1、第四讲 正、余弦定理及解三角形第四章第四章 三角函数三角函数、解三角形、解三角形考点帮必备知识通关考点1 正、余弦定理考点2 解三角形的实际应用考法帮解题能力提升考法1 利用正、余弦定理解三角形考法2 判断三角形的形状考法3 与面积、周长有关的问题考法4 平面图形中的计算问题考法5 解三角形的实际应用高分帮 “双一流”名校冲刺 析情境 数学应用提能力 数学探索数学探索 解三角形中的最值(取值范围)问题数学应用 数学建模在解三角形实际问题中的应用 考情解读考点内容课标要求考题取样情境载体对应考法预测热度核心素养1.正弦定理、余弦定理掌握2020山东,T17探索创新考法1逻辑推理数学运算2020全
2、国,T17 课程学习考法22020全国,T18 课程学习考法32.解三角形的实际应用理解2020山东,T15生产实践 考法3,5直观想象数学运算数学建模 考情解读命题分析预测从近五年的考查情况来看,该讲是高考的重点和热点,主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用,有时也与三角恒等变换、立体几何等进行综合命题,题型既有选择题、填空题,也有解答题,分值512分,难度属于中低档.预测2022年高考仍会重点考查正、余弦定理的综合应用,备考时,既要训练常规考法,也要训练结构不良类试题,同时要加强解三角形与其他章节知识的综合训练以及解三角形在生活、生产实践中的应用,做到复习全面高效.考点1 正、余
3、弦定理考点2 解三角形的实际应用考点帮必备知识通关 考点1 正、余弦定理1.正、余弦定理 在ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为ABC的外接圆半径,则定理正弦定理余弦定理内容a2=b2+c2-2bccos A;b2=c2+a2-2cacos B;c2=a2+b2-2abcos C.变形 考点1 正、余弦定理定理正弦定理余弦定理变形 考点1 正、余弦定理注意 在ABC中,已知a,b和A,解的情况如下:A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Aa=bsin Absin Aabab解的个数无解一解两解一解一解无解 考点1 正、余弦定理 考点1 正、余弦定理 考点2 解三角形的实
4、际应用实际测量中的常见问题有:测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.说明 测量中的常用术语如下:术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在竖直平面内的目标视线与水平视线所成的角中,目标视线在水平视线上方的叫作仰角,目标视线在水平视线下方的叫作俯角.考点2 解三角形的实际应用方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角叫作方位角.方位角的范围是(0,360).方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,通常表达为北(南)偏东(西).北偏东南偏西坡角坡面与水平面的夹角.坡度坡面的垂直高度h和水平宽度l的比.注意 方位角与方向角的区别.考法1
5、利用正、余弦定理解三角形考法2 判断三角形的形状考法3 与面积、周长有关的问题考法4 平面图形中的计算问题考法5 解三角形的实际应用考法帮解题能力提升 考法1 利用正、余弦定理解三角形 考法1 利用正、余弦定理解三角形 考法1 利用正、余弦定理解三角形 考法1 利用正、余弦定理解三角形 考法1 利用正、余弦定理解三角形 考法1 利用正、余弦定理解三角形方法技巧 解三角形的基本类型及解法基本类型一般解法已知两角及其中一角的对边,如A,B,a.已知两边及其中一边所对的角,如a,b,A.考法1 利用正、余弦定理解三角形已知两边和它们的夹角,如a,b,C.已知三边.可以连续用余弦定理求出两角,常常是分
6、别求较小两边所对的角,再由A+B+C=,求出第三个角;由余弦定理求出一个角后,也可以根据正弦定理求出第二个角,但仍然是先求较小边所对的角.考法2 判断三角形的形状 考法2 判断三角形的形状 考法2 判断三角形的形状方法技巧 判断判断三角形形状的方法三角形形状的方法 注意 (1)无论使用哪种方法,都不要随意的约掉公因式,要移项、提取公因式,否则会有遗漏一种形状的可能.注意挖掘隐含条件,重视角的范围对三角函数值的限制.(2)注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别.考法3 与面积、周长有关的问题 考法3 与面积、周长有关的问题 考法3 与面积、周长有关的问题方法技巧 与面积有关问题
