1、北师大版数学（八年级上册）知识点总结第一章 勾股定理1、勾股定理（1）直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即（2）勾股定理的验证：测量、数格子、拼图法、面积法，如青朱出入图、五巧板、玄图、总统证法（通过面积的不同表示方法得到验证，也叫等面积法或等积法）（3）勾股定理的适用范围：仅限于直角三角形例题：在RtACB中，A=90，AC=6，AB=8，求BC的长。解：在RtABC中，BC2=AC2+AB2=62+82=100 BC=10利用勾股定理求直角三角形边长的方法：一般都要经过“一分二代三化简”这“三步曲”：一分：分清哪条边是斜边、哪些边是直角边；二代：代入a2b2c2；三化简2、
2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a，b，c有关系，那么这个三角形是直角三角形。例题：在ACB中， AC=6，AB=8，BC=10，ACB是什么三角形？解：在ABC中， AC2+AB2=62+82=100=BC2 ACB是直角三角形，A=90利用边的关系判定直角三角形的步骤：(1)比较三边长a，b，c的大小，找出最长边(2)计算两短边的平方和，看它是否与最长边的平方相等；若相等，则是直角三角形，且最长边所对的角是直角；若不相等，则此三角形不是直角三角形3、勾股数：满足的三个正整数a，b，c，称为勾股数。 常见的勾股数有：（3,4,5） （5,12,13） （6,8,10） （7,24,25）
3、（8,15,17） （9,12,15）（9,40,41）（12,16,20） 规律：（1），短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的平方。即当a为奇数且ab时，如果b+c=a2那么a,b,c就是一组勾股数.如（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）（2）大于2的任意偶数，2n(n1)都可构成一组勾股数分别是：2n,n2-1,n2+1 如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）4、求几何体两点间的最短路线长的方法：先将几何体的侧面展开，确定两点的位置，两点连接的线段即为最短路线，再在直角三角形中，利用勾股定理求其长度
4、即可但要注意：长方体的表面展成平面图形，展开时一般要考虑各种可能的情况在各种可能的情况中，分别确定两点的位置并连接成线段，再利用勾股定理分别求其长度，长度最短的路线为最短路线5、常见题型应用：（1）已知任意两条边的长度，求第三边/斜边上的高线/周长/面积（2）已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系，求各边的长度/斜边上的高线/周长/面积（3）判定三角形形状： a2 +b2c2锐角，a2 +b2=c2直角，a2 +b2c2钝角 判定直角三角形a.找最长边；b.比较长边的平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系；c.确定形状（4）构建直角三角形解题例1. 已知直角三角形的两直角边之比为3：
5、4，斜边为10。求直角三角形的两直角边。 解：设两直角边为3x，4x，由题意知： x=2，则3x=6，4x=8，故两直角边为6，8。中考突破（1）中考典题 例. 如图（1）所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE位置上，如图（2）所示，测得得BD=0.5米，求梯子顶端A下落了多少米？ 思维入门指导：梯子顶端A下落的距离为AE，即求AE的长。已知AB和BC，根据勾股定理可求AC，只要求出EC即可。 解：在RtACB中，AC2=AB2-BC2=2.52-1.52=4， AC=2 BD=0.5，CD=2 EC=1.5 答：梯子顶端下滑
6、了0.5米。点拨：要考虑梯子的长度不变。例5. 如图所示的一块地，AD=12m，CD=9m，ADC=90，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积。 思维入门指导：求面积时一般要把不规则图形分割成规则图形，若连结BD，似乎不 解：连结AC，在RtADC中， 在ABC中，AB2=1521 答：这块地的面积是216平方米。 点拨：此题综合地应用了勾股定理和直角三角形判定条件。第二章 实数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。在理解无理数时，要抓住“无限不循
7、环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如等；（2）有特定意义的数，如圆周率，或化简后含有的数，如/3+8等；（3）有一定规律，但并不循环的数，如0.1010010001等；（4）某些三角函数值，如sin60o等二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=b，反之亦成立。2、绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a0
8、；若|a|= -a，则a0。3、倒数如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。5、估算从两边确定范围，再一点点加强限制，使其所处的范围越来越小，从而达到要精确的程度例题：估算的近似值（精确到0.01）解： 121，224 1 2 1.722.89，1.823.24 1.7 1.8 1.7322.992 9，1.7423.027 6 1.73 1.74 1.73222.999 82
