1、不等式不等式 第三章第三章 3.2 均值不等式均值不等式 第三章第三章 第第2课时课时 均值不等式的应用均值不等式的应用 证明问题证明问题 现有A、B、C、D四个长方体容器，A、B的底面 积均为a2，高分别为a和b，C、D的底面积均为b2， 高分别为a和b(其中ab)现规定一种游戏规则： 每人一次从四个容器中取两个，盛水多者为 胜先取者有没有必胜的方案？若有，有几种？ 常见的不等式： 1a2b2_(a、bR) 2ab_a 2b2 2 (a、bR) 2ab (ab 2 )2 1.已知 a、bR ，则下列不等式不一定成立的是( ) Aab 1 ab2 2 B(ab)( 1 a 1 b)4 Ca 2
2、b2 ab ab D 2ab ab ab 答案 D 解析 A 项 ab 1 ab2 ab 1 ab2 2， B 项(ab) (1 a 1 b)2 ab 2 1 ab4，当且仅当 ab 时取 等号 C 中(a2b2)2ab(ab)2(ab)(a3b3)0 当且仅当 ab 时，取等号选 D 2在ABC 中，a、b、c 分别为 A、B、C 的对边，若 a、 b、c 成等差数列，则 B 的取值范围是( ) A00，ab2，则下列不等式对一切满足条件 的 a、b 恒成立的是_(写出所有正确命题的编号) ab1； a b 2； a2b22； a3b33； 1 a 1 b2. 答案 解析 ab ab 2 2
3、1，成立 欲证 a b 2，即证 ab2 ab2，即 2 ab0 显然不成立 欲证 a2b2(ab)22ab2，即证 42ab2，即 ab1，由知成立 a3b3(ab)(a2abb2)3a2abb23 2(a b)23ab3 24 3 23abab 5 6，由知，ab 5 6不恒成立 欲证1 a 1 b2，即证 ab ab 2，即 ab1，由成立 课堂典例讲练课堂典例讲练 不等式的证明技巧字母轮换不等式的证法 已知 a、b、c 为两两不相等的实数，求证：a2 b2c2abbccA 解析 a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca， 以上三式相加：2(a2b2c2)2ab2bc2ca， a2
4、b2c2abbccA 点评 本题中的表达式具有轮换对称关系，将表达式中 字母轮换 abca 后表达式不变， 这类问题证明一般变为几 个表达式(通常几个字母就需几个表达式)迭加(乘)，从而获解 若 a、b、c 均为正数，求证：a3b3c33abC 解析 a3b3a2bab2a2(ab)b2(ba)(ab)(a2 b2)(ab)2(ab)， a、b 为正数，(ab)20，ab0， a3b3a2bab2， 同理可得 b3c3b2cbc2， a3c3a2cac2. 将式两边分别相加，得 2(a3b3c3)a2bab2b2cbc2a2cac2 (a2bbc2)(ab2ac2)(b2ca2c) b(a2c
5、2)a(b2c2)c(a2b2) b 2aca 2bcc 2ab6abc， a3b3c33abC 显然，当且仅当 abc 时， a3b3c33abC 点评 在 a3b3c33abc 中，令 xa3，yb3，zc3， 则变为： xyz 3 3xyz(x、 y、 zR ， 当且仅当 xyz 时取等号) 我们也把abc 3 、3abc分别叫做三个正数 a、b、c 的算 术平均数与几何平均数于是abc 3 3abc. 此式可以说成：三个正数的算术平均数不小于它们的几何 平均数. 利用均值不等式证明不等式 已知 a0，b0，c0，且 abc1.求证： 1 a 1 b 1 c9. 解析 证法一：a0，b0
6、，c0， 1 a 1 b 1 c abc a abc b abc c 3b a c a a b c b a c b c 3(b a a b)( c a a c)( c b b c)32229. 即1 a 1 b 1 c9(当且仅当 abc 时取等号) 证法二：a0，b0，c0， 1 a 1 b 1 c(abc)( 1 a 1 b 1 c) 1b a c a a b1 c b a c b c1 3(b a a b)( c a a c)( c b b c)32229. 1 a 1 b 1 c9(当且仅当 abc 时取等号) 点评 含条件的不等式证明问题，要将条件与结论结合 起来，寻找出变形的思路，
7、构造出均值不等式，在条件“ab c1”下，1 的代换一般有上面两种情况，切忌两次使用均 值不等式，用传递性证明，有时等号不能同时取到 已知 x0， y0， z0， 且 xyz1， 求证：x y z 3. 解析 x0，y0，z0，xy2 xy，xz2 xz，y z2 yz， 2(xyz)2( xy xz yz) xyz1， xy xz yz1 成立 xyz2( xy xz yz)3， 即( x y z)23， x y z 3. 均值不等式的综合应用 已知 a、b、c、d 都是实数，且 a2b21，c2 d21，求证：|acbd|1. 解析 证法一(综合法)：因为 a、b、c、d 都是实数，所 以
8、|acbd|ac|bd| a 2c2 2 b 2d2 2 a 2b2c2d2 2 . 又因为 a2b21，c2d21，所以|acbd|1. 证法二(比较法)：显然有 |acbd|11acbd1. 先证 acbd1. acbd(1)acbd1 2 1 2 acbda 2b2 2 c 2d2 2 ac 2bd2 2 0， acbd1. 再证 acbd1. 1(acbd)1 2 1 2(acbd) a 2b2 2 c 2d2 2 acbd ac 2bd2 2 0， acbd1. 综上得|acbd|1. 证法三(分析法)：要证|acbd|1， 只需证明(acbd)21， 即只需证明 a2c22abcd
9、b2d21. 由于 a2b21，c2d21，因此式等价于 a2c22abcdb2d2(a2b2)(c2d2) 将式展开化简得(adbc)20. 因此 a、b、c、d 全是实数此式成立，故式成立，从而 原命题得证 点评 三种证法各有侧重点，但都植根于条件 a2b21 与 c2d21 的灵活运用上，解题时要善于展开联想，不放过 一种可能的思路火花，多方探索、对比，对开阔视野，训练思 维很有帮助 已知 a0，b0，ab1，求证：(a1 a)(b 1 b) 25 4 . 解析 左边(a1 a)(b 1 b)ab 1 ab b a a b ( 1 ab ab) 2b a a b2. a、b(0，)， b
10、 a a b2，又 a0，b0，ab1， 1ab2 ab. ab1 2， 1 ab2， ab 1 2， 1 ab ab 3 2， ( ab 1 ab) 29 4. 左边9 422 25 4 ，(当且仅当 ab1 2时取等号) 易错疑难辨析易错疑难辨析 求函数 y x25 x24的最小值 错解 y x25 x24 x241 x24 x24 1 x242.函 数的最小值为 2. 辨析 误解中忽视了判定等号是否成立 正解 y x25 x24 x241 x24 x24 1 x242. 当且仅当 x24 1 x24，即 x 241 时，等号成立，这 显然不可能 令 t x24，x244，t2. yt1 t 在2，)上为增函数， 当 t2 时，函数取最小值5 2.
