1、教教 学学 教教 法法 分分 析析 课课 前前 自自 主主 导导 学学 当当 堂堂 双双 基基 达达 标标 易易 错错 易易 误误 辨辨 析析 课课 后后 知知 能能 检检 测测 课课 堂堂 互互 动动 探探 究究 教教 师师 备备 选选 资资 源源 13 . 3 导数的实际应用 三维目标三维目标 1知识与技能知识与技能 (1)研究使经营利润最大研究使经营利润最大、用料最省用料最省、生产效率最高等优生产效率最高等优 化问题化问题，体会导数在解决实际问题中的作用；体会导数在解决实际问题中的作用； (2)提高将实际问题转化为数学问题的能力提高将实际问题转化为数学问题的能力 2过程与方法 通过学习使
2、经营利润最大、用料最省、生产效率最高等优化问题，体 会数学建模的方法和导数在解决实际问题中的作用 3情感、态度与价值观 通过对生活中优化问题的探究过程，感受数学的应用价值，提高学习 数学的兴趣，提高将实际问题转化为数学问题的能力 重点难点 重点：利用导数解决生活中的一些优化问题 难点：理解导数在解决实际问题时的作用，并利用导数解决生活中的 一些优化问题 1.最优化问题 2求实际问题的最值，主要步骤有： (1)建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y f(x)； (2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0， 求出 ； (3)比较函数在 和在 的取值大小，确定其最大(小) 者为
3、最大(小)值 极值点极值点 极值点极值点 端点端点 请你设计一个包装盒，如图1310所示，ABCD是边长为60 cm的正 方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿 虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个 正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角 形斜边的两个端点，设AEFBx(cm) (1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？ (2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时 包装盒的高与底面边长的比值 【思路探究】 弄清题意，根据“侧面积4底面边长高”和 “体积底面边长的平方
4、高”这两个等量关系，用x将等量关系中 的相关量表示出来，建立函数关系式，然后求最值 【自主解答】【自主解答】 设包装盒的高为设包装盒的高为 h cm，底面边长为，底面边长为 a cm. 由已知得由已知得 a 2x，h60 2x 2 2(30x)，0x 30. (1)S4ah8x(30x)8(x15)21 800， 所以当所以当 x15 时，时，S 取得最大值取得最大值 (2)Va2h2 2(x330x2)，V6 2x(20x) 由由 V0，得，得 x0(舍去舍去)或或 x20. 当当 x(0，20)时，时，V0；当；当 x(20，30)时，时，V0. 所以当所以当 x20 时，时，V 取得极大
5、值，也是最大值取得极大值，也是最大值 此时此时h a 1 2，即包装盒的高与底面边长的比值为 ，即包装盒的高与底面边长的比值为1 2. 1这类问题一般用面积公式，体积公式等作等量关系，求解时应选 取合理的边长x作自变量，并利用题目中量与量之间的关系表示出其 它有关边长，这样函数关系式就列出来了 2这类问题中，函数的定义域一般是保证各边(或线段)为正，建立x 的不等式(组)求定义域 请您设计一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形 状是侧棱长为3 m的正六棱锥(如图1311所示)试问当帐篷的顶点 O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？ 【解】【解】 设设 OO1为为 x
6、m，则，则 115时，f(x)0；当10xb 时，时，ysk x（x2a） （xa）2 ， 当当 x(a，b时，时，y0)， 生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y22x3x2(x0)，为使利润 最大，应生产( ) A6千台 B7千台 C8千台 D9千台 【解析】 设利润为y，则yy1y217x2(2x3x2)2x3 18x2(x0)， 又由y6x236x0得x6，且当x(0，6)时，y0，当x(6， )时，y0， 当x6时，y最大，故应生产6千台 【答案】 A 3将一段长100 cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆 形，当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为_cm. 【解
7、析】【解析】 设弯成圆形的一段铁丝长为设弯成圆形的一段铁丝长为 x，则另一段，则另一段 长为长为 100x， 记正方形与圆形的面积之和为记正方形与圆形的面积之和为 S， 则正方形的边长则正方形的边长 a100 x 4 ，圆的半径，圆的半径 r x 2. 故故 S x 2 2 100x 4 2(0 x100) 因此因此 S x 2 25 2 x 8 x 2 100 x 8 ，令，令 S0，则，则 x 100 4. 由于在由于在(0，100)内，函数只有一个导数为内，函数只有一个导数为 0 的点，问的点，问 题中面积之和的最小值显然存在， 故当题中面积之和的最小值显然存在， 故当 x100 4 c
