1、2.1曲线和方程曲线和方程 在高一在高一, ,我们认识了直线和圆的方程我们认识了直线和圆的方程. . 1.1.经过点经过点 P(0, )b和斜率为和斜率为k的直线的直线 l 的方的方 程为程为_. 2.圆心为圆心为( , )C a b,半径为半径为 r 的圆的圆 C 的方程的方程 为为_. 曲线和方程曲线和方程 yxbk 222 ()()xaybr 为什么为什么? ? (1)第一、三象限里两轴间夹角平分线的方程是第一、三象限里两轴间夹角平分线的方程是 x- -y=0. 点的横坐标与纵坐标相等点的横坐标与纵坐标相等 x=y（或x- y=0） 第一、三象限角平分线第一、三象限角平分线 l 含有关系
2、含有关系： l x-y=0 x y 0 （1） l上点的坐标都是方程上点的坐标都是方程x-y=0的解的解 （2）以方程以方程x-y=0的解为坐标的点都在的解为坐标的点都在 上上 l 曲线曲线 条件条件 方程方程 曲线和方程之间有什么对应关系呢曲线和方程之间有什么对应关系呢？ 说直线说直线 l 的方程是的方程是0xy,又又说方程说方程0xy的直线是的直线是 l . 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作 点的集合或适合某种条件的点的轨迹)与二元方 程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系: (1)曲线上的点坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么,这个方
3、程f(x,y)=0叫做 这条曲线C的方程; 这条曲线C叫做这个方程f(x,y)=0的曲线. 定义定义: 说明说明:1.:1.曲线的方程曲线的方程反映的是图形所满足的数量关系反映的是图形所满足的数量关系; ; 方程的曲线方程的曲线反映的是数量关系所表示的图形反映的是数量关系所表示的图形. . f(x,y)=0 0 x y 曲线上所有点的集合与此曲线的方程的解集能够一一对应曲线上所有点的集合与此曲线的方程的解集能够一一对应 例例1判断下列结论的正误并说明理由判断下列结论的正误并说明理由 (1)过点过点A（3，0）且垂直于）且垂直于x轴的直线轴的直线 的方程为的方程为x=3; (2)到到 x 轴距离
4、为轴距离为 2 的点的轨迹方程为的点的轨迹方程为 y=2 ; (3)到两坐标轴距离乘积等于到两坐标轴距离乘积等于k的点的的点的 轨迹方程为轨迹方程为xy=k. 对对 错错 错错 0k 例例2 2 证明以坐标原点为圆心，半证明以坐标原点为圆心，半径径等于等于5 5的圆的方的圆的方 程是程是x2 2 + +y2 2 = 25.= 25. 证明：证明：(1)(1)设设M(M(x0 0, ,y0 0) )是圆上任意一点是圆上任意一点. .因为点因为点MM到坐标原点的距到坐标原点的距 离等于离等于5 5，所以，所以 也就是也就是x0 02 2 + +yo o2 2 = 25= 25. . 即即 ( (x
5、0 0, ,y0 0) ) 是方程是方程x2 2 + +y2 2 = 25= 25的解的解. . 22 00 5,xy ( (2)2)设设 (x(x0 0,y ,y0 0) ) 是方程是方程x2 2 + +y2 2 = 25= 25的解的解，那么，那么x0 02 2 + +y0 02 2 = 25= 25 两边开方取算术根，得两边开方取算术根，得 即点即点M (M (x0 0, ,y0 0) )到坐标原点的距离等于到坐标原点的距离等于5 5，点点M (M (x0 0, ,y0 0) )是这个是这个 圆上的一点圆上的一点. . , 5 2 0 2 0 yx 由由( (1)、( (2)可知，可知，
