1、教教 学学 教教 法法 分分 析析 课课 前前 自自 主主 导导 学学 当当 堂堂 双双 基基 达达 标标 易易 错错 易易 误误 辨辨 析析 课课 后后 知知 能能 检检 测测 课课 堂堂 互互 动动 探探 究究 教教 师师 备备 选选 资资 源源 31 数系的扩充与复数的概念 31.1 实数系 31.2 复数的概念 三维目标 1知识与技能 了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位 2过程与方法 理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律 3情感、态度与价值观 理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实 部、虚部)理解并掌握复数相等的有关概念 重点难点 重点：复数的概念，
2、虚数单位i，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和 复数相等的充要条件 难点：虚数单位i的引进及复数的概念 【问题导思】 为了解决方程x22在有理数范围内无根的问题，数系从有理数扩充到 实数，那么怎样解决方程x210在实数系中无根的问题？ 【提示】 设想引入新数i，使i是方程x210的根，即i i1，那 么方程x210就有解xi了 1数系的扩充及对应的集合符号表示 2复数的有关概念 实数实数 【问题导思】 由32能否推出3i2i？两个实数能比较大小，那么两个复数能比 较大小吗？ 【提示】 由32不能推出3i2i，当两个复数都是实数时，可以 比较大小，当两个复数不全是实数时，不能比较大小 两个复数相
3、等的充要条件 如果a，b，c，d都是实数，那么 abicdi abi0 . ac，且，且bd a0，且，且b0 【问题导思】 1复数zabi(a，bR)，当b0时，z是什么数？ 【提示】 当b0时，za为实数 2复数zabi(a，bR)，当a0且b0时，z是什么数？ 【提示】 当a0，b0时，zbi为纯虚数 (2)集合表示： (1)若(x21)(x23x2)i是纯虚数，则实数x的值是( ) A1 B1 C1 D1或2 (2)已知复数za(a21)i是实数，则实数a的值为_ 【思路探究】 依据复数的分类标准，列出方程(不等式)组求解 (3)当实当实数数 m 为何值时，复数为何值时，复数 zm 2
4、 m6 m (m2 2m)i 为：为：实数？实数？虚数？虚数？纯虚数？纯虚数？ 【自主解答】【自主解答】 (1)(x21)(x23x2)i 是纯虚是纯虚 数，数， x2 10， x23x20.由 由 x210，得，得 x 1，又由，又由 x2 3x20，得，得 x2 且且 x1，x1. 【答案答案】 B (2)z是实数是实数，a210，a1. 【答案答案】 1 (3)当当 m2 2m0， m0， 即即 m2 时，复数时，复数 z 是实数是实数 当当 m22m0，且，且 m0， 即即 m0 且且 m2 时，复数时，复数 z 是虚数是虚数 当当 m2m6 m 0， m22m0， 即即 m3 时，复
5、数时，复数 z 是纯虚数是纯虚数 1解答本题的着眼点是复数的分类标准，但需注意对应实、虚部的 变量取值范围 2复数zabi(a，bR)当且仅当a0，b0时，z为纯虚数，在求解 时，易忽略“b0”这一条件 若将本例(1)中的“纯虚数”改为“虚数”，结论又如何？ 【解】 若(x21)(x23x2)i是虚数，则x23x20， x2且x1. (1)下列命题： 若abi0，则ab0； xyi22ixy2； 若yR，且(y21)(y1)i0，则y1. 其中正确命题的个数为( ) A0个 B1个 C2个 D3个 (2)已知x，yR，(x2y1)(x3y4)i105i，求x，y. 【思路探究】 根据复数相等的
