1、离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差 一般地，若离散型随机变量一般地，若离散型随机变量X X的概率分布为的概率分布为 则称则称 E(X)E(X)x x1 1p p1 1x x2 2p p2 2x xn np pn n为为X X的的均值均值或或数学数学 期望期望，记为，记为E(X)E(X)或或 X x1 x2 xn P p1 p2 pn 其中其中p pi i00，i i1,2,1,2,n,n；p p1 1p p2 2p pn n1 1 1、离散型随机变量的均值的定义、离散型随机变量的均值的定义 一、复习一、复习 若若XH(n,M,N)XH(n,M,N) 则则E(X)E(X) N nM 若若X
2、B(n,p)XB(n,p) 则则E(X)E(X)npnp 2、两个分布的数学期望、两个分布的数学期望 练习：练习： 1、已知随机变量、已知随机变量 的分布列为的分布列为 0 1 2 3 4 5 P 0.1 0.2 0.3 0.2 0.1 0.1 求求E( ) 2、抛掷一枚硬币，规定正面向上得、抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向分，反面向 上得上得1分，求得分分，求得分X的数学期望。的数学期望。 2.3 0 3、随机抛掷一个骰子，求所得骰子点数、随机抛掷一个骰子，求所得骰子点数X的数学的数学 期望期望E(X)。 3.5 4、已知、已知100件产品中有件产品中有10件次品，求任取件次品，求任
3、取5件产件产 品中次品的数学期望。品中次品的数学期望。 0.5 5、射手用手枪进行射击，击中目标就停止，、射手用手枪进行射击，击中目标就停止， 否则继续射击，他射中目标的概率是否则继续射击，他射中目标的概率是0.7,若若 枪内只有枪内只有5颗子弹颗子弹,求射击次数的期望。求射击次数的期望。 (保留三个有效数字保留三个有效数字) 0.34 0.33 0.7 0.32 0.7 0.3 0.7 0.7 p 5 4 3 2 1 E() =1.43 甲、乙两个工人生产同一产品，在相同的条件下，他甲、乙两个工人生产同一产品，在相同的条件下，他 们生产们生产100100件产品所出的不合格品数分别用件产品所出
4、的不合格品数分别用X X1 1，X X2 2表示，表示， X X1 1，X X2 2的概率分布下的概率分布下： X1 0 1 2 3 pk 0.7 0.1 0.1 0.1 X2 0 1 2 3 pk 0.5 0.3 0.2 0 如何比较甲、乙两个工人的技术？如何比较甲、乙两个工人的技术？ X1 0 1 2 3 pk 0.6 0.2 0.1 0.1 E(XE(X1 1) )0 00.60.61 10.20.22 20.10.13 30.10.10.70.7 E(XE(X2 2) )0 00.50.51 10.30.32 20.20.23 30 00.70.7 一组数据的方差的概念：设 在一组数据
5、1 x ，2 x ，n x 中， 各数据与它们的平均值 x 得差的 平方分别是 2 1 )(xx ， 2 2 )(xx ， 2 )(xxn ，那么 n S 1 2 2 1 )(xx 2 2 )(xx 2 )(xxn 叫做这组数据的方差 二、离散型随机变量的方差与标准差二、离散型随机变量的方差与标准差 对于离散型随机变量对于离散型随机变量X的概率分布如下表，的概率分布如下表， (其中其中pi0，i1,2,n；p1p2pn1) X x1 x2 xn P p1 p2 pn 设设E(X)，则，则(xi)2描述了描述了xi(i=1,2,.,n)相对于均相对于均 值值的偏离程度，故的偏离程度，故 (x1)
6、2 p1 (x2)2 p2. (xn)2pn 称为离散型随机变量称为离散型随机变量X的的方差方差，记为，记为V(X)或或2 离散型随机变量离散型随机变量X的的标准差标准差： )(XV 甲、乙两个工人生产同一产品，在相同的条件下，他甲、乙两个工人生产同一产品，在相同的条件下，他 们生产们生产100100件产品所出的不合格品数分别用件产品所出的不合格品数分别用X X1 1，X X2 2表示，表示， X X1 1，X X2 2的概率分布下的概率分布下： X2 0 1 2 3 pk 0.5 0.3 0.2 0 如何比较甲、乙两个工人的技术？如何比较甲、乙两个工人的技术？ X1 0 1 2 3 pk 0
7、.6 0.2 0.1 0.1 V(XV(X1 1) )0.60.6(0(0- -0.7)0.7)2 20.20.2(1(1- -0.7)0.7)2 20.10.1(2(2- -0.7)0.7)2 2 0.10.1(3(3- -0.7)0.7)2 21.011.01 V(XV(X2 2) )0.50.5(0(0- -0.7)0.7)2 20.30.3(1(1- -0.7)0.7)2 20.20.2(2(2- -0.7)0.7)2 2 0 0(3(3- -0.7)0.7)2 20.610.61 乙的技术稳定性较好乙的技术稳定性较好 例例 设随机变量设随机变量X X的分布列为的分布列为 X X 1
8、1 2 2 n n P P n 1 n 1 n 1 求求 V V (X)(X) E(X) (1+2+.+n) n 1 2 1n V(V(X) ) n k n k n 1 2 ) 2 1 ( 1 n k knkn n 1 22 4)1(4)1( 4 1 12 1 2 n 故故 V(X) 2 ) 2 1 ( 1 6 )12)(1( n n nnn V(X) n i ii px 1 2 )( n i iiiii ppxpx 1 2 2 )2( n i ii px 1 2 2 12 1 2 n 考察考察0 01 1分布分布 X 0 1 P 1 p p E(X)E(X)0 0(1p)1p p 方差方差V
9、(X)(0p)2(1p)(1p)2pp(1p) 标准差标准差 )1()(ppXV 若若XH(n,M,N)XH(n,M,N) 则则V(X)V(X) )1( )( 2 NN nNMNnM 若若XB(n,p)XB(n,p) 则则V(X)V(X)np(1np(1p)p) 练习练习 P70 1 2 P71 5 8 设事件 A 发生的概率为 p ，证明事件A 在一次试验中发生次数的方差不超过 1/4 4 4证明：因为证明：因为 所有可能取的值为所有可能取的值为 0 0，1 1 且且 P P（ =0=0）= =1 1- -p,P(p,P( =1)=p,=1)=p, 所以，所以，E E =0(1=0(1- -p)+1p=p p)+1p=p 奎屯 王新敞 新疆 则则 D D = = （ 0 0- -p p ） 2 2(1 (1- -p)+(1p)+(1- -p)p) 2 2p=p(1 p=p(1- -p) p) 4 1 2 )p1 (p 2