8、m 时， 时， 面积之和最小面积之和最小 【答案】【答案】 100 4 (1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多 少升？ (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为 多少升？ 4统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时 的耗油量的耗油量 y(升升)关于行驶速度关于行驶速度 x(千米千米/小时小时)的函数解析式的函数解析式 可以表示为：可以表示为：y 1 128 000x 3 3 80x 8(0x120)，已知甲，已知甲、 乙两地相距乙两地相距 100 千米千米 【解】【解】 (1)当当 x40 时，汽车
9、从甲地到乙地需行驶时，汽车从甲地到乙地需行驶 2.5 小时，要耗油小时，要耗油 2.5 403 128 000 3 80 408 17.5(升升) 答：当汽车以答：当汽车以 40 千米千米/小时的速度匀速行驶时，从甲小时的速度匀速行驶时，从甲 地到乙地要耗油地到乙地要耗油 17.5 升升 (2)当速度为当速度为 x 千米千米/小时时，汽车从甲地到小时时，汽车从甲地到乙地需行乙地需行 驶驶100 x 小时，设耗油量为小时，设耗油量为 h(x)升，升， 令h(x)0，得x80. 当x(0，80)时，h(x)0，h(x)是增函数 依题意得依题意得 h(x) 1 128 000x 3 3 80x 8
10、100 x 1 1 280x 2 800 x 15 4 (0x120) h(x) x 640 800 x2 x 3 803 640x2 (0x120) 所以当x80时，h(x)取到极小值h(80)11.25. 因为h(x)在(0，120上只有一个极值，所以它是最小值 答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最 少，最少为11.25升 某地有三家工厂，分别位于矩形 ABCD的顶点A、B及CD的中点P 处，已知AB20 km，CB10 km，为了处理三家工厂的污水， 现要在矩形ABCD的区域上(含边界)，且与A、B等距离的一点O处建造 一个污水处理厂，并铺设排污管道AO、BO、
11、OP，设排污管道的总长 为y km. (1)按下列要求写出函数关系式： 设BAO，将y表示成的函数关系式； 设OPx(km)，将y表示成x的函数关系式 (2)请你用(1)中的y表示成的函数关系式，确定污水处理厂的位置，使 三条排污管道总长度最短 【思路探究】 分别用变量x或表示出OA、OB、OP，写出相应函数 关系式，然后再求出函数的导数，利用导数求最值 【自主解答】【自主解答】 (1)令令 AB 的中点为的中点为 Q，由条件知，由条件知 PQ 垂直平分垂直平分 AB，若，若BAO， 则则 OA AQ cos 10 cos ，故 ，故 OB 10 cos ， ， 又又 OP1010tan ，
12、所以所以 yOAOBOP 10 cos 10 cos 10 10tan ， 所求函数关系式为所求函数关系式为 y20 10sin cos 10 0 4 ； 若若 OPx(km)，则，则 OQ10x(km)， 所以所以OAOB（10x）2102 x220x200， 所求函数关系式为所求函数关系式为yx2 x220x200(0x10)； (2)选择函数模型选择函数模型， y 10cos cos （2010sin ）（）（sin ） cos2 10（2sin 1） cos2 . 令令 y0 得得 sin 1 2，因为 ，因为 0 4 ，所以，所以 6 ， 当当 0， 6 时，时，y0， y是是的增函
13、数， 所以当的增函数， 所以当 6 时，时， ymin1010 3. 这时点这时点 O 位于线段位于线段 AB 的中垂线上，且距离的中垂线上，且距离 AB 边边10 3 3 km 处处 实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题都需 要利用导数求解相应函数的最小值此时，根据f(x)0求出极值点 (注意根据实际意义舍弃不合适的极值点)后，函数满足左减右增，此 时唯一的极小值就是所求函数的最小值 注意实际问题中的用料最省问题一般是要求几何体的表面积，但要注 意实物的表面积往往会缺少一个底面或侧面等 (1)试写出y关于x的函数关系式； (2)当m640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小
14、？ 某地建一座桥， 两端的桥墩已建好， 两桥墩相距某地建一座桥， 两端的桥墩已建好， 两桥墩相距 m 米余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩经测米余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩经测 算， 一个桥墩的工程费用为算， 一个桥墩的工程费用为 256 万元， 距离为万元， 距离为 x 米的相邻米的相邻 两桥墩之间的桥两桥墩之间的桥面工程费用为面工程费用为(2 x)x 万元假设桥墩万元假设桥墩 等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素记等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素记 余下工程的费用为余下工程的费用为 y 万元万元 【解】【解】 (1)设需新建设需新建 n 个桥墩，则个桥
15、墩，则(n1)xm，即，即 nm x 1，所以，所以 yf(x)256n(n1)(2 x)x 256 m x 1 m x (2 x)x256m x m x2m256. (2)由由(1)知，知，f(x)256m x2 1 2mx 1 2 m 2x2(x 3 2 512) 令令 f(x)0，得，得 x 3 2 512，所以，所以 x64. 当当 0x64 时，时，f(x)0，f(x)在在(0，64)内为减函数；内为减函数； 当当 64x0，f(x)在在(64，640)内为增函内为增函 数 所以数 所以 f(x)在在 x64 处取得最小值， 此时处取得最小值， 此时 nm x 1640 64 19(个个) 故需新建故需新建 9 个个桥墩才能使桥墩才能使 y 最小最小
