1、数数 列列 第二章第二章 神奇的斐波那契数列 1202年，意大利数学家斐波那契(Leonardo Fibonacci)出版了他的算盘全书(Liber abacci)在书中记载了一个有趣问题： 如果一对兔子每月能生一对小兔(一雄一雌)，而 每对小兔在它出生后的第三个月里，又能开始 生一对小兔，假定在不发生死亡的情况下，由 一对出生的小兔开始，50个月后会有多少对兔 子？ 研究后他发现从第一个月开始，以后每个月的 兔子总数摆成一列是： 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144，. 其中每一个数都是前面两个数字之和，这就是 著名的斐波那契数列它有很多有趣的性质， 在实际生活中也有
2、广泛的应用特别是人们在 研究它的过程中发现了许多意想不到的结 果比如，一些植物的花瓣、萼片、果实的数 目以及排列方式上，都神奇的符合斐波那契数 列 要了解斐波那契数列还有哪些有趣的性质？我 们先要知道什么是数列？它有着怎样的规律特 征？本章我们就来揭开它的神秘面纱 2.1 数数 列列 第二章第二章 第第1课时课时 数数 列列 课前自主预习课前自主预习 自然界和人类社会都存在一些奇妙的现象，如 果你不去仔细观察，你发现不了它的妙处；如 果你不去思考，你就更不知道，原来这些现象 背后隐藏着很多科学原理如一些花的花瓣数： 百合花(3个花瓣)、梅花(5个花瓣)、飞燕草(8个 花瓣)、万寿菊(13个花瓣
3、)、紫苑(21个花瓣)，等 等，这一系数的数3,5,8,13,21，就构成了一个 奇妙的数列斐波那契数列. 1数列的概念 _叫做数列 数列中的_叫做这个数列的项数列中的每 一项都与它的序号有关，排在第一位的数为这个数列 的第一项，也叫做_，排在第n位的数称作这个数 列的第n项，记作an，数列的一般形式为a1，a2， a3，an，简记为an 按照一定次序排列起来的一列数 每一个数 首项 2通项公式 数列的第n项an与n之间的关系用一个函数式 _来表示，那么这个公式叫做这个数列的通 项公式 数列an的项数n和项an的对应关系，实际上是序号集 合与另一个数集的映射因此，数列可以看作是一个 定义域为_
4、 _的函 数数列的通项公式也就是相应函数的_ anf(n) 数集N(或它的有限子集1,2,3，n) 正整 解析式 3数列的分类 (1)项数有限的数列叫做_，项数无限的 数列叫做_ (2)按数列的每一项随序号的变化情况进行分 类： 从第二项起，每一项都大于它的前一项的数列 叫做_ _；从第二项起，每一项都小于它 的前一项的数列叫做_ _各项都相等的 数列叫做_ 有穷数列 无穷数列 递增数 列 递减 数列 常数列 4数列的表示方法 用函数观点认识数列是重要的思想方法一般 情况下，数列同函数类似，通常有三种表示方 法：_；_；_.其中解析 法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出 数列(将在下节讲述
5、) 数列anf(n)的图象是由一系列孤立的点 (_)所组成的图形，它们都落在函数y f(x)的图象上 列表法 图象法 解析法 (n，f(n) 1.(20132014学年度内蒙古通辽实验中学高二期中测试) 已知数列1， 3， 5， 7，2n1，则3 5是它的 ( ) A第22项 B第23项 C第24项 D第28项 答案 B 解析 3 5 45， 令2n145，得n23. 2数列0，1 3， 1 2， 3 5， 2 3，的通项公式为( ) Aann2 n Bann1 n Cann1 n1 Dann2 n2 答案 C 解析 解法一：验证当n1时，a10，排除A、D； 当n2时，a21 3，排除B，故
6、选C. 解法二：数列0，1 3， 1 2， 3 5， 2 3，即数列 0 2， 1 3， 2 4， 3 5， 4 6， 数列的一个通项公式为ann1 n1，故选C. 3(2014 山东淄博六中高三期末测试)已知数列an的前4 项分别为2,0,2,0，则下列各项不可以作为数列an的通项 公式的一项是( ) Aan1(1)n 1 Ban2sinn 2 Can1cosn Dan 2n为奇数 0n为偶数 答案 B 解析 当n3时，2sin3 2 2，不满足题意，故选B. 4数列1,3,6,10，x,21，中，x的值是 _ 答案 15 解析 312,633,1064， x105 21x6 ，x15. 5
