1、初中数学2022-12-26第一篇 知识系统复习第一章 数与式 第一节 实数的有关概念和运算 第二节 整式与因式分解 第三节 分式 第四节 数的开方 二次根式 重难点突破一 数、式的综合计算题初中数学第一节实数的有关概念和运算负分数无理数分数0有理数实 数整 数正整数负整数正分数负无理数正无理数有限小数或循环小数无限不循环小数实数的概念初中数学1.数轴的三要素:、和单位长度.2.与数轴上的点一一对应.3.实数的相反数、倒数、绝对值:实数a的相反数为 ;若a,b 互为相反数,则a+b=;非零实数a的倒数为(a0);若a,b互为倒数,则ab=;实数a的绝对值为|a|=4.乘方:求n个 因数a的 的
2、运算叫做乘方.原点原点正方向正方向实数实数-a0 1相同相同乘积乘积初中数学1.科学记数法:一般形式为a10n(|a|0负数.3.绝对值比较法:a0,b|b|,则a b.4.根式比较法:ab05.差值法比较:(1)a-b0ab;(2)a-b0a0,则(1)1ab;(2)1ab;(3)=1a=b.110右右左左n).1.因式分解:把一个多项式化成几个整式 的形式,因式分解是 的逆变形.2.因式分解的方法:(1)提公因式法:ma+mb+mc=.(2)公式法:a2-b2=,a22ab+b2=.am+nanbnamnam-n积积多项式乘法多项式乘法M（a+b+c）(a+b)(a-b)(ab)2知识点知
3、识点4:4:幂的运算幂的运算知识点知识点5:5:因式分解因式分解初中数学3.因式分解的一般步骤:(1)如果多项式各项有公因式,应先提取公因式;(2)如果各项没有公因式,可以尝试使用公式法来分解因式;(3)检查因式分解是否彻底,必须分解到每一个因式不能再分解为止.以上三步骤可以概括为“一提二套三检查”.4.整式的乘法和因式分解是互逆变形,它们可以用来相互检验其正确性.初中数学实际问题中的代数式甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价相同的商品,甲超市先降价20%,后又降价10%;乙超市连续两次降价15%;丙超市一次性降价30%.那么,顾客到哪家超市买这种商品更合算()A.甲B.乙C.丙D.一样【分析】
4、设商品的原价为m,用代数式表示出三家超市降价后的价格,然后比较.甲超市的售价为m(1-20%)(1-10%)=0.72m,乙超市的售价为m(1-15%)20.723m,丙超市的售价为m(1-30%)=0.7m,显然到丙超市合算.【解】C【方法归纳】列代数式的关键是找出问题中的数量关系,能准确地把文字语言转换成数学语言.具体地说:(1)正确理解和、差、积、商、多、少、倍、分等数学术语的意义.(2)要分清数量关系中的运算层次与运算顺序,必要时,要正确地添加括号.(3)分析语句所表达的数量关系时,除了要注意关键词的意义外,还应弄清楚语句中的数量关系是以哪个量为基准的.初中数学(1)如果x=1时,代数
5、式ax3+bx+3的值是5,那么当x=-1时,代数式ax3+bx+3的值是.(2)有一个数值转换器,原理如图所示,若开始输入的x值是7,可发现第1次输出的结果是12,第2次输出的结果是6,第3次输出的结果是,依次继续下去,第2013次输出的结果是.求代数式值的常用方法求代数式值的常用方法【分析分析】(1)将x=1代入代数式ax3+bx+3.由值是5求出a+b的值,再将x=-1代入求值.x=1时,ax3+bx+3=5,a+b=2,因此,当x=-1时,ax3+bx+3=-a-b+3=-(a+b)+3=-2+3=1.(2)注意x为奇数或偶数的区分.由图可知,输入x=7时,第1次输出7+5=12;第2
6、次输出12=6;第3次输出6=3;第4次输出3+5=8;第5次输出8=4;第6次输出4=2;第7次输出2=1;第8次输出1+5=6.归纳得出输出的结果从第2次开始以6,3,8,4,2,1循环.(2013-1)6=3352,则第2013次输出的结果为3.【解】(1)1(2)33初中数学在几何图形中用整式运算求面积在几何图形中用整式运算求面积(2013宁波)7张如图1的长为a,宽为b(ab)的小长方形纸片,按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内,未被覆盖的部分(两个矩形)用阴影表示.设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S,当BC的长度变化时,按照同样的放置方式,S始终保持不变,则a,b满足.【分
