1、不等式不等式 第三章第三章 3.5 二元一次不等式二元一次不等式(组组) 与简单的线性规划问题与简单的线性规划问题 第三章第三章 第第3课时课时 简单的线性规划的应用简单的线性规划的应用 课前自主预习课前自主预习 已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元， 而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元， 则2枝玫瑰的价格与3枝康乃馨的价格哪个更高？ 1线性规划常用来解决下列问题： (1)给定一定数量的人力、物力、资金等资源，怎样安排运 用这些资源，才能使完成的任务量最_，收到的效 益最_ (2)给定一项任务，怎样统筹安排，才能使完成这项任务的 人力、资金、物力资源最_常见问题有：物资 _、产
2、品_、下料等问题 2最优解常转化为由目标函数得到的直线到_距 离的最值来考虑(到原点距离最大(小)，一般等价于纵截 距最大(小) 大 大 小 调运 安排 原点 1. 若 直 线 y 2x 上 存 在 点 (x ， y) 满 足 约 束 条 件 xy30 x2y30 xm ，则实数 m 的最大值为( ) A1 B1 C3 2 D2 答案 B 解析 本题考查了不等式组所表示的平面区 域及数形结合思想解决问题的能力 由约束条件作出其可行域，如图 由图可知当直线 xm 过点 P 时，m 取得最大值， 由 y2x xy30 得， x1 y2 ， P(1,2)，此时 xm1. 2已知 x、y 满足 yx
3、x2y4 y2 x12y12r2r0 ，则 r 的最 小值为( ) A9 5 B2 C3 D 2 答案 D 解析 作出可行域如下图阴影部分所示， 显然可行域内点 A 到点 D(1,1)距离最大，点 D 到直线 BC 距离最小 r|11| 1212 2，故选 D 3某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品， 由乙车间加工出B产品甲车间加工一箱原料 需耗费工时10 h，可加工出7 kgA产品，每千 克A产品获利40元；乙车间加工一箱原料需耗 费工时6 h，可加工出4 kgB产品，每千克B产 品获利50元甲、乙两车间每天共能完成至 多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费 工时总和不得超过480 h，甲
4、、乙两车间每天 总获利最大的生产计划为( ) A甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60 箱 B甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55 箱 C甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50 箱 D甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30 箱 答案 B 解析 设甲车间加工原料 x 箱， 乙车间加工原料 y 箱， 由 题意可知 xy70 10x6y480 x0 y0 ， 且 x、yN， 甲、乙两车间每天总获利为 z280x200y. 作出可行域如下图阴影部分所示 点M(15,55)为直线xy70和直线10x6y 480的交点，由图象知，在点M(15,55)处z取 得最大值 4若 x、y 满足约束条件：
5、 2xy0 xy20 x4 ，则 z2xy 的最大值为_，最小值为_ 答案 16 8 3 解析 可行域如图考察直线 2xyz. 即 y2xz. 在经过点 A(2 3、 4 3)时，z 取最小值在经过点 C(4,8)时，z 取最大值，zmin8 3，zmax16. 5设变量 x、y 满足约束条件 xy30 xy0 2x3 ，则目标函数 2xy 的最小值为_ 答案 3 2 解析 设 z2xy，画出可行域如图，最优解为 M 3 2， 3 2 ，zmin3 2. 课堂典例讲练课堂典例讲练 某工厂计划生产甲、乙两种产品， 这两种产品都需要两种原料生产甲产品1工 时需要A种原料3kg，B种原料1kg；生产