6、充要条件求解 【自主解答】 (1)命题，中未明确a，b，x，y是否为实数，从而 a，x不一定为复数的实部，b，y不一定是复数的虚部，故命题错； 命题中，yR，从而y21，(y1)是实数，根据复数相等的条件 得 y2 10， （y1）0， y1，故，故正确正确 【答案】【答案】 B (2)因为因为 x，yR，所以，所以(x2y1)，(x3y4)是实是实 数，所以由复数相等的条件得数，所以由复数相等的条件得 x 2y110， x3y45， 解得解得 x 3， y4. 所以所以 x3，y4. 利用复数相等进行解题的技巧： (1)利用两个复数相等进行解题的依据是实部与虚部分别相等 (2)在两个复数相等
7、的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，dR.忽 略条件后，不能成立因此在解决复数相等问题时，一定要把复数的 实部与虚部分离出来，再利用复数相等的充要条件化复数问题为实数 问题来解决 若(xy)(y1)i0，则实数x，y的值分别为_ 【解析】【解析】 根据两个复数相等的充要条件得根据两个复数相等的充要条件得 x y0， y10， 解得解得 x 1， y1. 【答案答案】 1，1 因忽视虚数不能比较大小而致误 已知复数x21(y1)i大于复数2x3(y21)i，试求实数x，y的 取值范围 【错解】【错解】 因为因为 x21(y1)i2x3(y21)i， 所以所以 x2 12x3， y1y21，
8、所以所以 x1 5， 12x3， 所以所以 y1 且且 x1 5， 即实数即实数 x， y 的取值范围分别是的取值范围分别是 x1 5， y1. 1复数i2的虚部是( ) Ai B2 C1 D2 【解析】 i22i，因此虚部是1. 【答案】 C 2若复数(x21)(x1)i(xR)为纯虚数，则实数x的值为( ) A1 B0 C1 D1或1 【解析】 由题意知x1，故选A. 【答案】 A 3z134i，z2(n23m1)(n2m6)i(m，nR)且z1z2， 则m_，n_ 【解析】【解析】 z1z2 n2 3m13， n2m64， 解得解得 m 2， n 2 【答案答案】 2 2 已知集合M1，
9、(m22m)(m2m2)i，P1，1，4i，若 MPP，求实数m的值 【思路探究】 由MPP可得MP，分情况利用复数相等列出方程 组求解m的值 【自主解答】 由MPP可得MP，(m22m)(m2m2)i 1或(m22m)(m2m2)i4i. 4实数m取什么值时，复数(m23m2)(m24)i是： (1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？ 【解】 设z(m23m2)(m24)i. (1)要使z为实数，必须有m240， 得m2或m2，即m2或m2时，z为实数 (2)要使z为虚数，必须有m240，即m2且m2.故m2且 m2时，z为虚数 m2 40， m23m20， m 2且且m2， m1或或m2.
10、m1，m1 时，时，z 为纯虚数为纯虚数 当当 (m2 2m) (m2 m 2)i 1时 ，时 ， m2 2m1， m2m20，解得 解得 m1； 当当(m22m)(m2m2)i4i 时，时， m2 2m0， m2m24， 解得解得 m2. 综上可得，实数综上可得，实数 m 的值为的值为 1 或或 2. 一般根据复数相等的充要条件，可将一个复数等式转化为由两个实数 等式组成的方程组，从而确定两个独立参数，本题就是利用这一重要 思想，化复数问题为实数问题，使问题得以解决 1已知集合M1，2，m23m1(m35m6)i，集合P1， 3，MP3，则实数m_ 【解析】【解析】 由题意知，由题意知，3M，m23m1(m3 5m6)i3， m2 3m13， m35m60，解得 解得 m1. 【答案答案】 1 2使不等式m2(m23m)i(m24m3)i10成立的实数m的取值集 合是_ 【解析】【解析】 由题意得，两个复由题意得，两个复数可以比较大小，故数可以比较大小，故 两数必全为实数，两数必全为实数， m2 3m0， m24m30，解得 解得 m3， 经验证经验证 m3 满足不等式满足不等式 m210， 所以所求集合为所以所求集合为3 【答案答案】 3
