1、第三节平面向量的数量(shling)积与平面向量应用举例第一页，共35页。总纲(znggng)目录教材(jioci)研读1.平面(pngmin)向量的数量积考点突破2.向量的数量积的性质3.向量的数量积的运算律考点二平面向量数量积的应用考点二平面向量数量积的应用考点一平面向量数量积的运算4.平面向量的数量积的坐标表示考点三平面向量与三角函数的综合问题考点三平面向量与三角函数的综合问题第二页，共35页。教材教材(jioci)(jioci)研读研读1.平面向量的数量积平面向量的数量积(1)向量向量a与与b的夹角的夹角已知两个非零向量已知两个非零向量a,b,过过O点作点作=a,=b,则则AOB=(0
2、180)叫做叫做(jiozu)向量向量a与与b的夹角的夹角.当当=90时时,a与与b垂直垂直,记作记作ab;当当=0时时,a与与b同向同向;当当=180时时,a与与b反向反向.OAOB第三页，共35页。(2)a与b的数量积已知两个非零向量a和b,它们的夹角为,则把数量|a|b|cos 叫做(jiozu)a和b的数量积(或内积),记作ab=|a|b|cos .(3)规定0a=0.(4)一个向量在另一个向量方向上的投影设是a与b的夹角,则|a|cos 叫做a在b的方向上的投影,|b|cos 叫做b在a的方向上的投影.一个向量在另一个向量方向上的投影是一个实数,而不是向量.(5)ab的几何意义ab等
3、于a的长度(chngd)|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积.第四页，共35页。2.向量的数量积的性质向量的数量积的性质设设a、b都是非零向量都是非零向量,e是与是与b方向相同的单位向量方向相同的单位向量,是是a与与e的夹角的夹角,则则(1)ea=ae=|a|cos.(2)abab=0.(3)当当a与与b同向时同向时,ab=|a|b|.当当a与与b反向反向(fnxin)时时,ab=-|a|b|.特别地特别地,aa=|a|2.(4)cos=.(5)|ab|a|b|.|a bab第五页，共35页。3.向量向量(xingling)的数量积的运算律的数量积的运算律(1)ab=ba.(2)(
4、a)b=(ab)=a(b)(R).(3)(a+b)c=ac+bc.第六页，共35页。4.平面平面(pngmin)向量的数量积的坐标表示向量的数量积的坐标表示(1)若若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则则ab=x1x2+y1y2.(2)若若a=(x,y),则则aa=a2=|a|2=x2+y2,|a|=.(3)若若A(x1,y1),B(x2,y2),则则|=,这就是平面这就是平面(pngmin)内内两点间的距离公式两点间的距离公式.(4)若若a=(x1,y1),b=(x2,y2),a,b为非零向量为非零向量,则则abx1x2+y1y2=0.22xyAB222121()()xxyy第七页，共
5、35页。1.(2017北京东城一模,5)已知向量(xingling)a,b满足2a+b=0,ab=-2,则(3a+b)(a-b)=()A.1 B.3 C.4 D.5B答案答案(dn)B2a+b=0,a与与b的夹角为的夹角为,且且|b|=2|a|,又又ab=-2,|a|b|cos=-2,|a|=1,|b|=2,故(3a+b)(a-b)=3|a|2-2ab-|b|2=31-2(-2)-4=3.第八页，共35页。2.已知向量(xingling)a与向量(xingling)b的夹角为60,|a|=|b|=1,则|a-b|=()A.3 B.C.2-D.133D答案答案(dn)D|a-b|2=a2-2ab
6、+b2=2-211cos60=1,|a-b|=1,故选故选D.第九页，共35页。3.(2017北京,6,5分)设m,n为非零向量,则“存在负数,使得m=n”是“mn0”的()A.充分而不必要条件(b yo tio jin)B.必要而不充分条件C.充分必要条件(b yo tio jin)D.既不充分也不必要条件(b yo tio jin)A答案答案A由存在负数由存在负数,使得使得(shde)m=n,可得可得m、n共线且反向共线且反向,夹角为夹角为180,则则mn=-|m|n|0,故充分性成立故充分性成立.由由mn0,可得可得m,n的夹角为钝角或的夹角为钝角或180,故故必要性不成立必要性不成立.
