1、课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 2.3 两角和与差的正切函数两角和与差的正切函数 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 【课标要求】 1能利用两角和(或差)的正、余弦公式导出两角和(或差)的正 切公式 2掌握公式 T 及其变形式，并能利用这些公式解决化简、求 值、证明等问题 【核心扫描】 1两角和与差的正切公式(重点) 2公式 T 的变形应用(难点) 3正切函数的定义域易被忽略(疑点) 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 自学导引 1两角和与差的正切公式 (1)T：tan() tan tan 1tan tan . (2)T：tan() tan
2、tan 1tan tan . 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 ：公式 T 适用的条件是什么？ 提示 对于 S ，C ，对任意 、 都成立，而对 T 来讲， tan() tan tan 1tan tan 成立的条件是 ， 都不等于 k 2(kZ)；同理 T 成立的条件是 ， 都不等于 k 2(kZ) 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 2两角和与差的正切公式的变形 (1)T的变形： tan tan tan tan tan tan tan() tan tan 1tan tan tan . (2)T的变形： tan tan tan tan tan tan tan(
3、) tan tan tan tan tan 1 . tan()(1tan tan ) tan() tan()(1tan tan ) tan() 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 名师点睛 1公式 T 的结构特征和符号规律 (1)公式 T 的右侧为分式形式，其中分子为 tan 与 tan 的和 或差，分母为 1 与 tan tan 的差或和 (2)符号变化规律可简记为“分子同，分母反” 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 2公式 T 应用时要注意的问题 (1)公式的适用范围 由正切函数的定义可知 、(或 )的终边不能落在 y 轴上，即角不等于 k 2(kZ) (
4、2)公式的逆用 一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换 如 tan 41，tan 6 3 3 ，tan 3 3等 特别要注意 tan 4 1tan 1tan ，tan 4 1tan 1tan . 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 (3)公式的变形应用 只要见到 tan tan ，tan tan 时，有灵活应用公式 T 的意 识，就不难想到解题思路 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 【例 1】 求下列各式的值 (1) 3tan 15 1 3tan 15 ； (2) tan 62 cot 58 1cot 28 tan 32 ； (3)tan 50 tan
5、 70 3tan 50 tan 70 . 思路探索 本题主要考查两角和与差的正切公式的逆用及变 形 (1) 3tan 60 ； (2)cot 58 tan 32 ； cot 28 tan 62 ； (3)tan 50 tan 70 tan(50 70 )(1tan 50 tan 70 ) 题型一 给角求值问题 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 解 (1)原式 tan 60 tan 15 1tan 60 tan 15 tan(60 15 )tan 45 1； (2)原式 tan 62 tan 32 1tan 62 tan 32 tan(62 32 )tan 30 3 3 ； (
6、3)原式tan 120 (1tan 50 tan 70 ) 3tan 50 tan 70 3 3tan 50 tan 70 3tan 50 tan 70 3. 规律方法 (1)利用特殊角的三角函数值或诱导公式，将所给式 子化为可以利用公式的形式 (2)对 T 两组公式的变形 tan tan tan( ) (1tan tan ) 的灵活运用，往往使解题思路柳暗花明 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 【训练 1】 已知 45 ，求(1tan )(1tan )的值 解 45 ，tan()tan 45 1. 又tan() tan tan 1tan tan ， tan tan tan(
7、)(1tan tan )， 即 tan tan 1tan tan . 原式1tan tan tan tna 1(1tan tan )tan tan 2. 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 题型二 给值求值问题 【例 2】 若 tan ()2 5，tan 4 1 4，求 tan 4 的值 思路探索 (1)利用 T 求值的关键是借助已知条件求出 tan ， tan 的值，然后代入公式求解； (2)公式 T 中的角 ， 可以是一个“整体”，也可以是一个 单纯的角，求解时要结合公式的特点求解 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 解 因为 4() 4 ， 所以 tan
8、4 tan 4 tantan 4 1tantan 4 2 5 1 4 12 5 1 4 3 22. 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 规律方法 对于给值求值问题，即由给出的某些角的三角函数 值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角” ，使“目标 角”变换成“已知角” 若角所在的象限没有确定，则应分类讨 论，应注意公式的正用、逆用、变形运用，掌握其结构特征， 还要会通过分析“目标角”与“已知角”之间的关系，灵活拆 角或拼角 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 【训练 2】 已知 sin 2 3， 2， ，cos 3 4， ，3 2 ， 求 sin()，cos
