实数 k 的取值范围为_ 分析 先将方程化成标准形式，再利用焦点在 x 轴上的 椭圆方程的充要条件求参数 解析 原方程可化为 x2 k4 y2 10k1， 因为其表示焦点在 x 轴上的椭圆， k40 10k0 k410k ，解得 70， mn； 表示焦点在 x 轴 上的椭圆的条件是 m0， n0， mn； 表示焦点在y轴上的椭圆的条件是 m0， n0， nm. 若方程x 2 m y2 m221 表示焦点在 y 轴上的椭圆，那么实数 m 的取值范围是( ) Am0 B0b0)上一点 P，F1、F2 为 椭圆的焦点，若F1PF2，求F1PF2的面积 解析 由椭圆的
14、定义，有 |PF1|PF2|2a，而在F1PF2中， 由余弦定理有 |PF1|2|PF2|22|PF1| |PF2| cos|F1F2|24c2， (|PF1|PF2|)22|PF1| |PF2|2|PF1| |PF2|cos4c2， 即 4a24c22|PF1| |PF2|(1cos) SPF1F21 2|PF1| |PF2|sin b2 sin 1cosb 2tan 2. 方法规律总结 1.椭圆上一点P与椭圆的两 焦点F1、F2构成的三角形称为焦点三角形， 解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利 用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦 定理等知识对于求焦点三角形的面积，结 合椭圆定义，建立
15、关于|PF1|(或|PF2|)的方程 求得|PF1|(或|PF2|)的长度；有时把 |PF1|PF2|看成一个整体，运用公式|PF1|2 |PF2|2(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|及余弦 定理求出|PF1|PF2|，而无需单独求出，这 样可以减少运算量 2焦点三角形的周长等于2a2c. P是椭圆 x2 12 y2 3 1上的一点， F1， F2为两个焦点， 若F1PF2 60 ，则F1PF2的面积为( ) A2 3 B 3 C4 D2 答案 B 解析 根据椭圆的定义得|PF1|PF2|4 3， 平方得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|48 在F1PF2中，由余弦定理得
16、|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos60 ， 即|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2|36. 由得到|PF1|PF2|4. 故F1PF2的面积为 SF1PF21 2|PF1|PF2|sin60 3. 椭圆定义的应用 已知B、C是两个定点，|BC|8， 且ABC的周长等于18，求这个三角形的顶点 A的轨迹方程 分析 由ABC的周长等于18，|BC| 8，可知点A到B、C两个定点的距离之和是 10，所以点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆， 但点A与点B、C不能在同一直线上适当建立 平面直角坐标系，可以求出这个椭圆的标准方 程 解析 以过 B、C 两点的直线为 x 轴，
17、 线段 BC 的垂直平分线为 y 轴， 建立直角坐标 系 xOy，如图所示 由|BC|8，可知点 B(4,0)，C(4，0)，c 4. 由|AB|AC|BC|18，|BC|8，得|AB|AC|10.因此， 点 A 的轨迹是以 B，C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦 点的距离之和 2a10，但点 A 不在 x 轴上由 a5，c4，得 b2a2c225169.所以点 A 的轨迹方程为 x2 25 y2 9 1(y0) 方法规律总结 本题用到了定义法求动点的 轨迹方程 利用椭圆的定义求动点的轨迹方程，应先根 据动点具有的条件，验证是否符合椭圆的定 义，即动点到两定点距离之和是否是一常 数，且该常
18、数(定值)大于两点的距离，若符 合，则动点的轨迹为椭圆，然后确定椭圆的 方程 (1)已知椭圆 x2 16 y2 9 1 的左、右焦点分别为 F1、F2，过点 F1的直线 l 交椭圆于 A、B 两点，则ABF2的周长是( ) A6 B8 C12 D16 (2)已知两圆 C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29， 动圆和圆 C1内切，和圆 C2外切，则动圆圆心的轨迹方程为 _ 答案 (1)D (2) x2 64 y2 481 解析 (1)由椭圆定义知，|AF1|AF2|BF1|BF2|2a 8，故ABF2的周长为|AB|AF2|BF2|AF1|BF1|AF2| |BF2|16. (2)如
19、图所示，设动圆圆心为 M(x， y)，半径为 r. 由题意得动圆 M 和内切于圆 C1， |MC1|13r. 圆 M 外切于圆 C2， |MC2|3r. |MC1|MC2|16|C1C2|8， 动圆圆心 M 的轨迹是以 C1、C2为焦点的椭圆， 且 2a16,2c8， b2a2c2641648， 故所求椭圆方程为 x2 64 y2 481. 考虑问题要全面 方程 x2 m2 y2 m121 表示焦点在 y 轴上的椭圆， 求实数 m 的取值范围 错解 1 方程 x2 m2 y2 m121 表示焦点在 y 轴上的椭圆， 则 m20，所以 m1m0， 即10，这是不可能的，即所求的 m 的值不存在
20、辨析 错解1只注意了焦点在y轴上，而没有 考虑到m20且(m1)20，这是经常出现的 一种错误，一定要避免 错解2中，由a2(m1)2及b2m2，应得a |m1|及b|m|，m1与m不一定是正值， 上述解法误认为m1与m是正值而导致错 误 正解 方程 x2 m2 y2 m121 表示焦点在 y 轴上的椭圆， 则 m20 m120 m12m2 ，解得 m0 m1 m0，故 m4. 答案 解答有错误，m 的值为 4 或 34. 解析 上述解答过程有错误 椭圆的焦点在哪个坐标轴上主要看标准方程 中x2和y2项分母的大小，如果x2项的分母大于 y2项的分母，则椭圆的焦点在x轴上；反之， 焦点在y轴上由于本题中x2和y2项分母的大 小不确定，因此需要进行分类讨论 正确解答为：2c6，c3. (1)当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准 方程知a225，b2m2， a2b2c2，25m29，m216， 又m0，故m4. (2)当椭圆的焦点在y轴上时， 由椭圆的标准方程知a2m2， b225， a2b2c2，m225934， 又m0，故 m 34. 由(1)(2)可得 m 的值为 4 或 34.