6、 x x2 2 +y+y2 2 = 25,= 25,是以坐标原点为圆是以坐标原点为圆 心，半径等于心，半径等于5的圆的方程的圆的方程. 第一步，设第一步，设M (M (x0 0, ,y0 0) )是曲线是曲线C C上任一点，证上任一点，证 明明( (x0 0, ,y0 0) )是是f( (x, ,y)=0)=0的解；的解； 证明已知曲线的方程的方法和步骤证明已知曲线的方程的方法和步骤 第二步，设第二步，设( (x0 0, ,y0 0) )是是f( (x, ,y)=0)=0的解，证明的解，证明 点点M (M (x0 0, ,y0 0) )在曲线在曲线C上上. . 小结小结 2.2.方程的曲线与曲
7、线的方程的关系方程的曲线与曲线的方程的关系: : 点点P P 00 (,)xy在在方程的方程的曲线曲线 C C 上上点点 00 (,)P xy 的坐标是的坐标是曲线的曲线的方程方程( , )0f x y 的解的解. . 即即如果如果曲线曲线 C C 的方程是的方程是( , )0f x y , , 那么那么点点P P 00 (,)xy在曲线在曲线C C上上的的充要条件充要条件是是方方 程程 00 (,)f xy=0=0. . 课堂练习1:下列各题中，下图各曲线的曲线方 程是所列出的方程吗？为什么？ (1)曲线C为过点A(1，1)，B(-1，1)的 折线(如图(1)其方程为(x-y)(x+y)=0
8、; (2)曲线C是顶点在原点的抛物线其方 程为x+ =0; (3)曲线C是, 象限内到x轴，y轴 的距离乘积为1的点集其方程为y= 。 1 0 x y -1 1 0 x y -1 1 -2 2 1 0 x y -1 1 -2 2 1 y 不是不是 不是不是 是是 课堂练习2:下述方程表示的图形分别是 下图中的哪一个？ - =0 xy|x|-|y|=0 x-|y|=0 1 1 O X Y 1 1 O X Y 1 1 O X Y -1 -1 1 1 O X Y -1 A B C D 表示表示 B 表示表示 C 表示表示 D 课堂练习课堂练习3： 设圆设圆M的方程为的方程为 , 直线直线 的方程为的
9、方程为x+y-3=0, 点点P的坐标为的坐标为(2,1)，那么（，那么（ ） 2) 2() 3( 22 yxl A.点点P在直线上，但不在圆上在直线上，但不在圆上 B.点点P在圆上，但不在直线上；在圆上，但不在直线上； C.点点P既在圆上，也在直线上既在圆上，也在直线上 D.点点P既不在圆上，也不在直线上既不在圆上，也不在直线上 C 练习练习4、如果曲线、如果曲线C上的点坐标上的点坐标(x,y)都是方程都是方程F(x,y)=0的解，那的解，那 么（么（ ） A、以方程、以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线的解为坐标的点都在曲线C上。上。 B、以方程、以方程F(x,y)=0的解为坐标的点
10、，有些不在曲线上。的解为坐标的点，有些不在曲线上。 C、不在曲线、不在曲线C上的点的坐标都不是方程上的点的坐标都不是方程F(x,y)=0的解。的解。 D、坐标不满足、坐标不满足F(x,y)=0的点不在曲线的点不在曲线C上。上。 D 问题问题 1 1. .设设 A、 B 两点的坐标是两点的坐标是 (- -1,- -1)、 (3,7), 求线段求线段 AB 的垂直平分线的方程的垂直平分线的方程. 如何求曲线的方程? 运用现成的结论运用现成的结论直线方程的知识来求直线方程的知识来求. 解解: 7( 1) 2 3 ( 1) AB k,所求直线的斜率所求直线的斜率k= 1 2 又又线段线段 AB 的中点
11、坐标是的中点坐标是 1 317 (,) 22 即即(1,3) 线段线段AB的的垂直平分线的方程垂直平分线的方程为为 1 3(1) 2 yx . 即即 x+2y-7=0 法一法一: : 法法二二: :若若没有现成的结论怎么办没有现成的结论怎么办 需要需要掌握一般掌握一般的方法的方法 平面平面解析几何研究的主要问题是：解析几何研究的主要问题是： 1.求曲线的方程求曲线的方程; 2.通过通过方程方程研究曲线的性质研究曲线的性质. 问题问题 1.1.设设 A、B 两点的坐标是两点的坐标是 (- -1,- -1)、(3,7),求线段求线段 AB 的垂直平分线的方程的垂直平分线的方程. 解解: :设设 M
