1、路漫漫其修远兮路漫漫其修远兮 吾将上下而求索吾将上下而求索 人教人教B版版 必修必修3 第三章第三章 概概 率率 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 概概 率率 第三章第三章 第三章第三章 3.3 3.3.1 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 3.3 随机数的含义与应用随机数的含义与应用 3.3.1 几何概型几何概型 第三章第三章 第三章第三章 3.3 3.3.1 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 课前自主预习课前自主预习 第三章第三章 3.3 3.3.1 高中新课
2、程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 射箭比赛的箭靶涂有5个彩色得分环，从外向内为白色、 黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”奥运 会的比赛靶面直径为122cm，靶心直径为12.2cm.运动员在70m 外射箭，假设射箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能 的，那么射中黄心的概率为多少？ 第三章第三章 3.3 3.3.1 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 1.几何概型的概念与计算公式 (1)事件A理解为区域的某一子区域A(如图所示)，A的概 率只与子区域A的_成比例，而 与A的_无关，称满足以上条件的概率模
3、型为几 何概型 几何度量(长度、面积、体积) 位置与形状 第三章第三章 3.3 3.3.1 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 注意：古典概型适用于所有试验结果是有限个且结果是 等可能出现的情况，而几何概型则适用于试验结果是无穷多的 情形 几何概型的特征：)每个试验结果有无限多个，且全 体结果可以用一个有度量的几何区域来表示；)每次试验的各 种结果是等可能的，即每一个基本事件发生的可能性是均等 的因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相 同的，同属于“比例解法”即随机事件A的概率可以用“事 件A包含的基本事件所占的图形面积(体积、长度)”与“
4、试验的 基本事件所占总面积(总体积、长度)”之比来表示 第三章第三章 3.3 3.3.1 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 (2)几何概型的概率计算公式 在几何概型中，事件 A 的概率定义为：P(A)A ，其中 表示区域 的几何度量，A表示子区域 A 的几何度量 2几何概型的特点 (1)_， 在一次试验中， 可能出现的结果有无限多个； (2)_，每个结果的发生具有等可能性 无限性 等可能性 第三章第三章 3.3 3.3.1 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 3古典概型与几何概型的区别 古典概型与几何概型中基
5、本事件发生的可能性都是相等 的，但古典概型要求基本事件有_个，几何概型要求基本 事件有_个 有限 无限多 第三章第三章 3.3 3.3.1 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 1.(2014 湖南文，5)在区间2,3上随机选取一个数 X，则 X1 的概率为( ) A.4 5 B3 5 C.2 5 D1 5 答案 B 解析 总长度为 5， 而满足条件的区间为2,1， 长为 3， 故概率为3 5. 第三章第三章 3.3 3.3.1 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 2(2014 辽宁文，6)若将一个质点随机投入如
6、图所示的长 方形 ABCD 中，其中 AB2，BC1，则质点落在以 AB 为直 径的半圆内的概率是( ) A. 2 B 4 C. 6 D 8 答案 B 解析 总面积为 212.半圆面积为1 21 2 2.p 2 2 4. 第三章第三章 3.3 3.3.1 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 3(2015 山东文，7)在区间0,2上随机地取一个数 x，则 事件“1log1 2 x1 2 1”发生的概率为( ) A.3 4 B2 3 C.1 3 D1 4 答案 A 第三章第三章 3.3 3.3.1 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数
7、学数学 必修必修3 解析 由1log 1 2 (x 1 2 )1 得，log 1 2 2log 1 2 (x 1 2)log 1 2 1 2， 1 2x 1 22,0x 3 2， 所以，由几何概型概率的计算公式得，P 3 20 20 3 4，故选 A. 第三章第三章 3.3 3.3.1 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 4有一根长为 1m 的绳子，随机从中间将细绳剪断，则使 两截的长度都大于1 8m 的概率为_ 答案 3 4 解析 记“两截的长度都大于1 8m”为事件 A，由几何概 型的概率公式得 P(A)6 8 3 4. 第三章第三章 3.3 3.
