1、第三章 指数函数和对数函数 1 正整数指数函数 2 指数扩充及其运算性质 1.掌握正整数指数函数的定义. 2.了解正整数指数函数的图像的变化趋势. 3.了解指数函数模型的实际背景，体会引入有理数指数幂的必要性. 4.理解有理数指数幂的含义，知道实数指数幂的意义，掌握幂的运算. 学习 目标 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 栏目 索引 知识梳理 自主学习 知识点一 正整数指数函数 1.正整数指数函数 一般地，函数 叫作正整数指数函数， 其中x是自变量，定义域是 . 2.正整数指数函数的图像：正整数指数函数的图像是第一象限内一系 列 的点，是离散而不是连续的. 答案 ya
2、x(a0，a1，xN) 正整数集N 孤立 知识点二 分数指数幂 (1)分数指数幂的定义：给定正实数a，对于任意给定的整数m，n(m， n互素)，存在唯一的正实数b，使得bnam，我们把b叫作a的m n 次幂， 记作b ； (2)规定正数的负分数指数幂的意义是：a (a0，m，nN， 且n1)； (3)0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂 . 答案 m n a m n 1 m n a 0 没有意义 思考 (1)分数指数幂 能否理解为m n 个a相乘？ 答 不能. 不可以理解为m n 个a相乘，事实上，它是根式的一种新写 法. 答案 n m a (2)在分数指数幂与根式的互化公式 n m a
3、n am中，为什么必须规定 a0? 答 若 a0,0 的正分数指数幂恒等于 0， 即 n am n m a 0， 无研究价值. 若 a0. 知识点三 有理数指数幂的运算性质 (1)aras (a0，r，sQ)； (2)(ar)s (a0，r，sQ)； (3)(ab)r (a0，b0，rQ). 答案 ars ars arbr 知识点四 无理数指数幂 指数幂a(a0，是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的 运算性质对于无理数指数幂同样适用. 无理数 答案 返回 题型探究 重点突破 题型一 根式的运算 例1 求下列各式的值. 解析答案 (1) 3 23； 解 3 232. (2) 4 32； 解
4、 4 32432 3. 解析答案 (3) 8 38； 解 8 38|3|3. 解析答案 反思与感悟 (4)x22x1x26x9，x(3,3). 跟踪训练1 化简下列各式. 解析答案 (1) 5 25； 解 5 252. (2) 4 104； 解 4 104|10|10. (3) 4 ab4. 解 4 ab4|ab| abab， baab. 题型二 根式与分数指数幂的互化 例2 将下列根式化成分数指数幂形式. 解析答案 (1) 3 a 4 a； 解 3 a 4 a 11 34 aa 12 7 a. (2) a a a； 解 原式 1711 8824 .aaaa 解析答案 (3) 3 a2 a3；
5、 解 原式 2133 362 .aaa (4)( 3 a)2 ab3. 解 原式 17133 2 36222 ().aaba b 反思与感悟 解析答案 跟踪训练 2 用分数指数幂表示下列各式： (1) 3 a 6 a(a0)； 解 原式 11 36 ()aa 111 362 ()()() (0).aaaa 解析答案 (2) 3 ab2 ab3(a，b0)； 解 原式 3357 33 2 2222 aba ba b 15757 36622 ()(0).aba bab， 解析答案 解 原式 (3) (b0)； 3 2 4 3 2 b 2 1 21 3 4 39 () (0).bbb (4) 1 3
6、 x 5 x22 (x0). 解 原式 3 5 14 13 35 35 11 (0).xx xxx 题型三 分数指数幂的运算 解析答案 例 3 (1)计算： 1 3 0.064 7 8 0 4 3 3 ( 2) 160.75 1 2 0.01 ； 解 原式 1 3 3 0.4 1(2)4(24)0.75 1 2 2 0.1 0.411 1 16 1 8 0.1143 80 . 解析答案 (2)化简： 9 3 333713 2 (0).aaaaa 解 原式 1 913171 13 ()() 3 2322323 aaaa 9 3 7 13 6 6 66 =a a01. 反思与感悟 跟踪训练3 计算
7、或化简： 解析答案 (1) 2 3 3 ( 3 ) 8 1 2 0.002 10( 52)1( 2 3)0； 解 原式 10 521 1 22 2 33 31 ( 1)(3 ) 8500 10( 52)1 2 1 3 2 27 (500) 8 4 910 510 5201 167 9 . 解析答案 解 原式 311 3 3513 222 (2)()() .aaaa 1 13311 2 513 32222 ()()()aaaa 151311 042 32222 ()()().aaaaa 解析答案 解 将 两边平方，得aa129， 即aa17. 题型四 条件求值 例4 已知 求下列各式的值. (1
8、)aa1； 11 22 3,aa 11 22 3aa 解析答案 解 对(1)中的式子平方，得a2a2249， 即a2a247. 反思与感悟 (2)a2a2； 33 22 11 22 (3). aa aa 解 331111 1 222222 1111 2222 () ()aaaaaaaa aaaa aa118. 跟踪训练4 已知aa15(a0)，求下列各式的值： (1)a2a2； 解析答案 解 方法一 由aa15两边平方，得a22aa1a225，即a2a2 23. 方法二 a2a2a22aa1a22aa1 (aa1)2225223. 解析答案 解 11 22 (2);aa 11 21 22 ()
9、25 23aaaa - - ， 11 22 3,aa 11 22 3.aa (3)a3a3. 解 a3a3(aa1)(a2aa1a2) (aa1)(a22aa1a23) (aa1)(aa1)23 5(253)110. 解析答案 因忽略对指数的讨论及被开方数的条件致误 易错点 例5 化简：(1a)(a1)2 . 1 2 ()a 2 1 错解 原式(1a)(a1)1 1 4 ()a 1 4 () .a 正解 因为 存在， 1 2 ()a 所以a0，故a11)的结果是( ) A.12x B.0 C.2x1 D.(12x)2 C 解析 2x1，12x0. 12x2|12x|2x1. 1 2 3 4 5 答案 4.化简 x3 x 的结果是_. x 1 2 3 4 5 5.已知10m2,10n3，则103mn_. 解析答案 解析 103mn10 3m 10n 10 m3 10n 2 3 3 8 3. 8 3 课堂小结 1.掌握两个公式：(1)( n a)na(nN)；(2)n 为奇数且 nN， n ana， n 为偶数且 nN， n an|a| a a0， aa0. 2.根式一般先转化成分数指数幂，然后利用有理数指数幂的运算性质进 行运算.在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变 换的方法，然后运用运算性质准确求解. 返回