12、(x,y)是线段是线段 AB 的垂直平分线的垂直平分线上上的的任一点任一点, 我们的目标就是要找我们的目标就是要找x与与y的关系式的关系式 则则 | |MA|=|MB| | 需要尝试、摸索需要尝试、摸索 先找曲线上的点满足的几何条件先找曲线上的点满足的几何条件 2222 (1)(1)(3)(7)xyxy 坐标坐标化化 2222 2121691449xxyyxxyy 270xy( () ) 化化简简 由上面过程可知由上面过程可知, ,垂直平分线上的任一点垂直平分线上的任一点 的坐标都是方程的坐标都是方程270xy的解的解; ; 证明证明 设点设点 1 M的坐标的坐标 11 ( ,)x y是方程是
13、方程( () )的解的解, ,即即 11 270xy 上面变形过程步步可逆上面变形过程步步可逆, , 2222 1111 (1)(1)(3)(7)xyxy 11 M AM B 综上所述综上所述, ,线段线段 AB 的垂直平分线的方程的垂直平分线的方程是是270xy. 第一种方法运用现成的结论当然快第一种方法运用现成的结论当然快, ,但它需要你对研但它需要你对研 究的曲线要有一定的了解究的曲线要有一定的了解; ;第二种方法虽然有些走弯路第二种方法虽然有些走弯路, ,但但 这种方法有一般性这种方法有一般性. . 求曲线的方程求曲线的方程( (轨迹方程轨迹方程),),一般有下面几个步骤一般有下面几个
14、步骤: : 1.1.建建立适当的坐标系立适当的坐标系, ,设设曲线上任一点曲线上任一点 M 的坐标的坐标( , )x y; 2.2.写出适合条件写出适合条件 P 的几何点集的几何点集:()PM P M;（限（限） 3.3.用坐标表示条件用坐标表示条件()P M, ,列列出方程出方程( , )0f x y ; ;（代）（代） 4.4.化化简方程简方程( , )0f x y 为最简形式为最简形式; ; 5.5.证明证明( (查漏除杂查漏除杂).). 以上过程可以概括为一句话以上过程可以概括为一句话: :建设现建设现 ( ( 限限 ) ) 代化代化 . . 2.定义法定义法 1.直译法直译法 3.代
15、入法代入法 等等等等 小结小结:求曲线方程的方法求曲线方程的方法: 一般情况下只需：一般情况下只需：建建 ，设，代（列），化并查漏除杂查漏除杂 即可 例例3 3已知一条直线已知一条直线l和它上方的一个点和它上方的一个点F, ,点点F到到l 的距离是的距离是 2.2.一条曲线也在一条曲线也在l的上方的上方, ,它上面的它上面的每每一一 点到点到 F 的距离减去到的距离减去到l的距离的差都是的距离的差都是 2,建立适建立适 当的坐标系当的坐标系,求这条曲线的方程求这条曲线的方程. F. . . .M l x y 0 (0,2) ( , )x y 解解: :设设曲线曲线上上任任一一点点 M M 的坐
16、标为的坐标为( (x,y) 直译法直译法 课堂练习课堂练习: : 练习练习1.1.已知点已知点M M与与x轴的距离和点轴的距离和点M M与点与点F(0,4)F(0,4) 的距离相等的距离相等, ,求点求点 M M 的轨迹方程的轨迹方程. . 解解: :设点设点 M M 的坐标为的坐标为( (x,y) 建立坐标系建立坐标系 设点的坐标设点的坐标 点点 M M 与与x轴的距离为轴的距离为y, , 22 (4)FMxy y= = 22 (4)xy 限限(找几何条件找几何条件) 代代(把条件坐标化把条件坐标化) 222 816yxyy 2 816xy 化简化简 这这就就是是所所求求的的轨迹轨迹方程方程