7、故选故选A.第十页，共35页。4.已知等边ABC的边长为3,D是BC边上(bin shn)一点,若BD=1,则的值是6 .ACAD答案答案(dn)6解析解析(jix)由题意知由题意知=(+)=+=9+32cos=6.ACADACACCD2ACACCD23第十一页，共35页。5.在平面向量(xingling)a,b中,已知a=(1,3),b=(2,y).如果ab=5,那么y=1 ;如果|a+b|=|a-b|,那么y=-.23答案答案(dn)1;-23解析解析(jix)因为因为ab=12+3y=5,所以所以y=1.因为因为|a+b|=|a-b|,所以所以|a+b|2=|a-b|2,即即2ab=-2
8、ab,所以所以ab=0,即即12+3y=0,所以所以y=-.23第十二页，共35页。6.(2017北京(bi jn)海淀期中)已知正方形ABCD的边长为1,E是线段CD的中点,则=.AEBD12答案答案(dn)12解析解析(jix)由题意可得由题意可得=0,AD=AB=1,=(-)=-=1-0-=.ADABAEBD2ABADADAB2AD12ABAD22AB1212第十三页，共35页。考点一平面考点一平面(pngmin)向量数量积的运算向量数量积的运算考点考点(ko(ko din)din)突突破破典例典例1(1)(2017北京北京(bijn)石景山一模石景山一模,7)如图如图,在矩形在矩形AB
9、CD中中,AB=,BC=2,点点E为为BC的中点的中点,点点F在边在边CD上上,若若=,则则的值是的值是()A.2-B.1C.D.2(2)(2017北京北京(bijn)海淀二模海淀二模,13)在四边形在四边形ABCD中中,AB=2.若若=(+),则则=2.2ABAF2AEBF22DA12CACBABDCC第十四页，共35页。答案答案(dn)(1)C(2)2解析解析(1)解法一解法一:以以A为原点为原点,AB所在所在(suzi)直线为直线为x轴轴,AD所在所在(suzi)直线为直线为y轴轴建立建立平面直角坐标系平面直角坐标系,则则A(0,0),B(,0),E(,1),设设F(x,2),则则=(x
10、,2),又又=(,0),=x=,x=1,F(1,2),易知易知=(,1),=(1-,2),=(1-)+2=.解法二解法二:=|cosBAF=,|=,|cosBAF=1,即即|=1,|=-1,=(+)(+)=+=+22AFAB2ABAF22AE2BF2AEBF222ABAFABAF2AB2AFDFCF2AEBFABBEBCCFABBCABCFBEBCBECFABCFBEBC第十五页，共35页。=(-1)(-1)+121=.(2)由题意(t y)可知=(+)=|2=2.222ABDCABDAACAB1()2ACCA CBAB1122ACCB12ABAB12AB第十六页，共35页。方法技巧方法技巧向
11、量向量(xingling)数量积的两种计算方法数量积的两种计算方法(1)当已知向量当已知向量(xingling)的模和夹角的模和夹角时时,可利用定义法求解可利用定义法求解,即即ab=|a|b|cos.(2)当已知向量当已知向量(xingling)的坐标时的坐标时,可利用坐标法求解可利用坐标法求解,即若即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则则ab=x1x2+y1y2.第十七页，共35页。1-1(2018北京朝阳高三期中北京朝阳高三期中,6)如图如图,在直角在直角(zhjio)梯形梯形ABCD中中,ABCD,ADDC,E是是CD的中点的中点,DC=1,AB=2,则则=()A.B.-C.1D
12、.-1EAAB55答案答案(dn)DABCD,ADDC,ADAB,=0,=(+)=-2=-1,故选故选D.ADABEAABEDDAABEDAB12D第十八页，共35页。典例典例2平面向量平面向量a与与b的夹角是的夹角是,且且|a|=1,|b|=2,如果如果(rgu)=a+b,=a-3b,D是是BC的中点的中点,那么那么|=()A.B.2C.3D.63ABACAD33考点二平面向量数量积的应用考点二平面向量数量积的应用命题命题(mngt)方向一模的问题方向一模的问题A第十九页，共35页。答案答案(dn)A解析因为解析因为D为为BC的中点的中点,所以所以(suy)=(+).又因为又因为=a+b,=
13、a-3b,所以所以(suy)=a-b,所以所以(suy)|2=(a-b)2=a2+b2-2ab=12+22-212cos=5-2=3.因此因此|=.故选故选A.AD12ABACABACADAD3AD3第二十页，共35页。典例典例3已知非零向量已知非零向量(xingling)m,n满足满足4|m|=3|n|,cos=,若若n(tm+n),则实则实数数t的值为的值为()A.4B.-4C.D.-139494命题方向二垂直命题方向二垂直(chuzh)问题问题B第二十一页，共35页。答案答案(dn)B解析解析(jix)n(tm+n),n(tm+n)=0,即即tmn+|n|2=0,t|m|n|cos+|n
14、|2=0.又又4|m|=3|n|,cos=,t|n|2+|n|2=0,n为非零向量为非零向量,t+1=0,解得解得t=-4.13341314第二十二页，共35页。典例典例4(1)(2017北京海淀一模北京海淀一模,12)若非零向量若非零向量a,b满足满足(mnz)a(a+b)=0,2|a|=|b|,则向量则向量a,b的夹角为的夹角为.(2)已知向量已知向量a,b满足满足(mnz)(a+2b)(a-b)=-6,且且|a|=1,|b|=2,则则a与与b的夹角为的夹角为.命题命题(mngt)方向三夹角问题方向三夹角问题233第二十三页，共35页。答案答案(dn)(1)(2)233解析解析(jix)(