7、析分析】表示出左上角与右下角部分的面积,求出之差,根据之差与BC无关即可求出a与b的关系式.左上角阴影部分的长为AE,宽为AF=3b,右下角阴影部分的长为PC,宽为a,AD=BC,即AE+ED=AE+a,BC=BP+PC=4b+PC,AE+a=4b+PC,即AE-PC=4b-a,阴影部分面积之差S=AEAF-PCCG=3bAE-aPC=3b(PC+4b-a)-aPC=(3b-a)PC+12b2-3ab,则3b-a=0,即a=3b.【解解】a=3b【方法归纳方法归纳】此题考查了整式的混合运算的应用,弄清题意是解本题的关键.初中数学因式分解因式分解【分析分析】(1)因式分解是把一个多项式化为n个整
8、式的积的形式;(2)因式分解的步骤是“一提二套三检查”.【解解】(1)D(2)A初中数学第三节分式1.形如(A、B是整式,且B中含有 ,B0)的式子叫做分式,其中A叫做分子,B叫做分母.2.分式有意义:在分式中,当时,分式有意义;当时,分式没有意义.3.分式的值为零:分式的值为零的条件是分子A=0,而分母B0.4.有理式:整式和分式统称为有理式.字母字母分母分母B0分母分母B=0知识点知识点1:1:分式的有关概念分式的有关概念知识点知识点2:2:分式的性质分式的性质(约分、通分约分、通分)初中数学1.分式的乘、除法:3.分式的加减法.4.分式的混合运算.【方法归纳方法归纳】(1)分式乘法的实质
9、是约分,能直接约分的应先约分,不能直接约分的,可先因式分解,看能否约分,然后按法则进行;(2)分式运算的结果必须是最简分式或整式;(3)由字母的选值求分式的值时,选值既要使分式的结果有意义,又要使化简前的原分式有意义.2.分式的乘方:知识点知识点3:3:分式的运算分式的运算初中数学分式的意义分式的意义【解】(1)1(2)62初中数学分式的化简及求值分式的化简及求值【方法归纳】在最后由x的取值求值时,x要满足使化简前的原分式有意义.分析先化简分式;x的取值要使化简前的原分式有意义.初中数学第四节数的开方二次根式知识点1:平方根、算术平方根与立方根正数a0负数a算术平方根平方根立方根知识点2:二次
10、根式的有关概念(1)被开方数的因数是整数,因式是 ;(2)被开方数中不含有 .整式整式开得尽方的因数或因式开得尽方的因数或因式000没有没有1.形如 (a0)的代数式叫做二次根式.2.最简二次根式应满足的两个条件:a初中数学知识点3:二次根式的性质1.双重非负性:0(a0).2.()2=(a0);=.3.=(a0,b0);(a0,b 0).a|a|知识点4:二次根式的计算1.二次根式的加减:二次根式相加减,先把各个二次根式化成 ,再把 分别合并.2.二次根式的乘法:最简二次根式最简二次根式同类二次根式同类二次根式初中数学3.二次根式的除法:【注意注意】二次根式运算的结果可以是数或整式二次根式运
11、算的结果可以是数或整式,也可以是最简二次根式也可以是最简二次根式,如果二如果二次根式的运算结果不是最简二次根式次根式的运算结果不是最简二次根式,必须化为最简二次根式必须化为最简二次根式.知识点5:二次根式的估值二次根式的估算,一般采用“夹逼法”确定其值所在范围.具体地说,先对二次根式平方,找出与平方后所得的数 的两个能开得尽方的整数,对其进行 ,即可确定这个二次根式在哪两个整数之间.相邻开方初中数学二次根式的概念及性质二次根式的概念及性质【解】D初中数学实数的估计【解】A初中数学2022-12-26初中数学重难点突破一数、式的综合计算题实数的运算【分析分析】依次将原式中负指数幂、零次幂、三角函
12、数值、二次根式、依次将原式中负指数幂、零次幂、三角函数值、二次根式、绝对值进行化简绝对值进行化简.再按照从左到右的运算顺序进行计算再按照从左到右的运算顺序进行计算.【方法归纳方法归纳】实数的混合运算是由很多考点综合而成的实数的混合运算是由很多考点综合而成的,第一步要化简正确第一步要化简正确,第二第二步注意运算顺序步注意运算顺序,第三步注意运算结果是否是最简形式第三步注意运算结果是否是最简形式.计算初中数学分式的化简求值【分析分析】先将除式的分子、分母因式分解、约分先将除式的分子、分母因式分解、约分,再按照运算顺序再按照运算顺序,可可先算括号里面的先算括号里面的,也可用乘法分配律计算也可用乘法分配律计算;求值时求值时,a,a取的值必须使原分取的值必须使原分式有意义式有意义.【方法归纳方法归纳】解决本题分三步走解决本题分三步走:一化、二选、三代入一化、二选、三代入.初中数学二次根式的运算与化简求值二次根式的运算与化简求值
