1、 第五讲 对数与对数函数第二章第二章 函数概念与基本初等函数函数概念与基本初等函数考点帮 必备知识通关考点1 对数与对数运算考点2 对数函数的图象与性质考法帮 解题能力提升考法1 对数式的运算考法2 对数函数的图象及应用考法3 对数函数的性质及应用考法4 指数函数、对数函数的综合问题高分帮 “双一流”名校冲刺析情境 数学应用数学应用 对数函数的实际应用数学探索 指数、对数比较大小的策略提能力 数学探索 考情解读考点内容课标要求考题取样情境载体对应考法预测热度核心素养1.对数与对数运算理解2020全国,T8 课程学习 考法1数学运算逻辑推理2.对数函数的图象与性质掌握2019浙江,T6课程学习
2、考法2,4直观想象逻辑推理数学运算2017全国,T9 课程学习 考法32020全国,T12 探索创新 考法4 考情解读命题分析预测本讲是高考的一个热点,主要考查对数式的大小比较、对数函数的图象和性质,也常与其他函数、方程、不等式等综合命题,题型以选择题和填空题为主,难度不大.考点1 对数与对数运算考点2 对数的图象与性质考点帮必备知识通关 考点1 对数与对数运算1.对数的概念一般地,如果=N(0,且1),那么数叫作以为底N的对数,记作=logN,其中叫作对数的底数,N叫作真数.由此可得对数式与指数式的互化:=NlogN=(0,且1).说明 几种常见的对数对数形式特点记法一般对数底数为(0,且1
3、)logN常用对数底数为10lg N自然对数底数为eln N 考点1 对数与对数运算2.对数的性质、运算法则及重要公式性质运算法则 考点1 对数与对数运算重要公式说明 (1)应用换底公式时,一般选用e或10作为底数.(2)表中有关公式均是在式子中所有对数符号有意义的前提下成立的.考点2 对数函数的图象与性质1.对数函数的图象和性质 101时,恒有0;当01时,恒有1时,恒有0;当00.在(0,+)上是增函数.在(0,+)上是减函数.考点2 对数函数的图象与性质 考点2 对数函数的图象与性质3.反函数指数函数=(0,且1)与对数函数=log(0,且1)互为反函数,它们的图象关于直线=对称(如图2
4、-5-2所示).图2-5-2 考点2 对数函数的图象与性质考法1 对数式的运算考法2 对数函数的图象及应用考法3 对数函数的性质及应用考法4 指数函数、对数函数的综合应用考法帮解题能力提升 考法1 对数式的运算示例1 (1)2018全国卷,12,5分 设=log0.20.3,=log20.3,则A.+0 B.+0C.+0 D.01时,函数=log的图象为选项B,D中过点(1,0)的曲线,此时函数=-+的图象与轴的交点的纵坐标应满足1,选项B,D中的图象都不符合要求;当01时,函数=log的图象为选项A,C中过点(1,0)的曲线,此时函数=-+的图象与轴的交点的纵坐标应满足01,选项A中的图象符
5、合要求,选项C中的图象不符合要求.答案 A 考法2 对数函数的图象及应用 考法2 对数函数的图象及应用解析 设f1()=(-1)2,f2()=log,要使当(1,2)时,不等式(-1)2log恒成立,只需在区间(1,2)上,f1()=(-1)2的图象在f2()=log的图象的下方即可.当01时,如图2-5-3所示,要使在区间(1,2)上,f1()=(-1)2的图象在f2()=log的图象的下方,只需f1(2)f2(2),即(2-1)2log 2,所以log 21,解得1logg()借助函数=log的单调性求解,如果的取值不确定,需分1与0先将化为以为底数的对数式的形式,再借助函数=log的单调
6、性求解.logf()logg()将不等式两边化为同底的两个对数式,利用对数函数的单调性“脱去”对数符号,同时应保证真数大于零.考法3 对数函数的性质及应用命题角度3对数型函数的单调性问题示例6 2017全国卷,9,5分文已知函数f()=ln+ln(2-),则A.f()在(0,2)上单调递增B.f()在(0,2)上单调递减C.=f()的图象关于直线=1对称D.=f()的图象关于点(1,0)对称 考法3 对数函数的性质及应用 考法3 对数函数的性质及应用方法技巧 对数型复合函数的单调性问题的求解策略1.对于=log f()型的复合函数的单调性,有以下结论:函数=log f()的单调性与函数u=f(
7、)(f()0)的单调性在1时相同,在02B.2D.2解析 解法一令f()=2+log2,因为=2 在(0,+)上单调递增,=log2在(0,+)上单调递增,所以f()=2+log2在(0,+)上单调递增.又2+log2=4+2log4=22+log222+log2(2),.(放缩)所以f()f(2),所以2.考法4 指数函数、对数函数的综合问题解法二(取特值法)由2+log2=4+2log4=4+log2,取=1,得2+log2=4,令f()=2+log2-4,则f()在(0,+)上单调递增,且f(1)0,所以f(1)f(2)0,f()=2+log2-4在(0,+)上存在唯一的零点,所以12=
8、2,2都不成立,排除A,D;取=2,得2+log2=17,令g()=2+log2-17,则g()在(0,+)上单调递增,且g(3)0,所以g(3)g(4)0,g()=2+log2-17在(0,+)上存在唯一的零点,所以32=4不成立,排除C.答案 B 点评 破解此类题的关键:一是巧构造,即会构造函数,注意活用初等函数的单调性进行判断;二是会放缩,即会利用放缩法比较大小.考法4 指数函数、对数函数的综合问题方法技巧 解决指数函数与对数函数综合问题的技巧(1)解决指数函数与对数函数的综合问题时,一般运用指数、对数函数的图象与性质等知识,并结合研究函数的性质的思想方法来分析解决问题.(2)解决与指数
9、函数、对数型函数有关的问题时,要注意数形结合思想的应用.(3)在给定条件下求字母的取值范围是常见题型,要重视不等式的知识及函数单调性在这类问题中的应用.高分帮“双一流”名校冲刺析情境 数学应用数学应用 对数函数的实际应用提能力 数学探索数学探索 指数、对数比较大小的策略数学应用 对数函数的实际应用数学应用 对数函数的实际应用数学应用 对数函数的实际应用核心素养考查途径素养水平数学建模由实际问题建立函数模型.一数学运算对数式的运算.一素养探源备考指导 本题以天体的明暗程度为背景,考查考生的阅读理解能力,运算求解能力,以及运用数学知识分析解决问题的能力.本题难度不大,具有良好的导向作用,引导考生在学习过程中增强数学应用意识,关注数学的实际应用.数学探索 指数、对数比较大小的策略数学探索 指数、对数比较大小的策略数学探索 指数、对数比较大小的策略2.涉及三元变量的比较大小问题若题设涉及三个指数式连等或三个对数式连等,则可利用特例法求解,也可在设元变形的基础上,通过作差、作商或运用函数的性质求解.示例10 2017全国卷,11,5分设,为正数,且2=3=5,则A.235B.523C.352D.325数学探索 指数、对数比较大小的策略数学探索 指数、对数比较大小的策略数学探索 指数、对数比较大小的策略数学探索 指数、对数比较大小的策略
