1、专题一 函数与导数专题六 解析几何1圆锥曲线有关定点、定值、最值问题等综合性问题，它涉及到圆锥曲线的定义、几何性质、直线与圆锥曲线位置关系，同时又与三角函数、函数、不等式、方程、平面向量等代数知识紧密联系，解这类问题时，需要有较强的代数运算能力和图形识别能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算、推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整性 2研究变量的最值问题时，一般先建立目标函数，再转化为函数或不等式问题求解，或运用“数形结合”、“几何法”求解3解析几何定值包括几何量的定值或曲线系(直线系)过定点等问题，处理时可以直接推理求出定值，也可以先通过特定位置猜测结论后进行一般性证
2、明，对于客观题，通过特殊值法探求定点、定值能达到事半功倍的效果 22122222122323131(2011045.30)42.1xyCababFCyxCCP PFCTCCyMNMNCTCC已知椭圆：的右焦点与抛物线：的焦点重合，椭圆与抛物线在第一象限的一、圆锥曲线背景下的交点为，圆的圆心 是抛物线上的动点，圆与 轴交于，两点，且求椭圆的方程；证明：无论点 运动到何处，圆恒经过椭圆例1广州二上定点问题模一定点 22211121111212111114 1,01,01,01.()(00)1.5521.33382 640.332 2 6()3113CyxFCFFCxPxyxyPFxPFxxyxyy
3、P ：因为抛物线：的焦点坐标为，所以点的坐标为所以椭圆的左焦点 的坐标为，抛物线的准线方程为设点 的坐标为，由抛物线的定义可知因为，所以，解得由，且，得所以点 的坐标为，法析方解:22122221222221222122101.22 62103322 6 101.43323.41,01.(432xxyCabcabaPFPFabacCCyxCxPxyy 方在椭圆：中，又，所以，则所以椭圆的方程为因为抛物线：的焦点坐标为，易知抛物线的准线方程为设点 的坐标为法，：111)(00)xy，2121111122122222221.5521.33382 6y40.332 2 6()33101.12.342
4、4199PFxPFxxxyyPxyCabcabcaabcbab 由抛物线的定义可知因为，所以，解得由，且，得所以点 的坐标为，在椭圆：中，由，解得 100332220022230002220000020220().4244.4.44(0).44(1)22211.43CTxyCrCyMNMNMNrxrxCxxyyxTCyxyyxxxyxxxyyyxy所以椭圆的方程为设点 的坐标为，圆的半径为因为圆与 轴交于、两点，且，所以，所以所以圆的方程为因为点 是抛物线：上的动点，所以，所以把代入，消去，整理得证法：22040.xy0222210032200331102220.0402,02,0143().
5、4y40)2(4CyxxyyxyxyCTTxyCrTCyxxxCyMNMNC圆恒经过椭方程对任意实数恒成立，所以，解得因为点在椭圆：上，所以无论点运动到何处，设点 的坐标为，圆的半径为因为点 是抛物线：上的动点，所以因为圆与 轴交于、两点，且证法圆上一点：定，22200222300000022322222231244.4x.0y4004.42.014342,02,02,02,02,02,0MNrxrxCxxyyxxyCxyxyxxyyCxyC 所以，所以所以圆的方程为令，则，得，此时圆的方程为由，解得所以圆：与椭圆的两个交点为、分别把点、代入方程进行检验，可知点恒符合方程，点31.2,0TCC
6、不恒符合方程所以无论点 运动到何处，圆恒经过椭圆上一定点 1()2利用两曲线间的共同点进行转化，是解决这类问题的关键证明曲线系 直线系 过定点时，可求出其含参变量的方程，由方程特点或利用关于参变量的方程有无穷多解条【点评】件处理 222212121,104.121xyAababFFAFAFCDACADCD已知点是椭圆上一点，是椭圆的两个焦点，且满足求椭圆的方程及离心二、圆锥曲线背景下的定值问题率；设点、是椭圆上的两点，直线、的倾斜角互补，试判断直线的斜率是否为定值？并例2说明理由 222212122222222211,1101112448233231.4466323CDCDxyAababFFA
7、FAFaababcaxbceay思路：要判断的斜率是否为定值，可计算、坐标，求其斜率是否与参变量取值有关因为点是椭圆上的一点，是椭圆的两焦点，所以，所以，所以，所以，且椭圆的方程为解析:22222222()()0.1111113144133 223210.13212.13CCDDACADCC xyD xyACADkkACyk xADyk xyk xxykxkkxkkAxkkxk 设点，因为、的倾斜角互补，所以设直线的方程为，则直线的方程为由，得因为 点的横坐标是该方程的一根，所以22321131111 21 3.(13)DCDCDCDCDCDCDCDkkxkyykxxk xk xxxk xxk