9、4，1.73323.003 289 1.732 1.733 1.73利用非负数解题的常见类型 例1. 解： 点拨：利用算术平方根，绝对值非负性解题。三、平方根、算数平方根和立方根 1、算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。特别地，0的算术平方根是0。表示方法：记作“”，读作根号a。性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。2、平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）。表示方法：正数a的平方根记做“”，读作“正、负根号a”。性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；
10、零的平方根是零；负数没有平方根。开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。 注意的双重非负性：被开方数与结果均为非负数。即a0， 3、立方根一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a那么这个数x就叫做a 的立方根（或三次方根）。表示方法：记作性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。四、实数大小的比较 1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。2、实数大小比较的几种常用方法（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数
11、总比左边的数大。（2）求差比较：设a、b是实数，（3）求商比较法：设a、b是两正实数，（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。（5）平方法：设a、b是两负实数，则。（6）倒数法：设a、b是同正,如果1/a1/b，则ab;同负，如果1/a1/b，则ab五、算术平方根有关计算（二次根式）1、 形如 (a0)的式子叫做二次根式。其中a为整式或分式，a叫做被开方式。 即含有二次根号“”，被开方数a必须是非负数。2、性质：（1）（2） （3） （）（4） （）3、一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式4、分母有理化(1)定义：化去分母中根号的变形叫做
12、分母有理化； (2)方法：将分子和分母都乘分母的有理化因式二次根式的化简技巧：(1)当被开方数是整数时，应先将它分解因数；(2)当被开方数是小数或带分数时，应先将小数化成分数或带分数化成假分数的形式；(3)当被开方数是整数或分数的和差时，应先将这个和差的结果求出六、实数的运算 （1）六种运算：加、减、乘、除、乘方 、开方二次根式的加减法则：二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并 被开方数相同的最简二次根式， 称为“同类二次根式” 。（2）实数的运算顺序先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。（3）运算律加法交换律 加法结合律
13、 乘法交换律 乘法结合律 乘法对加法的分配律 例. 计算： 通过以上计算，观察规律，写出用n（n为正整数）表示上面规律的等式_。 解： 规律：第三章 位置与坐标一、 在平面内，确定物体的位置一般需要两个数据。二、平面直角坐标系及有关概念 1、平面直角坐标系在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；x轴和y轴统称坐标轴。它们的公共原点O称为直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。2、为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限
14、、第二象限、第三象限、第四象限。注意：x轴和y轴上的点（坐标轴上的点），不属于任何一个象限。3、点的坐标的概念对于平面内任意一点P,过点P分别x轴、y轴向作垂线，垂足在上x轴、y轴对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a，b）叫做点P的坐标。点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。平面内点的与有序实数对是一一对应的。4、不同位置的点的坐标的特征 （1）、各象限内点的坐标的特征点P(x,y)在第一象限点P(x,y)在第二象限点P(x,y)在第三
15、象限点P(x,y)在第四象限（2）、坐标轴上的点的特征点P(x,y)在x轴上，x为任意实数点P(x,y)在y轴上，y为任意实数点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）即原点（3）、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线（直线y=x）上x与y相等：x=y点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数：x= - y（4）、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。（5）、关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征点P与点p关于x轴对称横坐标相等，