17、. . 直译法直译法 2.如图如图,已知点已知点 C 的坐标是的坐标是(2 , 2) , 过点过点 C 直线直线 CA 与与 x 轴交于点轴交于点 A,过点过点 C 且与直线且与直线 CA垂直的直线垂直的直线 CB 与与 y 轴交于点轴交于点 B,设点设点 M 是线段是线段 AB 的中点的中点,求点求点 M 的轨迹方程的轨迹方程. 活用几何性质来找关系活用几何性质来找关系 x y 0 C B A M思维漂亮! ( , )x y 注意：“轨迹”、“方程”要区注意：“轨迹”、“方程”要区 分：分： (2)若是求轨迹，求得方程还不够，还应指出若是求轨迹，求得方程还不够，还应指出 方程所表示的曲线类型
18、（方程所表示的曲线类型（定形、定位、定量定形、定位、定量）。）。 (1)求求轨迹方程轨迹方程，求得方程就可以了；，求得方程就可以了； 例例4.4.已知定点已知定点A(6,0),A(6,0),曲线曲线C:xC:x2 2+y+y2 2=4=4上的动点上的动点B,B, 点点MM满足满足 , ,求点求点MM的轨迹的轨迹. . x y A(6,0)A(6,0) OO B B MM 1 2 AMMB 代入法代入法(或相关点法或相关点法). 练习练习1:点点A(3,0)为圆为圆x2+y2=1外一点外一点,P为圆上任意为圆上任意 一点一点,若若AP的中点为的中点为M,当当P在圆上运动时在圆上运动时,求点求点M
19、 的轨迹方程的轨迹方程. 22 31 (). 24 xy 2:过点过点P(2,4)作两条互相垂直的直线作两条互相垂直的直线l1,l2,若若l1交交x轴于轴于A 点点,l2交交y轴于轴于B点点,求线段求线段AB的中点的中点M的轨迹方程的轨迹方程. x+2y-5=0 变式变式1 1：已知等腰三角形底边的两个端点是：已知等腰三角形底边的两个端点是 (-1, -1) 、(3,7) ，求第三个顶点求第三个顶点C的轨迹方的轨迹方 程程 A B C 0 x y x+2y7=0，且不过点（，且不过点（1,3） 注：求得的轨迹方程要与动点注：求得的轨迹方程要与动点 的轨迹一一对应的轨迹一一对应, ,否则要“否则
20、要“多多 退少补退少补”, ,多余的点要剔除多余的点要剔除( (用用 x,yx,y的取值范围来限制的取值范围来限制),),不足不足 的点要补充的点要补充. . 方程的曲线方程的曲线和和曲线的方程曲线的方程: : 曲线上的点的坐标都是方程的解曲线上的点的坐标都是方程的解; ; ( (纯粹性纯粹性) ) ( (完备性完备性) ) f(x,y)=0 0 x y 在平面在平面上上建立直角坐标系建立直角坐标系: : 点点 一一对应 坐标坐标( (x,y) 曲线曲线 曲线的方程曲线的方程 坐标化坐标化 研究研究 一、一、 二二、坐标法坐标法 形成形成 解析几何解析几何 迪卡尔 平面平面解析几何研究的主要问
21、题是：解析几何研究的主要问题是： 1.求曲线的方程求曲线的方程; 2.通过通过方程方程研究曲线的性质研究曲线的性质. 以方程的解为坐标的点都在曲线上以方程的解为坐标的点都在曲线上; ; 就说就说这条曲线是这个方程的曲线这条曲线是这个方程的曲线, ,这个方程是这条曲这个方程是这条曲 线的方程线的方程. . 小结小结 求曲线的方程求曲线的方程( (轨迹方程轨迹方程),),一般有下面几个步骤一般有下面几个步骤: : 建建 , , 设设 , , 列列 , , 化化 ( ( 查漏除杂查漏除杂) ). . 2.定义法定义法 1.直译法直译法 3.代入法代入法 等等等等 (3)求曲线方程的方法求曲线方程的方法: 注意：“轨迹”、“方程”要区注意：“轨迹”、“方程”要区 分：分： (2)若是求轨迹，求得方程还不够，还应指出若是求轨迹，求得方程还不够，还应指出 方程所表示的曲线类型（方程所表示的曲线类型（定形、定位、定量定形、定位、定量）。）。 (1)求求轨迹方程轨迹方程，求得方程就可以了；，求得方程就可以了； 欢迎你的提问！ 课本第 35.36.38页练习题、习题 能力培养