8、3.1 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 5 在面积为 1 的正方形 ABCD 内部随机取一点 P， 则PAB 的面积大于等于1 4的概率是_ 答案 1 2 解析 由题意可知正方形的边长为 1， 记“PAB 的面积 大于等于1 4”为事件 M，由几何概型的概率公式得 P(M) 1 2 1 1 2. 第三章第三章 3.3 3.3.1 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 6一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的 时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒(没有两灯同时亮)，当你到达 路口时，看见下列三种情况的概率
9、各是多少？ (1)红灯；(2)黄灯；(3)不是红灯 解析 在 75 秒内，每一时刻到达路口是等可能的，属于 几何概型(1)P亮红灯的时间 全部时间 30 30405 2 5. (2)P亮黄灯的时间 全部时间 5 75 1 15. (3)P不是红灯亮的时间 全部时间 黄灯或绿灯亮的时间 全部时间 45 75 3 5. 第三章第三章 3.3 3.3.1 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 课堂典例讲练课堂典例讲练 第三章第三章 3.3 3.3.1 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 取一根长度为3 m的绳子，拉直后
10、在任意位置剪 断，求剪得两段的长都不小于1 m的概率 解析 从每一个位置剪断都是一个基本事件，剪断位置 可以是长度为3 m的绳子上的任意一点，其基本事件有无限多 个，显然不能用古典概型计算，可考虑运用几何概型计算 与长度有关的几何概型求法 第三章第三章 3.3 3.3.1 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 如图，记剪得两段绳子都不小于 1 m 为事件 A.把绳子三等 分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件 A 发生由于中 间一段的长度等于绳长的1 3，所以事件 A 发生的概率 P(A) 1 3. 第三章第三章 3.3 3.3.1 高中新课程高中新课
11、程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 点评 我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区 域随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一 个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区 域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解 第三章第三章 3.3 3.3.1 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30 min长的磁带上，从开始30 s处起，有10 s长的一段内容包含两 间谍犯罪的信息，后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员 擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错
12、了键，使从此处 起往后的所有内容都被擦掉了，那么由于按错了键使含有犯罪 内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？ 第三章第三章 3.3 3.3.1 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 分析 包含两个间谍谈话录音的部分在30 s到40 s之间， 当按错键的时刻在这段时间内时，部分被擦掉，当按错键的时 刻在 0 s 到 30 s 之间时全部被擦掉，在 0 s 到 40 s 之间，即在 0 min 到2 3 min 之间的时间段内按错键时含有犯罪内容的谈话被 部分或全部擦掉而 0 min 到2 3 min 之间的时间段内任一时刻 按错键的可能性是相等的，所以
13、按错键使含有犯罪内容的谈话 被部分或全部擦掉的概率只与从开始到谈话内容结束的时间段 长度有关，符合几何概型的条件 第三章第三章 3.3 3.3.1 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 解析 设 A按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或 全部擦掉，A 发生就是在 0 min 到2 3 min 时间段内按错键，则 P(A) 2 3 30 1 45. 第三章第三章 3.3 3.3.1 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 与角度有关的几何概型求法 如下图，在直角坐标系内，射线 OT 落在 60 角 的终边上， 任作一条射
14、线 OA， 求射线 OA 落在xOT 内的概率 第三章第三章 3.3 3.3.1 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 解析 以 O 为起点作射线 OA 是随机的，因而射线 OA 落在任何位置都是等可能的，落在xOT 内的概率只与xOT 的大小有关，符合几何概型的条件 设事件 A“射线 OA 落在xOT 内”事件 A 的几何度 量是 60 ，区域 的几何度量是 360 ，所以，由几何概率公式 得 P(A)A 60 360 1 6. 第三章第三章 3.3 3.3.1 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 在圆心角为9
15、0的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，求 使得AOC和BOC都不小于30的概率 解析 如图设事件 A“作射线 OC， 使AOC 和BOC 都不小于 30 ”，A90303030，90，由几何概率公 式得 P(A)A 30 90 1 3. 第三章第三章 3.3 3.3.1 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 与面积有关的几何概型求法 已知正方形 ABCD 的边长为 2，在正方形 ABCD 内随机取一点 P，则点 P 满足|PA|1 的概率是( ) A. 8 B 8 C.1 16 D 16 第三章第三章 3.3 3.3.1 高中新课程高中新课程 学习指导学