6、乙产 品1工时需要A种原料2kg，B种原料2kg.现有A 种原料1 200kg，B种原料800kg.如果生产甲产 品每工时的平均利润是30元，生产乙产品每 工时的平均利润是40元，问甲、乙两种产品 各生产多少工时能使利润的总额最大？最大 利润是多少？ 收益最大问题(利润、收入、产量等) 解析 依题意可列表如下： 产品 原料A数量 (kg) 原料B数量 (kg) 利润(元) 生产甲种产品1工时 3 1 30 生产乙种产品1工时 2 2 40 限额数量 1 200 800 设计划生产甲种产品用 x 工时，生产乙种产品用 y 工时， 则获得利润总额为 t30x40y. 其中 x、y 满足下列条件 3
7、x2y1 200 x2y800 x0 y0 于是问题转化为，在 x、y 满足条件的情况下，求 t30x 40y 的最大值 画出不等式组表示的平面区域OABC如图 问题又可以转化为，在不等式组表示的平 面区域内找一点，把它的坐标代入式子30x 40y时，使该式取最大值 令 30x40y0，则此方程表示通过原点的一条直线，记 为 l0.易知，在区域 OABC 内有 30x40y0.考察这个区域内任 意一点 P(x，y)到 l0的距离 d |30x40y| 302402 30x40y 50 ，于是 30x40y50d， 这就是说，点 P(x，y)到直线 l0的距离 d 越大，式子 30x 40y 的
8、值也越大因此，问题就转化为：在不等式组表示的 平面区域内，找与直线 l0距离最大的点 为了在区域 OABC 内精确地找到这一点，我们平移直线 l0 到位置 l，使 l 通过平面区域 OABC，可见当 l 经过点 B 时，l 与 l0的距离最大，d 最大 解方程组 3x2y1 200 x2y800 ， 得点 B 的坐标(200,300)，代入式子，得 tmax302004030018 000. 答： 用 200 工时生产甲种产品， 用 300 工时生产乙种产品， 能获得最大利润 18 000 元 点评 本例解答中， 我们将探求 t30x40y 的最大值问 题，转化为与 l0：3x4y0 平行的直
9、线 l 经过可行域到直线 l0 距离最大的问题这与将 t30x40y 变形为 y3 4x t 40，当 此直线在 y 轴上的截距 t 40最大时，t 取最大值的思路是一致的 某厂计划生产甲、乙两种产品，甲产品售价 50千元/件，乙产品售价30千元/件，生产这 两种产品需要A、B两种原料，生产甲产品需 要A种原料4t/件，B种原料2t/件，生产乙产品 需要A种原料3t/件，B种原料1t/件，该厂能获 得A种原料120t，B种原料50t.问生产甲、乙两 种产品各多少件时，能使销售总收入最大？ 最大总收入为多少？ 解析 设生产甲、乙两种产品分别为 x 件、y 件，总产值 为 z 千元，则 4x3y1
10、20 2xy50 x0 y0 ，z50x30y. 画出不等式组表示的平面区域即可行域如图 易知直线z50x30y过点(15,20)时，取得最 大值 zmax501530201 350. 答：生产甲、乙两种产品分别为15件、20件， 总收入最大是1 350千元. 某公司租赁甲、乙两种设备生产A、 B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件 和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产 品6件和B类产品20件已知设备甲每天的租 赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300 元现该公司至少要生产A类产品50件，B类 产品140件，所需租赁费最少为_元 耗费资源(人力、物力、资金等)最少问题 解析 设甲、
11、乙两种设备分别需要租用 x、y 天 根据题意得 5x6y50 10x20y140 xZ，yZ ， 所需租赁费为 z200x300y. 作出可行域如图所示， 将 l0x3y0 向可行域平移， 当 直线经过 M 点时，z 取最小值 由 5x6y50 x2y14 ，得 M(4,5) zmin200430052 300(元) 即所需租赁费最少为 2 300 元 答案 2 300 某公司的仓库A存有货物12t，仓库B存有货物 8t.现按7t、8t和5t把货物分别调运给甲、乙、 丙三个商店，从仓库A运货物到商店甲、乙、 丙，每吨货物的运费分别为8元、6元、9元、 从仓库B运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物
