1、人教版数学九年级上学期二次函数章节知识点归纳总结一、二次函数概念：1二次函数的概念： （1）一般地，形如（是常数，a0）的函数，叫做二次函数。 （2）这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0，而可以为零二次函数的定义域(x)是全体实数2. 二次函数 的结构特征： （1）等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2 （2）是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项3. 二次函数解析式的几种形式（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a0）（2）顶点式：y=a(x-h)2+k 抛物线的顶点P（ h ，k） （3）交点式：y=a(x-x1)(x-x2)
2、仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线 其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c0的两个根，a0.x1,x2 = (-b)/2a在三种形式的互相转化中，有如下关系: h= -b / 2a ； k=(4ac-b2) / 4a ； x1,x2 = (-b) / 2a说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式ya(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)；(2) 当h0时，抛物线yax2+k的顶点在y轴上；当k0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h0且k0时，抛物线yax2的顶点在原点；(3) 如果图像经过原点，并且对称轴是
3、y轴，则设y=ax2；如果对称轴是y轴，但不过原点，则设y=ax2+k 4. 抛物线的性质（1）.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）（2）.抛物线有一个顶点P:顶点坐标为 P -b/2a ，(4ac-b2)/4a .当-b/2a=0时，P在y轴上；当= b2-4ac=0时，P在x轴上。（3）.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口。 |a|越大，则抛物线的开口越小。|a|越小开口就越大.（4）.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴
4、的位置。（概括说就是“左同右异”）当a与b同号时（即ab0），对称轴x = -b/2a在y轴左侧；当a与b异号时（即ab0），对称轴x = -b/2a在y轴右侧。（5）.常数项c决定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于（0，c）（6）.抛物线与x轴交点个数 = b2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点。= b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。= b2-4ac0时，抛物线与x轴没有交点。（7）.二次函数与一元二次方程 二次函数（以下称函数）y=ax2+bx+c，当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即ax2+bx+c=0 . 此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数
5、根。函数与x轴交点横坐标即为方程的根。二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值2. 的性质：上加下减。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值3. 的性质：左加右减。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下X=h时，随的增大而减小；时，
6、随的增大而增大；时，有最大值4. 的性质：的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 2. 平移规律: 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移” 概括成八个字:“左加右减，上加下减” 四、二次函数与的比较从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即 变为：，其中五、二次函数的性质 1. 当时，抛物线开
7、口向上，对称轴为，顶点坐标为当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值 2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：（，为常数，）；2. 顶点式：（，为常数，）；3. 两根式：（，是抛物线与轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式， 只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法。用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式（利用对称轴） 【 理解：如果a+b+c=0，则函数过点（1，0）； 如果a-b+c=0，则函数过点（-1，0）】
