1、 探究：探究： 问题问题1：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名同学中选出名同学中选出2名参加一项活名参加一项活 动，其中动，其中1名同学参加上午的活动，另名同学参加下名同学参加上午的活动，另名同学参加下 午的活动，有多少种不同的选法？午的活动，有多少种不同的选法？ 问题问题2：从从1，2，3，4这这4个数中，每次取出个数中，每次取出3个排成个排成 一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？ 上面两个问题有什么共同特征？可以用上面两个问题有什么共同特征？可以用 怎样的数学模型来刻画？怎样的数学模型来刻画？ 问题问题1：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名同学中选出名同学中
2、选出2名参加一项活名参加一项活 动，其中动，其中1名同学参加上午的活动，另名同学参加下名同学参加上午的活动，另名同学参加下 午的活动，有多少种不同的选法？午的活动，有多少种不同的选法？ 分析：分析：把题目转化为从甲、乙、丙把题目转化为从甲、乙、丙3名同学中选名同学中选2名，名， 按照参加上午的活动在前，参加下午的活动在后的按照参加上午的活动在前，参加下午的活动在后的 顺序排列，求一共有多少种不同的排法？顺序排列，求一共有多少种不同的排法？ 第一步：确定参加上午活动的同学即从第一步：确定参加上午活动的同学即从3 3名中任名中任 选选1 1名，有名，有3 3种选法种选法. . 第二步：确定参加下午
3、活动的同学，有第二步：确定参加下午活动的同学，有2 2种方法种方法 根据分步计数原理：根据分步计数原理：3 32=6 2=6 即共即共6 6种方法。种方法。 把上面问题中被取的对象叫做把上面问题中被取的对象叫做元素元素,于是问于是问 题就可以叙述为：题就可以叙述为： 从从3个不同的元素个不同的元素a,b,c中任取中任取2个，然后按照一定个，然后按照一定 的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？ ab, ac, ba, bc, ca, cb 问题问题2：从从1，2，3，4这这4个数中，每次取出个数中，每次取出3个排成个排成 一个三位数，共可得到多少
4、个不同的三位数？一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？ 1 234 443322 4 44 3 33 1 11 2 4 4 4 3 1 11 2 22 4 3 33 1 11 2 22 从从4个不同的元素个不同的元素a,b,c,d 中任取中任取3个，然后按照一定的顺个，然后按照一定的顺 序排成一列，共有多少种不同的排列方法？序排成一列，共有多少种不同的排列方法？ abc,abd,acb,acd,adb,adc; bac,bad,bca,bcd,bda,bdc; cab,cad,cba,cbd,cda,cdb; dab,dac,dba,dbc,dca,dcb. 有此可写出所有的三位数：有此可写
5、出所有的三位数： 123，124，132，134，142，143; 213，214，231，234，241，243， 312，314，321，324，341，342; 412，413，421，423，431，432。 基本概念基本概念 1、排列：、排列： 一般地，从一般地，从n个不同中取出个不同中取出m (m n)个元素，个元素， 按照一定的顺序排成一列，叫做从按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元个不同元 素中取出素中取出m个元素的一个排列。个元素的一个排列。 说明：说明： 1 1、元素不能重复。、元素不能重复。n n个中不能重复，个中不能重复，m m个中也不能重复。个中也不能重复。 2
6、2、“按一定顺序按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个问题是就是与位置有关，这是判断一个问题是 否是排列问题的关键。否是排列问题的关键。 3 3、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同， 而且元素的排列顺序也完全相同。而且元素的排列顺序也完全相同。 4 4、m mn n时的排列叫时的排列叫选排列选排列，m mn n时的排列叫时的排列叫全排列全排列。 5 5、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好采用、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好采用 “树形图树形图”。 1 1、下列问题中哪些是排列问题？、下列问题中哪些是排
7、列问题？ （1 1）1010名学生中抽名学生中抽2 2名学生开会名学生开会 （2 2）1010名学生中选名学生中选2 2名做正、副组长名做正、副组长 （3 3）从）从2,3,5,7,112,3,5,7,11中任取两个数相乘中任取两个数相乘 （4 4）从）从2,3,5,7,112,3,5,7,11中任取两个数相除中任取两个数相除 （5 5）2020位同学互通一次电话位同学互通一次电话 （6 6）2020位同学互通一封信位同学互通一封信 （7 7）以圆上的）以圆上的1010个点为端点作弦个点为端点作弦 （8 8）以圆上的）以圆上的1010个点中的某一点为起点，作过另一个点的个点中的某一点为起点，作
