1、统计案例统计案例 第一章第一章 情景导学 哲学知识告诉我们事物之间是有联 系的、联系是普遍的，任何事物都是运 动的、任何两个事物之间都存在着普遍 联系具体到现实问题中，我们会发现 有些问题是从变化的角度来分析是存在 两个都在变化的量，关系非常密切，一个现象发生一定量的变 化，另一个现象一般也会发生相应的变化，但又不能用函数概 念去定义，也无法用函数的模型来代言如商场销售收入每增 加一万元时，因所卖商品不同，销售利润一般会增加不同的数 值；施肥量增加一斤，一般地产量也会增加，但值有时不固定 5 月 31 日是世界无烟日有关医学研究表明，许多疾病， 例如：心脏病、癌症、脑血管病、慢性阻塞性肺病等都
2、与吸烟 有关，吸烟已成为继高血压之后的第二号全球杀手这些疾病 与吸烟有关的结论是怎样得出的呢？若从数学角度区分，这里 的疾病和吸烟就是彼此相关的两个变量如何用数学的方法来 刻画这种变量之间的相关关系呢？如何用数学方法说明两个变 量是相互独立的？这就是本章所要研究的问题 学法探究 本章内容是统计案例中常见方法中的两种：回归分析和独 立性的检验 通过对典型案例的学习， 理解问题和方法的实质， 进一步体会统计方法在解决实际问题中的基本思想在学习过 程中多与社会实践相结合， 亲自动手实践， 加深对知识的认识 学习时应注意以下几点： 1 注意用最小二乘法建立变量之间线性回归方程的方法的 学习，理解用散点
3、图判断变量之间近似成线性相关关系及用线 性相关系数刻画变量之间线性相关程度 2 非线性回归方程可转化为线性回归方程来解决， 转化时 要熟悉几种常见的函数拟合模型，理解非线性方程与线性方程 变量间的关系 3牢记 2统计量的计算公式，理解独立性检验的思想， 对实际问题作出统计推断 1 回归分析回归分析 第一章第一章 第第1课时课时 回归分析回归分析 相关系数相关系数 课堂典例探究课堂典例探究 2 课课 时时 作作 业业 3 课前自主预习课前自主预习 1 课前自主预习课前自主预习 通过收集现实问题中两个有关联变量的数据 作出散点图，并利用散点图直观认识变量间 的相关关系 理解相关系数的含义及求法 了
4、解回归分析的基本思想会建立回归模型， 并能利用回归分析进行有效预测 1.变量之间有一定的联系，但不能完全用函 数来表达如人的体重y与身高x.一般来说， 身高越高，体重越重，但不能用一个函数来 严格地表示身高与体重之间的关系相关关 系是非确定性关系，因变量的取值具有一定 的_ 2在考虑两个变量的关系时，为了对变量之 间的关系有一个大致的了解，人们通常将变 量所对应的点描出来，这些点就组成了变量 之间的一个图，通常把这种图叫作变量之间 的_ 变量之间的相关关系 随机性 散点图 2回归直线方程为y b xa ，其中b _ a _，_称为样本点的中心其中 x x1x2xn n 1 n n i1xi；y
5、 y1y2yn n 1 n n i1 yi. 1.回归分析是处理两个变量之间_ 常用的一种统计方法若两个变量之间具有 线性相关关系，则称相应的回归分析为 _ 回归分析 相关关系 线性回归分析 n i1 xixyiy n i1 xix 2 yb x (x，y) 1.线性相关系数 假设两个随机变量的数据分别为(x1，y1)，(x2， y2)，(xn，yn)，则变量间线性相关系数r 的计算公式如下： 线性相关系数 r_ . i1 n xixyiy i1 n xix2 i1 n yiy2 i1 n xiyin x y i1 n x2 in x 2 i1 n y2 in y 2 1.关于散点图要注意以下
6、方面： 散点图可以说明变量间有无线性相关关系， 相关的方向，但不能精确地说明两个变量之 间关系的密切程度，因此需要计算相关系数 来描述两个变量之间关系的密切程度 2相关关系与函数关系 (1)两者之间的不同点 相关关系是一种非确定性关系即相关关 系是非随机变量与随机变量之间的关系如 人的身高与年龄；商品的销售额与广告费等 都是相关关系，而函数关系中的两个变量是 一种确定性关系如正方形的面积S与边长x 之间的关系Sx2就是函数关系，即对于边长 x的每一个确定的值，都有面积S的唯一确定 的值与之对应 函数关系是一种因果关系，而相关关系不 一定是因果关系如有人发现，对于在校儿 童，身高与阅读能力有很强
7、的相关关系，然 而学会新词并不能使儿童马上长高，而是涉 及第三个因素年龄，当儿童长大一些，他 们的阅读能力会提高，而由于长大身高也会 高一些 (2)两者之间的联系 相关关系与函数关系有着密切的联系，在一 定条件下可以相互转化例如正方形的面积 S与其边长x之间虽然是一种确定性关系，但 在每次测量时，由于测量误差等原因，其数 值大小又表现出一种随机性，而对于具有线 性关系的两个变量来说，当求得其回归直线 方程后，我们又可以用一种确定的关系对这 两个变量间的关系进行估计 3求回归系数a、b的具体步骤和方法 (1)列表，将所给的数据x、y列成相应的表格， 如下表所示： 序号 xi yi x2 i y2