7、数列2 1 3 ，4 1 5 ，8 1 7 ，16 1 9 ，的一个通项公式为 _ 答案 an(1)n 1(2n 1 2n1) 解析 2 1 3 2 1 3 2 1 211 ，4 1 5 4 1 5 22 1 221 ，8 1 7 8 1 7 23 1 231 ，16 1 9 16 1 9 24 1 241 ，又奇数项为正，偶数项为负，故an(1)n 1(2n 1 2n1) 6已知数列的通项公式为ann(n1)，判断 419和420是否为数列中的项？若是，是数列 中的第几项？ 解析 令n(n1)419，n2n419 0，此方程无正整数解，故419不是数列中的 项； 令n(n1)420，n2n4
8、200，n 20，故420是数列中的第20项 课堂典例讲练课堂典例讲练 数列的概念及分类 下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列 的是( ) A1，1 2， 1 3， 1 4， Bsin 7，sin 2 7 ，sin3 7 ， C1，1 2， 1 4， 1 8， D1， 2， 3， 21 分析 解答这类问题，要紧扣概念，考查项 与序号之间的关系 解析 D是有穷数列，A是递减数列，B是摆 动数列，故选C. 答案 C 数列an的通项公式an5816nn2，则 ( ) Aan是递增数列 Ban是递减数列 Can先增后减，有最大值 Dan是减后增，有最小值 答案 C 解析 an(n8)26，这是关于
9、n的二次 函数，开口向下，当n8时，an递增，当n8 时，an递减，当n8时，a8最大，故选C 数列的通项公式 已知数列an的通项公式为an 2 n2n ，那么 1 10 是它的( ) A第4项 B第5项 C第6项 D第7项 分析 解答这类问题关键是弄清通项an与序号n之间的关 系，关系式即为通项公式 解析 设 1 10是它的第n项，即an 1 10. 2 n2n 1 10，n4或n5(舍去)， 选A. 答案 A 点评 从函数观点出发，本题相当于已知函数解析式f(n) 2 n2n和函数值f(n) 1 10.求自变量n的值 已知数列an的通项公式为an32n1，则48 是该数列的第_项 答案 5
10、 解析 由32n148得，2n124，n 5. 已知数列的前几项，写出数列的一个通项公式 写出数列的一个通项公式，使它的前几项分别 是下列各数： (1)1,0,1,0,1； (2)0.9,0.99,0.999，. 解析 (1)这个数列是一个摆动数列，奇数项为1，偶数 项为0，可通过1 n11 2 来实现， an1 n11 2 . (2)0.910.1,0.9910.01,0.99910.001， 点评 已知数列的前几项，如果能写出数列的通项公 式，结论不唯一 如(1)还可写成an| sinn1 2 |(nN*) 或an|cosn1 2 |(nN*) 注意项an与项的序号n之间的关系 要注意以下
11、几个特殊数列在表达通项中的作用： 1 . ann； 2 .an1 n； 3 .an(1) n； 4 .ansinn 2 5 .ancosn 2 6 .an1 n1 2 ； 7 .an 1 2n 8 .an 1 10n. 数列1 4， 1 2， 3 4，1， 5 4， 3 2，的一个通项公式为_ 答案 ann 4 解析 先把各项都写成分数形式，注意到422，可 以把分母不是4的项改写成分母为4的情形，即 1 4 ， 2 4 ， 3 4 ， 4 4 ， 5 4， 6 4，an n 4. 易错疑难辨析易错疑难辨析 已知数列an的通项公式为 an(n2) ( 9 10 )n 1，试问n取何值时，a n
12、取得最大值？并求出最大值 错解 an1 an n3 9 10 n1 n2 9 10 n 9 10 n3 n2 9 10(1 1 n2) 9 10 9 10 1 n2. 令a n1 an 1，得 9 10 9 10 1 n21，解得n7. 当n7时，an取得最大值，最大值为a7 98 107. 辨析 上述解法简单地由n7得出a7为数列an中的最 大值，忽视了数列相邻两项之间的动态变化关系事实上，a7 a8且为an的最大值 正解 a n1 an n3 9 10 n1 n2 9 10 n 9 10 n3 n2 9 10(1 1 n2) 9 10 9 10 1 n2. 令a n1 an 1，得 9 10 9 10 1 n21， 解得n7， 当n7时，a8 a71，即a7a8； 又n1，即an8时，a n1 an an1， 可见a1a10， 当n7或8时，an取得最大值，最大值为a7a8 98 107.