15、1)设设a与与b的夹角为的夹角为,因为因为a(a+b)=0,所以所以aa+ab=0|a|a|+|a|b|cos=0,又因为又因为2|a|=|b|0,所以所以|a|a|+2|a|a|cos=0,所以所以1+2cos=0,所以所以cos=-,从而从而=.1223(2)由(a+2b)(a-b)=-6,得a2-2b2+ab=-6,又|a|=1,|b|=2,ab=1,设向量(xingling)a与b的夹角为,则cos=,又0,故=.|a bab123第二十四页，共35页。方法方法(fngf)技巧技巧平面向量数量积的应用类型及求解策略平面向量数量积的应用类型及求解策略(1)求两向量的夹角求两向量的夹角:c
16、os=,要注意要注意0,.(2)两向量垂直的应用两向量垂直的应用:abab=0|a-b|=|a+b|.(3)求向量的模求向量的模:利用数量积求解长度问题的处理方法利用数量积求解长度问题的处理方法(fngf)有有a2=aa=|a|2或或|a|=.|ab|=.若若a=(x,y),则则|a|=.|a baba a2()ab222aa bb22xy第二十五页，共35页。2-1(2014北京北京,10,5分分)已知向量已知向量(xingling)a,b满足满足|a|=1,b=(2,1),且且a+b=0(R),则则|=.答案答案(dn)5解析解析(jix)a+b=0,即即a=-b,|a|=|b|.|a|=
17、1,|b|=,|=.555第二十六页，共35页。2-2已知平面向量已知平面向量a,b满足满足(mnz)a=(1,-1),(a+b)(a-b),那么那么|b|=.答案答案(dn)2解析解析(jix)(a+b)(a-b),(a+b)(a-b)=0,即即a2-b2=0,|a|=|b|.又又a=(1,-1),|b|=|a|=.221(1)22第二十七页，共35页。典例典例5已知平面向量已知平面向量a=(sinx,cosx),b=(sinx,-cosx),c=(-cosx,-sinx),xR,函数函数f(x)=a(b-c).(1)求函数求函数f(x)的单调递减的单调递减(djin)区间区间;(2)若若f
18、=,求求sin的值的值.222考点三平面向量与三角函数考点三平面向量与三角函数(snjihnsh)的综合问题的综合问题第二十八页，共35页。解析解析(1)因为因为(ynwi)b=(sinx,-cosx),c=(-cosx,-sinx),所以所以b-c=(sinx+cosx,sinx-cosx),又又a=(sinx,cosx),所以所以f(x)=a(b-c)=sinx(sinx+cosx)+cosx(sinx-cosx),则则f(x)=sin2x+2sinxcosx-cos2x=sin2x-cos2x=sin.当当2k+2x-2k+,kZ,即即k+xk+,kZ时时,函数函数f(x)为减函数为减函
19、数,所以函数所以函数f(x)的单调递减区间是的单调递减区间是,kZ.224x2432387837,88kk第二十九页，共35页。(2)由(1)知f(x)=sin,因为(yn wi)f=,所以sin=,所以sin=.又sin2+cos2=1,所以cos=.又sin=sin=sincos+cossin.所以当cos=时,sin=+=;224x22224224124443244444443212223222264第三十页，共35页。当cos=-时,sin=+=.综上,sin 的值为或.43212223222264264264第三十一页，共35页。方法技巧方法技巧求解平面向量与三角函数综合问题的一般思
20、路求解平面向量与三角函数综合问题的一般思路(1)求三角函数值求三角函数值,一般利用向量的相关运算得出三角函数关系式一般利用向量的相关运算得出三角函数关系式.利用利用同角三角函数的基本关系及三角函数中的常用公式求解同角三角函数的基本关系及三角函数中的常用公式求解.(2)求角时通常将向量问题转化为三角函数问题求角时通常将向量问题转化为三角函数问题,先求三角函数值再求先求三角函数值再求角角.(3)解决与向量有关的三角函数问题所用的主要思想解决与向量有关的三角函数问题所用的主要思想(sxing)方法是转化与化归方法是转化与化归的数学思想的数学思想(sxing),即通过向量的相关运算把问题转化为三角函数
21、问题即通过向量的相关运算把问题转化为三角函数问题.第三十二页，共35页。3-1已知已知ABC的角的角A、B、C所对的边分别是所对的边分别是a、b、c,设向量设向量(xingling)m=(a,b),n=(sinB,sinA),p=(b-2,a-2).(1)若若mn,求证求证:ABC为等腰三角形为等腰三角形;(2)若若mp,边长边长c=2,角角C=,求求ABC的面积的面积.3第三十三页，共35页。解析解析(jix)(1)证明证明:mn,asinA=bsinB,即即a=b,其中其中R是是ABC外接圆的半径外接圆的半径,a=b.ABC为等腰三角形为等腰三角形.(2)由题意可知由题意可知mp=0,即即a(b-2)+b(a-2)=0.a+b=ab.2aR2bR由余弦定理(y xin dn l)可知,4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,即(ab)2-3ab-4=0,ab=4(ab=-1舍去),ABC的面积(min j)S=absin C=4sin=.121233第三十四页，共35页。即(ab)2-3ab-4=0,ab=4(ab=-1舍去),ABC的面积(min j)S=absin C=4sin=.121233第三十五页，共35页。
