1、第三章第三章 整式的乘除整式的乘除 复习课复习课 知识框图知识框图 幂的运算性质幂的运算性质 同底数幂乘法同底数幂乘法 幂的乘方幂的乘方 积的乘方积的乘方 同底数幂除法同底数幂除法 单项式乘以单项式单项式乘以单项式 零指数零指数、负整数指数负整数指数 多项式乘以单项式多项式乘以单项式 单项式除以单项式单项式除以单项式 多项式乘以多项式多项式乘以多项式 多项式除以单项式多项式除以单项式 乘法公式乘法公式 知识点知识点 法则简述法则简述 注意注意 同底数幂的乘法同底数幂的乘法 aman=am+n 幂的乘方幂的乘方 ( (am) )n=amn 积的乘方积的乘方 （ab) )n=anbn 底数不变指数
2、底数不变指数 相加相加 a既可以是数，既可以是数， 也可以是“式”也可以是“式” 底数不变指数底数不变指数 相乘相乘 与同底数幂的与同底数幂的 乘法不要混淆乘法不要混淆 将积中每个因将积中每个因 式分别乘方，式分别乘方， 再相乘再相乘 积中每个因式积中每个因式 都要乘方，不都要乘方，不 要丢项要丢项 一、幂的部分运算性质一、幂的部分运算性质 例：比较大小：例：比较大小：3555，4444，5333 解：解：3 3555 555= =（ （3 35 5）111 111=243 =243111 111 4 4444 444= =（ （4 44 4）111 111=256 =256111 111 5
3、 5333 333= =（ （5 53 3）111 111=125 =125111 111 256243125256243125 4 4444 4443 3555 5555 5333 333 例：如果例：如果 2 28 8n n1616n n=2=222 22, , 求：求：n n的值的值 解：解： 由由2 28 8n n1616n n=2=222 22，得 ，得 2 2（2 23 3）n n（2 24 4）n n=2=222 22 2 21+3n+4n 1+3n+4n=2 =222 22 2 22 23n 3n 2 24n 4n=2 =222 22 所以：所以：1+3n+4n=221+3n+
4、4n=22 解得：解得：n=3n=3 知识点知识点 法则举例法则举例 注意注意 单项式乘以单项式乘以 单项式单项式 单项式乘以单项式乘以 多项式多项式 多项式乘以多项式乘以 多项式多项式 2ab3a=6a2b 只在一个因式只在一个因式 里含有的字母里含有的字母 a(b+c)=ab+ac 不要漏项不要漏项 (a+b)(c+d)=ac +ad+bc+bd 注意符号注意符号 二、整式的乘法二、整式的乘法 重点和难点：重点和难点： 重点：重点： 同底数幂的乘法法则；同底数幂的乘法法则； 整式乘法的法则；整式乘法的法则； 难点：难点： 单项式乘法的运算法则单项式乘法的运算法则 数学思想：数学思想： 1）
5、整体的思想）整体的思想 2）转化的思想）转化的思想 计算（计算（1 1）(ab(ab2 2) )3 3(ab(ab2 2) )4 4 解：解：(ab(ab2 2) )3 3(ab(ab2 2) )4 4 =(ab=(ab2 2) )3+4 3+4 =x=x2 2y y4 4( (- -x x6 6y y3 3)x)x8 8y y8 8 (2)(xy(2)(xy2 2) )2 2( (- -x x2 2y)y)3 3( (- -x x2 2y y2 2) )4 4 =(ab=(ab2 2) )7 7 =a=a7 7b b14 14 = =- -x x16 16y y1515 计算（计算（1 1）
6、3x3x2 2y y ( (- -5xy5xy3 3z z5 5) ) 解：解： 3x3x2 2y y ( (- -5xy5xy3 3z z5 5) ) =(=(- -3 35)x5)x2+1 2+1y y1+31+3z z5 5 =(0.5=(0.50.20.210)a10)a1+3+5 1+3+5b b2+42+4c c3 3 (2)0.5ab(2)0.5ab2 2 ( (- -0.2a0.2a3 3b b4 4) ) ( (- -10a10a5 5c c3 3) ) = =- -15x15x3 3y y4 4z z5 5 =a=a9 9b b6 6c c3 3 计算（计算（1 1）(5a
7、(5a- -3b)(4a+7b)3b)(4a+7b) 解：解： (5a(5a- -3b)(4a+7b)3b)(4a+7b) =5a=5a4a+5a4a+5a7b7b- -3b3b4a4a- -3b3b7b7b =20a=20a2 2+23ab+23ab- -21b21b2 2 =20a=20a2 2+35ab+35ab- -12ab12ab- -21b21b2 2 知识点知识点 公式公式 注意注意 三、乘法公式三、乘法公式 平方差公式平方差公式 完全平方公式完全平方公式 (a+b)(a-b)=a2-b2 （a b) )2=a2 2ab+b2 字母字母a、b既可既可 以是数，也可以是数，也可 以