9、()，tan() 解 sin 2 3， 2， ， cos 1sin2 1 2 3 2 5 3 ， tan sin cos 2 5 5 . 又cos 3 4， ，3 2 ， 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 sin 1cos2 1 3 4 2 7 4 ， tan sin cos 7 3 . sin()sin cos cos sin 2 3 3 4 5 3 7 4 6 35 12 . 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 cos()cos cos sin sin 5 3 3 4 2 3 7 4 3 52 7 12 . tan() tan tan 1tan tan 2
10、 5 5 7 3 1 2 5 5 7 3 32 527 7 17 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 题型三 给值求角问题 【例 3】 (12 分)已知 tan 1 7，sin 10 10 ， 且 ， 为锐角， 求 2 的值 审题指导 该类问题属于给值求角问题，对于此类问题的求解， 以下两个环节缺一不可： (1)根据题设条件求角的某一三角函数值，如本题求 2 的正 切值； (2)讨论角的范围，必要时借助三角函数值缩小角的范围，如本 例中利用 tan 1，sin 10 10 2 2 缩小了 、 的范围最后 利用求出 2 的值 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 【
11、解题流程】 由sin 求tan 求2的范围 求tan 求tan2求2的值 规范解答 tan 1 71 且 为锐角，0 4. 又sin 10 10 50 10 2 2 且 为锐角， 0 4，02 3 4 . (4 分) 由 sin 10 10 ， 为锐角，得 cos 3 10 10 ，tan 1 3. (6 分) 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 tan() tan tan 1tan tan 1 7 1 3 11 7 1 3 1 2. (8分) tan(2) tantan 1tantan 1 2 1 3 11 2 1 3 1. (10 分) 由可得 2 4. (12 分) 课前
12、探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 【题后反思】 (1)通过先求角的某个三角函数值来求角，在选 取函数时，遵照以下原则： 已知正切函数值，选正切函数； 已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数若角的范围是 0， 2 ，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，选余弦较好； 若角的范围为 2， 2 ，选正弦较好 (2)解给值求角问题的一般步骤为： 求角的某一个三角函数值； 确定角的范围； 根据角的范围写出所求的角 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 【训练 3】 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 Ox 轴为始边 作两个锐角 、，它们的终边分别与单位圆交于 A、B 两点，
13、 已知 A、B 的横坐标分别为 2 10 、2 5 5 . (1)求 tan()的值； (2)求 2 的值 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 解 由条件得 cos 2 10 ，cos 2 5 5 . ， 为锐角， sin 1cos27 2 10 ， sin 1cos2 5 5 . 因此 tan 7，tan 1 2. (1)tan() tan tan 1tan tan 71 2 171 2 3. 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 (2)tan(2)tan() tantan 1tantan 31 2 131 2 1. 又， 为锐角，023 2 ， 23 4 .
14、课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 误区警示 因忽视正切函数的定义域而出错 【示例】 设命题甲：tan()0，命题乙：tan tan 0， 则甲是乙的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 错解 tan() tan tan 1tan tan ，则 tan()0，则 tan 0， 即甲乙，若 tan tan 0，则 tan()0，即乙甲故 甲是乙的充要条件，故选 C. 答案 C 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 几个注意的问题： (1)注意公式的适用范围，在 T 中， 都不等于 k 2(kZ)，即保证 tan ，tan ，
15、tan( )都有意义 (2)当遇到 tan ，tan 或 tan( )的值不存在时，不能使用 T 公式，可使用诱导公式、商数关系等求解如化简 tan 2 ， 不能用 T()公式，可先用商数关系“切化弦”，再使用诱导公 式化简 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 正解 若 2，tan()0，但 tan 、tan 无意义，故 tan()0 tan tan 0；若 tan tan 0，则 tan tan()， 所以 k(kZ)， 即 k， 所以 tan() 0，故选 B. 答案 B 得出错误结论的原因是忽视了两角和差的正切公式 成立的条件：、k 2(kZ)当 2时，tan 、 tan 无意义，要注意挖掘公式成立的隐含条件