8、过另一个点的 射线射线 （9 9）有）有1010个车站，共需要多少种车票？个车站，共需要多少种车票？ （1010）有）有1010个车站，共需要多少种不同的票价？个车站，共需要多少种不同的票价？ 2、排列数：、排列数： 从从n n个不同的元素中取出个不同的元素中取出m(mn)m(mn)个元素个元素 的所有排列的个数，叫做从的所有排列的个数，叫做从n n个不同的元素中个不同的元素中 取出取出m m个元素的排列数。用符号个元素的排列数。用符号 表示。表示。 m n A “排列排列”和和“排列数排列数”有什么区别和联系？有什么区别和联系？ 排列数，而不表示具体的排列。 所有排列的个数，是一个数； mn
9、“排列数”是指从 个不同元素中，任取 个元素的 m n A所以符号 只表示 nm“一个排列”是指：从 个不同元素中，任取 按照一定的顺序排成一列，不是数； 个元素 2 3 3 26A 问题中是求从个不同元素中取出个元素的问题中是求从个不同元素中取出个元素的 排列数，记为排列数，记为 ,已经算得已经算得 2 3 A 3 4 4 3 224A 问题问题2中是求从中是求从4个不同元素中取出个不同元素中取出3个元素的个元素的 排列数，记为排列数，记为 ，已经算出，已经算出 3 4 A 探究：探究：从从n n个不同元素中取出个不同元素中取出2 2个元素的排列个元素的排列 数数 是多少？是多少？ 2 n
10、A呢呢？ m n A呢呢？ 3 n A 第第1位位 第第2位位 第第3位位 第第m位位 n种种 (n-1)种种 (n-2)种种 (n-m+1)种种 2 (1) n An n 3 (1)(2) n An nn (1)(2)(1) m n An nnnm (1)(1)排列数公式（排列数公式（1 1）：）： )*,)(1() 2)(1(nmNnmmnnnnAm n 当当m mn n时，时， 123) 2)(1(nnnAn n 正整数正整数1 1到到n n的连乘积，叫做的连乘积，叫做n n的阶乘的阶乘，用，用 表示。表示。 ! n n n个不同元素的全排列公式：个不同元素的全排列公式： ! nAn n
11、 (2)(2)排列数公式（排列数公式（2 2）：）： )!( ! mn n Am n 说明：说明： 1 1、排列数、排列数公式公式的的第一个常用来计算，第二个常用来证明第一个常用来计算，第二个常用来证明。 为了使当为了使当m mn n时上面的公式也成立，时上面的公式也成立，规定规定： 1! 0 2 2、对于、对于 这个条件要留意，往往是解方程时的隐含条这个条件要留意，往往是解方程时的隐含条 件。件。 nm 67896789 67896789 10510 5 练习练习 )16,( )16() 1)( (3) ) 1(1413 (2) 9911109 (1) 1 axNaxxaxax nn 用排列
12、数公式表示：、 5 10 6 10 4 9 5 9 3 AA AA 、计算： n n n n n n nAAA 1 1 4、求证： 2 2、计算：、计算： （1 1） （2 2） （3 3） 4 8 A 6 6 A 3 16 A 1 1 m n m n nAA5、求证：、求证： m n m n m n AmAA 1 1 变式：求证： 91 99 A 12n n A 15a 16x A 141516 5678 1223456 10 1 10510 15 9.9.解方程：解方程： 23 2 100 xx AA 8.8.求求 的值的值. . 1 4 3 2 nn n AA 17 16 155 4 m
13、 n A 6 6若若 ，则，则 m ， n 17 14 200632 2006 2006 3 3 2 2 1 1 AAAA变式、变式、 1 11 1 1 1 1 n n n n n n n n nADACA n BAA、 7、下列各式中，不等于、下列各式中，不等于n!的是（的是（ ） 23 41 nn n n3 2007 2007 1A 32 54 54AA 1计算：（1） 1234 4444 AAAA（2） 课堂练习课堂练习 2从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地 上进行试验，有 种不同的种植方法？ 4信号兵用3种不同颜色的旗子各一面，每次打出3面，最多能 打出不同的信号有
14、（ ） D.27种 C.6种 种 B.3 种1 . A 348344345545 2 4 3 5 AA 34864 3从参加乒乓球团体比赛的5名运动员中选出3名进行某场比赛， 并排定他们的出场顺序，有 种不同的方法？ 641234234344 4 4 3 4 2 4 1 4 AAAA 24 60 24234 3 4 A 60345 3 5 A C 6123 3 3 A 排列问题，是取出排列问题，是取出m m个元素后，还要按一个元素后，还要按一 定的顺序排成一列，取出同样的定的顺序排成一列，取出同样的m m个元素，只个元素，只 要要排列顺序不同排列顺序不同，就视为完成这件事的两种，就视为完成这件
15、事的两种 不同的方法（两个不同的排列）不同的方法（两个不同的排列） 小结小结 由排列的定义可知，由排列的定义可知，排列与元素的顺序有排列与元素的顺序有 关关，也就是说与位置有关的问题才能归结为排，也就是说与位置有关的问题才能归结为排 列问题当元素较少时，可以根据排列的意义列问题当元素较少时，可以根据排列的意义 写出所有的排列写出所有的排列 思考题思考题 三张卡片的正反面分别写着数字三张卡片的正反面分别写着数字 2 2和和3 3，4 4和和5 5，7 7和和8 8，若将这三张卡片，若将这三张卡片 的正面或反面并列组成一个三位数，的正面或反面并列组成一个三位数， 可以得到多少个不同的三位数？可以得到多少个不同的三位数？