7、的常见类型和解题技巧常见类型解题技巧求面积已知面积求其他量应用面积公式及正、余弦定理综合求解.注意 (1)涉及求范围的问题,一定要弄清已知变量的范围,利用已知的范围进行求解,已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化.(2)注意题目中的隐含条件的应用,如A+B+C=,0A,b-cab+c,三角形中大边对大角等.考法3 与面积、周长有关的问题 考法3 与面积、周长有关的问题 考法3 与面积、周长有关的问题 考法3 与面积、周长有关的问题方法技巧 与周长有关问题的常见类型和解题技巧常见类型解题技巧求周长(1)若边长易求,直接求出边长,进而求出周长;(2)若边长不易求,可利用整体思想,构造以两
8、边长的和为未知数的方程求解,进而求出周长.求周长最值(取值范围)常用的解法有两种:一是找到边之间的关系,利用基本不等式求最值;二是将周长表示为关于某个内角的函数,利用三角函数的图象与性质求最值.考法4 平面图形中的计算问题图4-4-2 考法4 平面图形中的计算问题 考法4 平面图形中的计算问题 考法4 平面图形中的计算问题方法技巧 平面图形中计算问题的解题关键及思路求解平面图形中的计算问题,关键是梳理条件和所求问题的类型,然后将数据化归到三角形中,利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的联系.具体解题思路如下:(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形,然后在各个三角形内利用正弦定理或余弦定理求
9、解;(2)寻找各个三角形之间的联系,交叉使用公共条件,求出结果.考法5 解三角形的实际应用 考法5 解三角形的实际应用 考法5 解三角形的实际应用 考法5 解三角形的实际应用方法技巧 1.解三角形实际应用问题的常见类型及解题策略常见类型解题策略求解与测量距离、高度有关的问题画出示意图,先确定所求量所在的三角形,若其他量已知,则直接利用正、余弦定理求解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的量.求解角度问题根据实际问题画出图形,并在图形中标出有关的角和距离,利用正、余弦定理进行求解,最后将解得的结果转化为实际问题的
10、解.注意 方向角是相对于某点而言的,因此在确定方向时,必须先弄清是哪一个点的方向角.另外也要注意方位角、俯角和仰角的含义.考法5 解三角形的实际应用2.求解解三角形实际应用问题的步骤高分帮“双一流”名校冲刺提能力 数学探索数学探索 解三角形中的最值(取值范围)问题析情境 数学应用数学应用 数学建模在解三角形实际问题中的应用数学探索 解三角形中的最值(取值范围)问题数学探索 解三角形中的最值(取值范围)问题数学探索 解三角形中的最值(取值范围)问题数学探索 解三角形中的最值(取值范围)问题方法技巧 解三角形中的最值(取值范围)问题的求解方法求解三角形的边、角、面积及周长的取值范围或最值问题常用方
11、法如下:函数法通过正、余弦定理将边转化为角,再根据三角恒等变换及三角形内角和定理转化为“一角一函数”的形式,最后结合角的范围利用三角函数的单调性和值域求解.基本不等式法利用正、余弦定理,面积公式建立a+b,ab,a2+b2之间的等量关系与不等关系,然后利用基本不等式求解.几何法根据已知条件画出图形,结合图形,找出临界位置,数形结合求解.数学应用 数学建模在解三角形实际问题中的应用数学应用 数学建模在解三角形实际问题中的应用数学应用 数学建模在解三角形实际问题中的应用数学应用 数学建模在解三角形实际问题中的应用素养探源核心素养考查途径素养水平数学建模根据不同的方案,确定参数,选择适当的面积公式.二数学运算求面积、求最值、比较大小.二数学应用 数学建模在解三角形实际问题中的应用试题评析 本题以江水养殖场为背景,创设了求三角形面积最大值问题,体现了用三角知识解决生活中的问题,培养学生的数学应用意识.本题中求MPQ面积的最值难度比较大,已知三角形中,两边之和为定值,往往想到利用基本不等式求两边之积的最大值,结合面积公式,再求夹角正弦值的最大值,需要两次求最值的条件同时满足才可以;求EOF面积的最值比较常规,利用基本不等式求最值,结合面积公式得面积最值.