16、纵坐标互为相反数，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P（x，-y）点P与点p关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P（-x，y）点P与点p关于原点对称横、纵坐标均互为相反数，即点P（x，y）关于原点的对称点为P（-x，-y）(6)、点到坐标轴及原点的距离点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点P(x,y)到x轴的距离等于（2）点P(x,y)到y轴的距离等于（3）点P(x,y)到原点的距离等于三、坐标变化与图形变化的规律：坐标（ x ， y ）的变化 图形的变化 x a或 y a 被横向或纵向拉长（压缩）为原来的 a倍 x a， y a 放大（缩小）为原
17、来的 a倍 x （ -1）或 y （ -1） 关于 y 轴或 x 轴对称 x （ -1）， y （ -1） 关于原点成中心对称 x +a或 y+ a 沿 x 轴或 y 轴平移 a个单位 x +a， y+ a 沿 x 轴平移 a个单位，再沿 y 轴平移 a个单位第四章 一次函数一、函数：一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。二、自变量取值范围使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。一般从整式（取全体实数），分式（分母不为0）、二次根式（被开方数为非负数）、实际意义几方面考虑。自变量取
18、值范围的确定方法：(1)当关系式是整式时，自变量为全体实数；(2)当关系式是分母含字母的式子时，自变量的取值需保证分母不为0；(3)当关系式是二次根式时，自变量的取值需使被开方数为非负实数；(4)当关系式有零指数幂(或负整数指数幂)时，自变量的取值需使相应的底数不为0；(5)当关系式是实际问题的关系式时，自变量的取值需使实际问题有意义；(6)当关系式是复合形式时，自变量的取值需使所有式子同时有意义三、函数的三种表示法及其优缺点（1）关系式（解析）法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做关系式（解析）法。（2）列表法把自变量x的一系列值和函数y
19、的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。（3）图象法用图象表示函数关系的方法叫做图象法。四、由函数关系式画其图像的一般步骤（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。五、正比例函数和一次函数 1、正比例函数和一次函数的概念一般地，若两个变量x，y间的关系可以表示成（k，b为常数，k0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）。特别地，当一次函数中的b=0时（即）（k为常数，k0），称y是x的正比例函数。2、一次函数的图像: 所有一次函数
20、的图像都是一条直线。特别地，正比例函数图象是经过原点的一条直线。直线y=kx+b与坐标轴的交点坐标： （1）与y轴的交点为(0，b)； （2）与x轴的交点为 .3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数的图像是经过原点（0，0）的直线。k的符号B的符号函数图像图像特征k0b0图像经过一、二、三象限，y随x的增大而增大。b0 图像经过一、三、四象限，y随x的增大而增大。k0图像经过一、二、四象限，y随x的增大而减小b0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；（2）当k0时，y随x的增大而增大（2）当k0时，y随x的增大而减小6、系数相等的一次
21、函数的位置关系 平移法：直线ykxb可以看作由直线ykx平移得到： 当b0时，把直线ykx向上平移b个单位得到直线ykxb； 当b0时，把直线ykx向下平移|b|个单位得到直线ykxb.用一句话来表述就是：“上加下减”；上、下是“形”的平移，加、减是“数”的变化。两条直线平行的规律： 两条直线平行 k值相等7、正比例函数和一次函数解析式的确定确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b。求一次函数关系式的步骤为： 设代求还原，即： (1)设：设出一次函数关系式y=kx+b； (2)代：将所给数据代入函数关系式；
22、 (3)求：求出k的值； (4)还原：写出一次函数关系式.8、一次函数与一元一次方程的关系：任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k、b为常数，k0）的形式 而一次函数解析式形式正是y=kx+b（k、b为常数，k0）当函数值为0时，即kx+b=0就与一元一次方程完全相同 结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k0）的形式所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值利用一次函数图象解一元一次方程的步骤： (1)转化：将一元一次方程转化为一次函数； (2)画图象：画出一次函数的图象； (3)找交点：找出一次函数图象与x轴的交点，得到其横坐标，即为一元一次方程的解
