1、常用逻辑用语常用逻辑用语 第一章第一章 2 充分条件与必要条件充分条件与必要条件 第第1课时课时 充分条件与必要条件充分条件与必要条件 第一章第一章 课堂典例探究课堂典例探究 2 课课 时时 作作 业业 3 课前自主预习课前自主预习 1 课前自主预习课前自主预习 1.理解充分条件、必要条件的概念 2会具体判断所给条件是哪一种条件. 1.当命题“若p，则q”经过推理证明断定是 真命题时，我们就说由p可以推出q，记作 _，读作“p推出q” 2如果p可推出q，则称p是q的_； q是p的_. 充分条件与必要条件的定义 pq 充分条件 必要条件 回想在必修2中学习过的线面平行的判定与性 质定理，a，b，
2、ab是a的_ 条件，a是ab的_条件. 充分条件与判定定理，必要条件 与性质定理 充分 必要 充要条件 1.如果既有 pq，又有 qp，则 p 是 q 的_条件，记 为_. 2如果 p / q 且 q / p，则 p 是 q 的_ 条件 3如果 pq 且 q / p，则称 p 是 q 的_条件 4如果 p / q 且 qp，则称 p 是 q 的_条件. 充要 pq 既不充分也不必要 充分不必要 必要不充分 1.对充分条件、必要条件的理解 (1)充分性：p是q的充分条件是指有p就足够 保证q成立，但如果没有p，q也可能成立 (2)必要性：q是p的必要条件是指即使有q成 立，p也未必成立，但是若q
3、不成立，则p一 定也不成立 2对充要条件的理解 (1)如果pq，那么p与q互为充要条件 (2)“p是q的充要条件”，又常说成“q当且 仅当p”或“p与q等价” (3)pq，有条件p时，q一定成立，无条件p 时，q一定不成立. 1.对任意实数a、b、c，在下列命题中，真命 题是( ) A“acbc”是“ab”的必要条件 B“acbc”是“ab”的必要条件 C“acbc”是“ab”的充分条件 D“acbc”是“ab”的充分条件 答案 B 解析 acbc c0 ab， acbc cb，而由 ab / acbc， acbc 既不是 ab 的充分条件，也不是必要条件，故 A、 C 都不对； 又 acbc
4、 c0 ab， acbc c0 / ab， 由 acbc / ab， 而由 abacbc. acbc 是 ab 的必要不充分条件，故选 B. 2在下列横线上填上“充分”或“必要” (1)a1是a2的_条件 (2)a0求解 解析 由方程表示圆的条件知， (4m)2(2)24 (5m)0， m1，故选 B. 充要条件的证明 试证：一元二次方程 ax2bxc0 有一正根和 一负根的充要条件是 ac0. 分析 这里有一正根和一负根包涵两层意思，首先是有 根，其次是在有根的前提下，一根为正、一根为负因此相应 的我们应有：(1)0；(2)x1x20，x1x2c a0，ac0 充分性：由 ac0 及 x1x
5、2c a0. 方程 ax2bxc0 有两相异实根，且两根异号即方 程 ax2bxc0 有一正根和一负根 方法规律总结 该例中的叙述格式是B成立 的充要条件为A，因此由AB是充分性；而 由BA是必要性其实这种问题还有另一种 叙述格式：p是q的充要条件这是由pq是 充分性，而由qp是必要性，当我们对类似 与例3这种充要条件证明题进行论证时，需要 搞清它的叙述格式属于何一种避免在论证 时将充分性错当必要性证，而又将必要性错 当充分性这样的错误 已知a、b是实数，求证：a4b42b21成 立的充要条件是a2b21. 证明 (1)充分性：若a2b21成立， 则a4b42b2(a2b2)(a2b2)2b2
6、 a2b22b2a2b21， 所以a2b21是a4b42b21的充分条 件 (2)必要性：若a4b42b21成立， 则a4(b21)20， 即(a2b21)(a2b21)0， 因为a、b为实数，所以a2b210， 所以a2b210，即a2b21. 综上可知：a4b42b21成立的充要条件 是a2b21. 注意隐含条件的发掘 (2014 广饶一中期末)a， b 为非零向量 “ab” 是“函数 f(x)(xab) (xba)为一次函数”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 错解 C f(x)(xab)(xba)x2ab xb2xa2abx2abx(b2a2)ab. 充分性：ab，ab0， f(x)x(b2a2)是一次函数 必要性：f(x)是一次函数， ab0， ab.故选C. 辨析 错误的原因是：在f(x)x(b2a2) 中，忽视了|a|b|，从形式上认为f(x)是一次 函数 正解 B f(x)(xab)(xba) x2abxb2xa2abx2abx(b2 a2)ab. 充分性：ab，ab0， f(x)x(b2a2)， 若|a|b|，则f(x)是一次函数；若|a|b|， 则f(x)是常函数，充分性不成立 必要性：f(x)是一次函数， ab0且b2a20， ab且|b|a|，必要性成立 综上可知应选B.