12、的运费分别为3元、4元、5元则应如何安排 调运方案，才能使得从两个仓库运货物到三 个商店的总运费最少？ 解析 设仓库A运给甲、乙商店的货物分别 为xt、yt. 则仓库A运给丙商店的货物为(12xy)t. 仓库B运给甲、乙、丙商店的货物分别为(7 x)t，(8y)t，5(12xy)t， 总运费为z8x6y9(12xy)3(7x) 4(8y)5(xy7)x2y126， 约束条件为 12xy0 7x0 8y0 xy70 x0 y0 ，即 0x7 0y8 xy7 xy12 ， 作出可行域，如图所示 作直线l：x2y0，把直线l平行移动， 当直线过A(0,8)时，zx2y126取得最小 值， zmin0
13、28126110， 即x0，y8时，总运费最少 即仓库A运给甲、乙、丙商店的货物分别为0t、 8t、4t，仓库B运给甲、乙、丙商店的货物分 别为7t、0t、1t，此时可使得从两个仓库运货 物到三个商店的总运费最少 某人有楼房一幢，室内面积共计 180 m2，拟分割成两类房间作为旅游客 房大房间每间面积为18 m2，可住游客5名， 每名旅客每天住宿费40 元；小房间每间面积 为15 m2，可以住游客3名，每名游客每天住 宿费为50元；装修大房间每间需要1 000元， 装修小房间每间需600元如果他只能筹款8 000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔 出大房间和小房间各多少间，能获得最大收 益？
14、 整数最优解不是边界点的问题 解析 设隔出大房间 x 间，小房间 y 间，收益为 z 元，则 x、y 满足 18x15y180 1 000x600y8 000 x0，y0xN，yN ，即 6x5y60 5x3y40 x0，y0xN，yN ， z200 x150 y. 作出可行域，如图所示 当直线 z200x150y 经过可行域上的点 M 时，z 最大 解方程组 6x5y60 5x3y40 ，得点 M 的坐标为 20 7 ，60 7 ，由于 点 B 的坐标不是整数，而最优解(x，y)是整点，所以可行域内 点 M 20 7 ，60 7 不是最优解 经验证：经过可行域内的整点，且使 z200x150
15、y 取得 最大值的整点是(0,12)和(3,8)，此时 zmax1 800 元 答：应隔出小房间 12 间，或大房间 3 间、小房间 8 间， 可以获得最大利润 要将甲、乙两种长短不同的钢管截成A、B、C 三种规格，每根钢管可同时截得三种规格的 短钢管的根数如下表所示： 今需A、B、C三种规格的钢管各13、16、18 根，问各截这两种钢管多少根可得所需三种 规格钢管，且使所用钢管根数最少 规格类型 钢管类型 A规格 B规格 C规格 甲种钢管 2 1 4 乙种钢管 2 3 1 解析 设需截甲种钢管 x 根，乙种钢管 y 根，则 2x2y13 x3y16 4xy18 x0 y0 ，作出可行域如图：
16、 目标函数为 zxy， 作出一组平行直线 xyt(t 为参数)， 经过可行域内的点且和原点距离最近的直线必经过直线 4xy 18 和直线 x3y16 的交点 A(38 11， 46 11)， 直线方程为 xy 84 11. 由于38 11和 46 11都不是整数，所以可行域内的点( 38 11， 46 11)不是最优 解 784 118，且 xy7 与可行域无公共点， 经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是xy 8，经过的整点是 B(4,4)，它是最优解 综上所述知，应截取甲、乙两种钢管各 4 根可得所需三种 规格钢管且使所用根数最少 易错疑难辨析易错疑难辨析 设 E 为平面上以 A(4,
17、1)，B(1，6)，C(3,2) 为顶点的三角形区域(包括边界)， 求 z4x3y 的最大值与最小 值 错解 把目标函数 z4x 3y 化为 y4 3x 1 3z. 根据条件画出图形如图所示 当动直线 y4 3x 1 3z 通过点 C 时，z 取最大值； 当动直线 y4 3x 1 3z 通过点 B 时，z 取最小值 zmax4(3)3218. zmin4(1)3(6)14. 辨析 直线 y4 3x 1 3z 的截距是 1 3z，当截距 1 3z 最大， 即过点 C 时，目标函数值 z 最小；而当截距1 3z 最小，即过点 B 时，目标函数值 z 最大此处容易出错 正解 把目标函数 z4x3y 化为 y4 3x 1 3z. 当动直线 y4 3x 1 3z 通过点 B 时，z 取最大值； 当动直线 y4 3x 1 3z 通过点 C 时，z 取最小值 zmax4(1)3(6)14， zmin4(3)3218.