8、xxCD 同理，所以为定值 故直线的斜率为定值求证或判断某几何量是否为定值时，可引进适当的参变量，直接求出相应几何量的值，说明或证明其【点评】为定值 221122121PQ42()()2.PQAAOBP12BPxyP xyQ xyxx已知椭圆上的两个动点、，设，且求证：线段的垂直平分线经过一个定点；设点 关于原点 的对称点是，三、圆锥曲线背景下的最求的最小值及相应的值问题例3点坐标 1122221112122222121212121212()()242241.21(1)2210112:.PQP xyQ xyxyxxxxxyyyxxxxyyyyPQNnkxxnPQynn xxny 证明：因为，且
9、，当时，由，得设线段的中点，所以，所以线段的垂直平分线方程为，所以解析 1212122222111min1(0)21(0)21(0)2222220,21179()1.2244(02)1(0)23.22AxxPQABAOBxxxPxPBxyxPQAPB该直线恒过一个定点，当时，线段的中垂线也过定点，由于点 与点 关于原点 对称，故点，因为，所以，所以当点 的坐标为，时，综上，线段的垂直平分线恒过定点，2PQP1 本题是圆锥曲线中的综合问题，涉及到了定点问题以及最值问题本题是建立二次函数、利用二次函数的图象求最值本题的第一个易错点是，表达不出线段的中垂线方程，第二个易错点是，易忽视 点坐标的取值范
10、围实质上是忽视了椭圆【点评】的范围 222261(0)33.3212xyCababClCABOlAOB已知椭圆：的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为求椭圆 的方程；设直线 与椭圆 交于、两点，坐标原点 到直线 的距离为，求面积例4的最大值.1122222226331()()3.|33123142.11xyccaabA xyB xyABxABABxABykxmmmkkykxm设椭圆的半焦距为，依题意，所以，所以所求椭圆的方程为设，当轴时，当与 轴不垂直时，设直线的方程为由已知，得把代入椭圆方解析:程，整理得22221212222222122222222222222316330631.3131
11、136121 13131121 31 3131 91 3kxkmxmkmmxxx xkkABkxxk mmkkkkkmkkkk ，所以，所以222421231961kkk，22222maxmax1212033412 369613930332.13222kABkkkkkkABABABAOBSAB 当时，当且仅当，即时等号成立当时，综上所述，所以当最大时，面积取最大值 A2AB1B求高为定值的三角形的面积的最大值，只需求边长的最大值，即弦长的最大值，由弦长公式建立相应函数，利用基本不等式求其最值注意直线的特殊位置【点评】的检验 11,02,022.12AFlxxPFlPEFEBCABAClMNEM
12、NF已知定点，定直线：，不在 轴上的动点 与点 的距离是它到直线 的距离的倍设点 的轨迹为，过点 的直线交 于、两点，直线、分别交 于点、求轨迹 的方程；试判断以线段为直径的圆是否过点，并说备选题 明理由 2222()0122|222,3(23)1 31()2 23 333().()21(1232220.0)yxyP xyyxyxBCxxBCAByxMMFMFMFM FNFMFN 设，则，化简得当轴，其方程为，则，的方程为，因此点的坐标为，同理，可得，因此，解，即析:22222221122221212222212121212222222(0)1334430.300.()()4433322244
13、38 (33BCxBCyk xkyxykxk xkkB xyC xykkxxx xkky ykxxkx xxxkkkkk 当与 轴不垂直时，设的方程为与双曲线方程联立，消去，得由题意知，且设，则，2294).3kk111211222212121113133()()2 212 2133()2 21339()()22411 xxyAByxxyyMFMxxyFNxy yFM FNxx 因为，所以直线的方程为因此点的坐标为，同理，可得，因此2222229993 4344413399 044.kkkkkkFMMNFNFMFNF 综上所述，以为直径的圆必定以，即过点，所1对圆锥曲线中定值的计算，一般利用相
14、关公式或方程思想求解，如果求值对象有相关公式计算(如距离、斜率、面积等)，并且公式中所需数据可由已知或相关参变量表示，则套用公式求解，或将求值对象看成一个未知数，根据已知条件建立方程或方程组，再解方程求未知数的值 2对圆锥曲线中定点的确立，通常求相应曲线系(或直线系)方程，利用方程思想或曲线系(直线系)特征确定点或由特殊值确定一定点，再进行一般性证明 3圆锥曲线中最值问题的解法常用方法有几何法、函数法或不等式法，其中几何法是根据图形几何性质求解的方法；函数法是指将所求变量表示成某个相关变量的函数，再求函数的最值；不等式法是根据曲线性质及条件建立一个关于所求变量的不等式，再解不等式，求其最值的方法