16、习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 解析 如图，满足|PA|1 的点 P 为图中以 A 为圆心，以 1 为半径的圆在正方形内的部分(图中阴影部分)，其面积为 4， 正方形的面积为 4，故所求概率为 4 4 16. 答案 D 第三章第三章 3.3 3.3.1 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 点评 问题的关键是要构造出随机事件对应的几何图 形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率 第三章第三章 3.3 3.3.1 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 水池的容积是 20 m3，水池里的水龙头 A 和 B
17、 的水流速度 都是 1 m3/h，它们一昼夜(024 h)内随机开启，则水池不溢水 的概率为( ) A.5 6 B25 72 C. 5 18 D1 3 答案 B 第三章第三章 3.3 3.3.1 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 解析 如图所示，横坐标和纵坐标分别表示 A、B 两水龙 头开启的时间，则阴影部分是满足不溢水的对应区域，因为正 方形区域的面积为 2424，阴影部分的面积是1 22020，所 以所求的概率是 P 1 22020 2424 25 72，故选 B. 第三章第三章 3.3 3.3.1 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人
18、教B版版 数学数学 必修必修3 在1L高产小麦种子中混入了一粒带锈病的种 子，从中随机取出10 mL，含有小麦锈病种子的概率是多少？ 解析 由于带锈病的种子在1 L小麦种子中的位置是随机 的，所以随机取出10 mL时，取到带锈病种子的概率只与所取 种子样品的体积有关，这符合几何概型的条件 与体积有关的几何概型求法 设事件 A“取出的 10 mL 麦种含有带小麦锈病的种 子”A10(mL)，1(L)1000(mL)， P(A)A 10 10000.01. 第三章第三章 3.3 3.3.1 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 点评 解决此类实际问题时，应先
19、根据题意确定该试验 为几何概型，然后求出事件 A 和基本事件空间的几何度量，借 助几何概率的计算公式求出概率 第三章第三章 3.3 3.3.1 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 在100 m3沙子中藏有一个玻璃球，取出1 m3的沙子，则取 出的沙子中含有玻璃球的概率 解析 取出 1 m3沙子，其中“含有玻璃球”这一事件记 为 A，则 P(A)取出沙子的体积 所有沙子的体积 1 100 . 第三章第三章 3.3 3.3.1 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 易错疑难辨析易错疑难辨析 第三章第三章 3.3 3.
20、3.1 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 在等腰 RtABC 中，过直角顶点 C 在ACB 内 部任作一条射线 CM，与线段 AB 交于点 M，求|AM|AC|的概 率 错解 在 AB 上取 ACAC.在ACB 内作射线 CM 看 作在线段 AC上任取一点 M，过 C、M 作射线 CM，则概率为 AC AB AC AB 2 2 . 第三章第三章 3.3 3.3.1 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 辨析 虽然在线段上任取一点是等可能的，但过点C和 任取的点所作的射线是不均匀的，因而不能把等可能取点看作 等可
21、能作射线，尽管点与射线是一一对应的，因此在确定基本 事件时，一定要注意选择好观察角度，注意判断基本事件发生 的等可能性 第三章第三章 3.3 3.3.1 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 正解 在ACB 内的射线 CM 是均匀分布的，所以射线 CM 在任何位置都是等可能的在 AB 上取 ACAC，则 ACC67.5 ，故满足条件的概率为67.5 90 0.75. 第三章第三章 3.3 3.3.1 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 思想方法技巧思想方法技巧 第三章第三章 3.3 3.3.1 高中新课程高中新课
22、程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 数形结合思想 甲、 乙两人约定晚上6点到7点之间在某地见面， 并约定先到者要等候另一人半小时，过时即可离开求甲、乙 能见面的概率 分析 (1)甲、乙两人中每人到达会面地点的时刻都是从 6 点到 7 点这 1 小时之间的任一时刻，用 0 到 60 分表示晚上 6 点到 7 点之间的时间段，则横轴 0 到 60 分与纵轴 0 到 60 分组 成的正方形中任一点(x，y)就表示甲、乙两人分别到达的时间 (2)由于每个人到达的时间都是随机的， 若甲早到， yx30 成立，两人可以见面；若乙早到，xy30，两人仍可见面 第三章第三章 3.3 3
23、.3.1 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 解析 如图所示：用 x、y 轴分别表 示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两 人能够会面的等价条件是|xy|30. 在平面直角坐标系内，(x，y)的所有 可能结果是边长为 60 的正方形 而事件 A“两人能够见面”的 可能结果仅是阴影部分所示的区域. 由几何概型概率的计算公式，得 P(A)60 2302 602 3 4. 第三章第三章 3.3 3.3.1 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 点评 会面问题，是利用数形结合，转化成面积型几何 概型的问题解决的，步骤如下： 将两人到达的时间分别用x、y两个坐标表示，构成平面 内的点(x，y)； 找出会面关系，用式子表示出能够会面的条件； 在平面直角坐标系里，画出所有可能结果表示的区域， 并求面积； 用阴影表示出能够会面的区域，并求面积； 代入几何概型的概率公式求解
