1、第二十一章 一元二次方程一、 一元二次方程的概念1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程2、一般形式：3、一元二次方程的根：使一元二次方程左右两边相等的值，叫做一元二次方程的根（解）.【注意】1、定义的隐含条件：是整式方程；只含有一个未知数； 未知数的最高次数是22、任何一个关于的一元二次方程，经过整理，都能化成一般形式。其中，是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项 3、任何一个关于的一元二次方程经过整理都可以化为一般式 对于关于的方程，当时，方程是一元二次方程；当且时，方程是一元一次方程 二、一元二次方程的解法一元二次方程的解法：直接开平方法、配
2、方法、公式法和因式分解法2一元二次方程解法的灵活运用直接开方法，配方法，公式法，因式分解法在具体解题时，应当根据题目的特点选择适当的解法（1） 因式分解法：适用于右边为（或可化为），而左边易分解为两个一次因式积的方程，缺常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便，它是一种最常用的方法【注意】应用因式分解法解一元二次方程时，方程的右边必须是零（2）公式法：适用于任何形式的一元二次方程，但必须先将方程化为一般形式，并计算的值求根公式： （3）直接开平方法：用于缺少一次项以及形如或或的方程，能利用平方根的意义得到方程的解（4） 配方法：配方法是解一元二次方程的基本方法，而公式是由配方法演绎得到的
3、把一元二次方程的一般形式（、为常数，）转化为它的简单形式，这种转化方法就是配方，具体方法为：所以方程（、为常数，）就转化为的形式，即，之后再用直接开平方法就可得到方程的解三、根的判别式1、一元二次方程根的判别式：2、根的判别式用来判别根的个数情况：（1）方程有两个不相等的实数根（2）方程有两个相等的实数根（3）方程没有实数根3、一元二次方程根的判别式的应用（1）不解方程，判别方程根的情况；（2）根据方程根的情况，确定方程中字母系数的值或取值范围；（3）讨论因式分解问题及方程组的解的情况 四、根与系数的关系韦达定理1、设一元二次方程的两个根为，则两个根满足：2、韦达定理的重要推论推论1：如果方程
4、的两个根是，那么推论2：以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是3、利用根与系数的关系，可知一元二次方程有如下重要的结论：（1）若两根互为相反数，则，得；（2）若两根互为倒数，则，得；若两根互为负倒数，则，得；（3）若有一个根是零，则，得；（4）若两根都为零，则，得，；（5）若有一根为1，则；若有一根为，则4、几个常见转化（2）； （3）； （4）；（5）； （6）；（7） 五、用一元二次方程解决实际问题1、面积最大化问题2、利润最大化问题3、增长率问题4、传播问题5、动点问题解题方法技巧1、一元二次方程的整数根问题：对于一元二次方程的实根情况，可以用判别式来判别，但是对于一个含参数的一
5、元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质方程有整数根的条件：如果一元二次方程有整数根，那么必然同时满足以下条件：（1） 为完全平方数；（2） 或，其中为整数以上两个条件必须同时满足，缺一不可另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中、均为有理数)2、公共根问题二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的值和公共根3、把一元二次方程根的判别式和根与系数的关系结合起来，判别讨论一元二次方程根的符号常常需要解不等式组对于方程，则：（1）有两正根的条件是：（2）有两负根的条件是：（3）有一个正跟一个负根： （4）有一零根一正根的条件是：（5）有一零根一负根的条件是：（6）有两个零根的条件是：