8、 i xiyi 1 x1 y1 x2 1 y2 1 x1y1 2 x2 y2 x2 2 y2 2 x2y2 n xn yn x2 n y2 n xnyn i1 n xi i1 n yi i1 n x2 i i1 n y2 i i1 n xiyi (2)计算：x、y、 i1 n x2 i、 i1 n xiyi. (3)代入公式计算 b、a 的值 1.下列结论不正确的是( ) A函数关系是一种确定性关系 B相关关系是一种非确定性关系 C回归分析是具有函数关系的两个变量进 行统计分析的一种方法 D回归分析是具有相关关系的两个变量进 行统计分析的一种方法 答案 C 解析 回归分析是具有相关关系的两个变
9、量 进行统计分析的一种方法，而不是具有函数 关系的两个变量进行统计分析的一种方法， 故选C 2对变量x、y有观测数据(xi，yi)(i1,2， 10)，得散点图；对变量u、v有观测数据(ui， vi)(i1,2，10)，得散点图.由这两个散 点图可以判断( ) A变量x与y正相关，u与v正相关 B变量x与y正相关，u与v负相关 C变量x与y负相关，u与v正相关 D变量x与y负相关，u与v负相关 答案 C 解析 观察图像易知选项C正确 3下列变量之间的关系不是相关关系的是 ( ) A已知二次函数yax2bxc，其中a、c 是已知常数，取b为自变量，因变量是这个函 数的判别式b24ac B光照时间
10、和果树亩产量 C降雪量和交通事故发生 D每亩用肥料量和粮食亩产量 答案 A 4 某商品销售量 y(件)与销售价格 x(元/件)负相关， 则其回 归方程可能是( ) Ay 10x200 By 10x200 Cy 10x200 Dy 10x200 答案 A 解析 本题主要考查变量的相关性 由负相关的定义排除B，D，由x1时，y0 排除C 课堂典例探究课堂典例探究 有下列说法： 线性回归分析就是由样本点去寻找一条 直线，使之贴近这些样本点的数学方法； 利用样本点的散点图可以直观判断两个 变量的关系是否可以用线性关系表示； 概念的理解和判断 通过回归方程y bxa可以估计观测变量的取值和变化 趋势；
11、因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程， 所以没有必要进行相关性检验 其中正确命题的个数是( ) A1 B2 C3 D4 分析 由题目可获取以下信息： 线性回归分析； 散点图； 相关性检验等的相关概念及意义 解答本题可先逐一核对相关概念及其性质， 然后再逐一作出判断，最后得出结论 解析 反映的正是最小二乘法思想，故正确 反映的是画散点图的作用，也正确 解释的是回归方程y bxa的作用，故也正确 是不正确的，在求回归方程之前必须进行相关性检验， 以体现两变量的关系 答案 C 方法规律总结 解答概念辨析题，应紧扣线 性回归分析中每个概念的定义进行，要准确 把握概念的内涵 下面变量关系是相关
12、关系的是( ) 学生的学习态度与学习成绩之间的关系； 教师的执教水平与学生的学习成绩之间的 关系； 学生的身高与学生的学习成绩之间的关系； 家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的 关系 A B C D 答案 A 解析 是相关关系，是非相关关 系 某5名学生的数学和化学成绩如下 表： (1)画出散点图； (2)求化学成绩y对数学成绩x的线性回归方 程 求线性回归方程 学生 学科成绩 A B C D E 数学成绩(x) 88 76 73 66 63 化学成绩(y) 78 65 71 64 61 分析 描点画出散点图，依次计算x、y、xiyi、x2 i代 入公式即可求出回归直线方程 解析 (1)散点图
13、如图所示： (2)x1 5(8876736663)73.2， y1 5(7865716461)67.8， i1 5 xiyi8878766573716664636125 054. i1 5 x2 i88 276273266263227 174， b i1 5 xiyi5x y i1 5 x2 i5x 2 25 054573.267.8 27 174573.22 0.625， aybx67.80.62573.222.05. y 对 x 的线性回归方程为 y0.625x22.05. 方法规律总结 1.求回归直线方程的一般步骤 (1)作出散点图，依据问题所给的数据在平面直角坐标系中 描点， 观察点的