8、是“式”以是“式” 中间项的符号中间项的符号 与等号左边相与等号左边相 同同 重点和难点：重点和难点： 重点：重点： 乘法公式及其应用乘法公式及其应用 难点：难点： 对乘法公式结构特点的认识对乘法公式结构特点的认识 需要熟悉的几个变形公式：需要熟悉的几个变形公式： a a2 2+b+b2 2 =(a+b)=(a+b)2 2 2 2abab (a+b)(a+b)2 2 = =（a a- -b b）2 2 + + 4 4abab (a(a- -b)b)2 2 = =（a+ba+b）2 2 - - 4 4abab (a+b)(a+b)2 2 - -（ （a a- -b b）2 2 = 4ab = 4
9、ab =(a=(a- -b)b)2 2 + + 2 2abab 例：已知例：已知 a+b=3, a b=2 求求（1）a2+b b2 2 (2)(a(2)(a- -b)b)2 2 解（解（1）a2+b b2 2=(a+b)=(a+b)2 2- -2ab 2ab 因为因为 a+b=3, a b=2 所以所以a2+b b2 2= =32-22=52=5 (2)(a(2)(a- -b)b)2 2 =(a+b) =(a+b)2 2- -4ab4ab 因为因为 a+b=3, a b=2 所以所以(a(a- -b)b)2 2=3=32 2- -4 42=12=1 例：已知例：已知(a+b)(a+b)2 2
10、=324=324, (a(a- -b)b)2 2=16=16 求求（1）a2+b b2 2 (2)ab (2)ab =170=170 解（解（1）a2+b b2 2= = (a+b)(a+b)2 2+(a+(a- -b)b)2 2 2 1 = (324+16)= (324+16) 2 1 (2)ab =(2)ab = =77=77 (a+b)(a+b)2 2- -(a(a- -b)b)2 2 4 1 = (324= (324- -16)16) 4 1 计算：计算： (1)(1)（5x+6y5x+6y- -7z)(5x7z)(5x- -6y+7z)6y+7z) =5x+(6y5x+(6y- -7
11、z)5x7z)5x- -(6y(6y- -7z)7z) =25x=25x2 2- -(6y(6y- -7z)7z)2 2 = 25x25x2 2- -36y36y2 2+84yz+84yz- -49z49z2 2 (2)(2)（x+2yx+2y- -3z)(x3z)(x- -2y+3z)+(2y2y+3z)+(2y- -3z)3z)2 2 =x+(2y=x+(2y- -3z)x3z)x- -(2y(2y- -3z)+3z)+ (2y(2y- -3z)3z)2 2 = =x x2 2- -(2y(2y- -3z)3z)2 2+(2y+(2y- -3z)3z)2 2 = x x2 2 计算：（计算
12、：（m m- -2n)2n)2 2(m+2n)(m+2n)2 2(m(m2 2+4n+4n2 2) )2 2 =（m m- -2n)(m+2n)2n)(m+2n)2 2(m(m2 2+4n+4n2 2) )2 2 = = (m(m2 2- -4n4n2 2) )2 2(m(m2 2+4n+4n2 2) )2 2 =(m(m2 2- -4n4n2 2)(m)(m2 2+4n+4n2 2)2 2 = =(m(m4 4- -16n16n4 4) )2 2 = =m m8 8- -32m32m4 4n n4 4+256n+256n8 8 计算计算:(2x:(2x- -3y3y- -1)(1)(- -2
13、x2x- -3y+5)3y+5) =(2x=(2x- -3y3y- -3+2)(3+2)(- -2x2x- -3y+3+2)3y+3+2) =(2(2- -3y)+(2x3y)+(2x- -3)(23)(2- -3y)3y)- -(2x(2x- -3)3) =(2=(2- -3y)3y)2 2- -(2x(2x- -3)3)2 2 = =4 4- -12y+9y12y+9y2 2- -4x4x2 2+12x+12x- -9 9 = =9y9y2 2- -4x4x2 2- -12y+12x12y+12x- -5 5 例：多项式例：多项式4x4x2 2+1+1加上一个单项式加上一个单项式 后，使它
14、能成为一个整式的完全后，使它能成为一个整式的完全 平方，则求可能加上的单项式。平方，则求可能加上的单项式。 解：（解：（1 1）将）将4x4x2 2+1+1看作是平方和，看作是平方和， (2)(2)因为因为4x4x2 2本身就是完全平方，本身就是完全平方， 则可以加上中间项：则可以加上中间项：4x4x或或- -4x4x 所以加上所以加上- -1 1即可。即可。 综上所述：可以添加：综上所述：可以添加： 4x,4x, - -4x,4x, 4x4x4 4. . - -4x4x2 2, , - -1,1, (3)(3)因为因为1 1本身就是完全平方，本身就是完全平方， (4)(4)将将4x4x2 2
