1、专题五 解析几何3.211,03EOxCEABCABCAOBE 设椭圆 的中心在坐标原点，焦点在 轴上，离心率为过点的直线交椭圆 于、两点，且，求当的面积达到最大值时直线和椭圆例的方程2CABC 本题利用构造等量关系，比利用圆锥曲线的性质构造等量关系降低了很多的切入点：运算量考点考点1 圆锥曲线中的最值（范围）问题圆锥曲线中的最值（范围）问题2222221122122332301.231(23)420.()()4.23xyt tmyxxytmyxxmymytA xyB xymyym 因为椭圆的离心率为，故可设椭圆的方程为设直线的方程为由，消去 得设，则解析 11221212221222(1)2
2、(1)2.842323126|2366322|AOBCABCxyxyyymmyymmSyymmmm 又，故，即由得，则，221222222362223210.2323623102.10mmAOBtmy ytmmxxyyE 当，即时，的面积取最大值此时，得所以，直线的方程为，椭圆 的方程为 与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：1结合定义利用图形中几何量之间的大小关系 2不等式(组)求解法：根据题意，结合图形(如点在曲线内等)列出所讨论的参数适合的不等式(组)，通过解不等式组得出参数的变化范围 3函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数，用一个适当的参数作为自变量来表示这个函数
3、，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围 4利用基本不等式基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思 5结合参数方程，利用三角函数的有界性直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式因此，它们的应用价值在于：(1)通过参数简明地表示曲线上点的坐标；(2)利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题 6构造一个二次方程，利用判别式0.2221(1)2,01(20123)31xCymmPCMCAMACmPAPAMAm已知椭圆：常数，点 是 上的动点，是 的右顶点，定点 的坐标为若与 重合，求 的焦点坐标；若，求的最大值与最小值；若的最小值为，求实数 的变式取
4、1上海卷值范围 222144 13(3 0)(3 0)1MAmxyc 因为与 重合，所以，椭圆方程为，所以半焦距，焦点坐解标和为析，2222222231()92219891()(2233)942945.23xmyP xyxPAxyxxxxPAxPA 因为，椭圆方程为，设，则，最小当时取得；当时取得值为最大值为 22222222222222222222()122145124()5.()111021210111(1,122.3P xyxmPAxyxxxmmmmmxmxmmmmmPAxmmmmmmmmmm 设动点，则因为的最小值在时取到，且，所以，即且 ，解得 所以 的取值范围为 3,03,016.
5、121(201|1)|xOyABCABABABCCAMNBMBN 在平面直角坐标系中，已知的顶点，的坐标分别为，的周长为求顶点 的轨迹方程；过点 作直线，与中的曲线交于，两点，试判断是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请例2说太原一模明理由考点考点2 圆锥曲线中的存在性问题圆锥曲线中的存在性问题由动点的规律直接判断出动点的轨迹形状，再由待定系数法求得；设直线方程时，要注意斜率不存在的情况，最值问题关键是得到切入点：函数式 2222221026.1210534.1(0211)56CACBCABcxyaabacbxyCy因为为定值，所以 点的轨迹是以，为焦点的椭圆，焦距设椭圆方程为，且，
6、易得，所以 点的轨迹方程为解析 1122222221222122()()903(0)139()(1)025168161500162522540016252M xyN xyMNyk xkkkxk xkxxkkx xk 设，当直线的倾斜角不为时，设其方程为，代入椭圆方程化简，得，显然有，2222111112121222222222163|(3)(3)1652553|559|2532545081144531144252516251625162514453153125.162525BMxyxxxBNxBMBNxxx xkkkkkkkk 又，同理，所以22212214416144531255311161
7、6252500|16.90334|()165|kkkkkBMBNMNxxBMBNBMBN 只要考虑的最小值，即考虑取最小值而，所以上式无最小值显然时，取最小值当直线的倾斜角为时，得，所以的最小值不存在 存在性问题，其一般解法是先假设结论存在，用待定系数法设出所求的曲线方程或点的坐标，再根据合理的推理，若能推出题设中的系数，则假设存在的结论成立；否则，不成立 4,01(2)(2)0.1211(02)ClxPPQlQPCPQPCPQPlykxABkABDk 已知平面上一定点和一定直线：，为该平面上一动点，作，垂足为，且问点 在什么曲线上？并求出该曲线的方程；设直线：与中的曲线交于不同的两点，是否存