14、分布是否呈条状分布， 即是否在一条直线附近， 从而判断两变量是否具有线性相关关系 (2)当两变量具有线性相关关系时，求回归系数a 、b，写出 回归直线方程 2 回归直线方程y ab x 中的b 表示 x 每增加 1 个单位时， y 的变化量的估计值为b. 可以利用回归直线方程y ab x 预报在 x 取某个值时 y 的 估计值 由于回归直线中的系数a 和b 是通过样本估计而来的，存在 着误差，这种误差可能导致预报结果有偏差 根据上表提供的数据， 求出 y 关于 x 的线性回归方程为y 0.7x0.35，那么表中 t 的值为( ) A3 B3.15 C3.5 D4.5 下表提供了某厂节能降耗技术
15、改造后在生产 A产品过程中记录的产量x(t)与相应的生产能 耗y(t)的几组对应数据： 答案 A x 3 4 5 6 y 2.5 t 4 4.5 解析 样本中心点是( x ，y)，即(4.5，11t 4 )因为回归 直线过该点，所以11t 4 0.74.50.35，解得 t3. 研究某品牌学习机的广告投入x和 销售额y的关系时，得到以下数据：(单位：万 元) 利用散点图和相关系数r判断广告投入x和销 售额y之间的相关性 利用相关系数检验两个变量间的 相关性 广告投入 x 2 4 5 6 8 销售额y 30 40 60 50 70 解析 (1)利用题中给出的数据得到散点图为： 从散点图中可以发现
16、： 样本点大致分布在一个条形区域内， 因此我们认为广告投入x和销售额y之间具有线性相关关系 但 是这种判断的准确度我们无法给出 (2)利用题中数据可知： x5，y50， i1 5 xiyi1380， i1 5 x2 i145， i1 5 y2 i13500， 则 线 性 相 关 系 数 r i1 5 xiyi5x y i1 5 x2 i5x 2 i1 5 y2 i5y 2 130 141.42140.91920.75. 所以我们有充分的把握认为：广告投入 x 和销售额 y 之间 具有很强的线性相关关系 某运动员训练次数与运动成绩之间的数据关系如下： 训练次数 30 33 35 37 39 44
17、 46 50 成绩 30 34 37 39 42 46 48 51 试利用上述数据列表计算相关统计量x，y， i1 8 x2 i， i1 8 y2 i， i1 8 x iyi，并计算相关系数，进行分析 分析 可以把训练次数和成绩分别作为表格的列，另外 加上 x2 i、y 2 i、xiyi三列，并在表格的底部进行合计，得到相关统 计量，再代入求相关系数 r 的公式求得 r. 解析 如下表所示： 序号 i 训练次数 xi 成绩 yi x2 i y2 i xiyi 1 30 30 900 900 900 2 33 34 1089 1156 1122 3 35 37 1225 1369 1295 4
18、37 39 1369 1521 1443 5 39 42 1521 1764 1638 6 44 46 1936 2116 2024 7 46 48 2116 2304 2208 8 50 51 2500 2601 2550 314 327 12656 13731 13180 由上表可求得 x 314 8 39.25， y 327 8 40.875， i1 8 x2 i 12656， i1 8 y2 i13731， i1 8 xiyi13180， r i1 8 xiyi8x y i1 8 x2 i8x 2 i1 8 y2 i8y 2 13180839.2540.875 12656839.252
19、13731840.87520.993， 由此可以得出 x 与 y 之间有较强的线性相关关系 准确理解概念和参数的含义 关于x与y有如下数据： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 为了对 x、y 两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模 型：甲模型y 6.5x17.5，乙模型y7x17，试比较哪一个模 型拟合的效果更好 错解 R2 甲1 i1 5 yiy i2 5 i1 yi y 21 155 1 0000.845， R2 乙1 i1 5 yi y i2 i1 5 yi y 2 1 180 1 0000.82， R2 甲R2乙. 乙模型拟合的效果更好 辨析 明确R2的大小与拟合效果的关系 用相关指数R2来比较模型的拟合效果，R2越 大，模型的拟合效果越好，并不是R2越小模 型的拟合效果越好 正解 R2 甲1 i1 5 yiy i2 5 i1 yi y 21 155 1 0000.845， R2 乙1 i1 5 yi y i2 i1 5 yi y 2 1 180 1 0000.82， R2 甲R2乙. 甲模型拟合的效果更好