15、 看作是中间项，看作是中间项， 所以加上所以加上- -4x4x2 2即可。即可。 所以加上所以加上4x4x4 4即可。即可。 例：设例：设m m2 2+m+m- -1=0,1=0, 求求m m3 3+2m+2m2 2+2003+2003的值。的值。 解：解：因为因为m m2 2+m+m- -1=0,1=0, 所以所以m m2 2+m=1+m=1 故故m m3 3+m+m2 2=m=m m m3 3+2m+2m2 2+2003+2003 =m=m3 3+m+m2 2+m+m2 2+2003+2003 =m=m2 2+m+2003+m+2003 =1+2003=1+2003 =2004=2004
16、例：用适当方法化简算式：例：用适当方法化简算式： (2(22 2+1)(2+1)(24 4+1)(2+1)(28 8+1)(2+1)(216 16+1) +1) 解：解：(2(22 2+1)(2+1)(24 4+1)(2+1)(28 8+1)(2+1)(216 16+1) +1) = (2= (22 2+1)(2+1)(24 4+1)(2+1)(28 8+1)(2+1)(216 16+1) +1) (2(22 2- -1)1) (2(22 2- -1) 1) =(2=(24 4- -1)(21)(24 4+1)(2+1)(28 8+1)(2+1)(216 16+1) +1)3 3 =(2=(2
17、16 16- -1)(2 1)(216 16+1) +1) 3 3 = (2= (232 32- -1) 1) 3 3 1 1 =(2=(28 8- -1)(21)(28 8+1)(2+1)(216 16+1) +1)3 3 知识点知识点 简述或举例简述或举例 注意注意 同底数幂的除法同底数幂的除法 aman=am-n 单项式除以单项式除以 单项式单项式 多项式除以多项式除以 多项式多项式 底数不变指数底数不变指数 相减相减 a0=1(a0) 6a2b2a=3ab 只在被除式里只在被除式里 出现的字母出现的字母 (ma+mb+mc) m=a+b+c 1）符号）符号 2）不要漏项）不要漏项 四、
18、整式的除法四、整式的除法 p a 1 a-p= (a0,p为正为正 整数）整数） 重点和难点：重点和难点： 重点：重点： 同底数幂的除法法则；同底数幂的除法法则； 零指数、负指数的意义；零指数、负指数的意义； 整式除法的法则。整式除法的法则。 难点：难点： 灵活应用法则灵活应用法则 数学思想：数学思想： 1）整体的思想）整体的思想 2）转化的思想）转化的思想 计算：计算： (1)(a(1)(a3 3) )2 2a a3 3 (2)(b(2)(b2 2) )3 3 (b(b3 3) )2 2b b4 4 (3)(a(3)(a- -2b)2b)3 3 (a(a- -2b)2b)4 4(a(a- -
19、2b)2b)5 5 =a=a3 3 2 2 a a3 3 =a=a6 6a a3 3 =a=a6 6- -3 3 =a=a3 3 =b=b2 2 3 3 b b3 32 2 b b4 4 =b =b6+6 6+6- -4 4 =b =b8 8 =(a=(a- -2b)2b)3+4 3+4- -5 5 =(a =(a- -2b)2b)2 2 =a=a2 2- -4ab+4b4ab+4b2 2 计算计算: : 1 1( (- -4x4x2 2+12x+12x3 3y y2 2- -16x16x4 4y y3 3) )( (- -4x4x2 2) ) 2 2(2x(2x- -y)y)2 2+(2x+
20、y)(2x+(2x+y)(2x- -y)+4xyy)+4xy4x4x = =- -4x4x2 2( (- -4x4x2 2)+12x)+12x3 3y y2 2( (- -4x4x2 2) )- - 16x16x4 4y y3 3 ( (- -4x4x2 2) ) =1=1- -3xy3xy2 2+4x+4x2 2y y3 3 =(4x=(4x2 2- -4xy+y4xy+y2 2+4x+4x2 2- -y y2 2+4xy)+4xy)4x4x =8x=8x2 24x 4x =2x =2x 应注意的几个问题：应注意的几个问题： 1 1同底数幂的乘除法是本章学习的同底数幂的乘除法是本章学习的 基础。基础。 3.3.运算法则和公式的逆向应用运算法则和公式的逆向应用 2.2.熟练运用乘法公式，准确掌握其特熟练运用乘法公式，准确掌握其特 点。点。 如如: :( (x x- -3)(y+3)=xy3)(y+3)=xy- -9 (9 () ) 如：如：2.52.52000 2000 0.40.42000 2000=(2.5 =(2.50.4)0.4)2000 2000