8、在实数，使得以线段为直径的圆经过点，？若存在，求出 的值；若不存在，说变式2 明理由 222222222()(2)(2)0.4044101.141412.21PxyPCPQPCPxQPCPQxyxyxPy 设点 的坐标为，由得，所以，化简得所以 点在双曲线上，该双曲线的方程为解析 1122222212122222()()132130.1412213.33044 31301313.222ABxyxyykxkxkxxykxxx xkkABkkk 设、两点的坐标分别为，、，由，得所以，因为直线与双曲线交于两点，所以，即，解得121212121212212122222(02)2211220330139
9、01321()390337141313()842.1244ADBDABDADBDyykkxxyyx xkxkxx xkx xk xxkkkkkkkkk 因为若以为直径的圆过，则，所以，即，所以，即，所以，即，解得，所以，故满足题意的 值存在，且 的值为 1212222,02,02.12,1FFPPFPFPEElFnalEPQaxMlFMPMQM已知，点 满足，记点 的轨迹为求轨迹 的方程；若直线 过点且法向量为，设直线 与轨迹交于、两点求实数 的取值范围；在 轴上是否存在定点，无论直线 绕点 怎样转动，恒成立？如果存在，求出定点；如果不存在，请说例3 明理由考点考点3 圆锥曲线中的恒成立问题圆
10、锥曲线中的恒成立问题 121212222|1(1)31|PFPFFFPFyxxF由，知点 的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，其方程为解析 22223 1(45)03MPMQmamma切入点利用恒成立，得对任意恒成立是解决问：题的关键 222222112220.234430.13()()2la xyya xaxa xayxP xyQ xy 易知直线 的方程为由，得设，2422212221222301643 43040343033(3)(3)aaaaaxxaax xaaa 由条件得，解得，即，121222221212222222222,01(2)4345033 1(45)03101.451,00M
11、 mMPMQMP MQxmxmy yax xamxxmamamamammammMmm 假设存在点满足条件因为，所以，得对任意恒成立，所以，解得因存在定点满此，足条件 1“恒成立”(定值)问题是数学中常见的问题，经常与参数的范围联系在一起，在高考中频频出现，是高考中的一个难点问题 2解决“恒成立”(定值)问题的常用方法：(1)函数与方程方法：利用不等式与函数和方程之间的联系，将问题转化成二次方程的根的情况进行研究有些问题需要经过代换转化才是二次函数或二次方程注意代换后的自变量的范围变化 (2)分离参数法：将含参数的恒成立式子中的参数分离出来，化成形如a=f(x)或af(x)或af(x)恒成立的形
12、式则a=f(x)a的范围是f(x)的值域；af(x)恒成立af(x)恒成立af(x)max.(3)若已知恒成立，则可充分利用条件(赋值法、数形结合等)222222210.190 xyabOxybabPOABOePAPBe已知椭圆和圆：，过椭圆上一点 引圆 的两条切线，切点分别为、若圆 过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率；若椭圆上存在点，使得，求椭圆离心率的取变式3 值范围；22222ABxyMNabONOM设直线与 轴、轴分别交于点、，求证：为定值 2222222222222222.902212.2221221OOexybbcbaccaceAPBOPbOPbaace因为圆 过椭圆的焦点，圆：，所
13、以，所以，所以，所以由及圆的性质，可得，所以，所以，所以，所 以解析 00112201101122010111222211112220022101020202002()()().().P xyA xyB xyyyxxxyx xy yxyxybPAx xy ybPBx xy ybPAPBP xyx xy ybx xy ybABx xy yb 设，则，整理得因为，所以方程为：，同理方程为：、都过点，所以且，故直线方程为2020222222222002224222222200.bxONyybyOMxxa yb xaba babbbONOMabONOMab令，得，令，得，所以，所以为定值，定值是 1圆锥曲线的综合问题包括与圆锥曲线有关的定值问题、最值问题、参数问题、应用题和探索性问题，以及圆锥曲线知识的纵向联系，圆锥曲线知识和三角、复数等代数知识的横向联系 2解答圆锥曲线的综合问题，需要较强的代数运算能力和图形认识能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算及推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整，达到解决这类问题的目的
