1、 数学使人聪颖数学使人聪颖 数学使人严谨数学使人严谨 数学使人深刻数学使人深刻 数学使人缜密数学使人缜密 数学使人坚毅数学使人坚毅 数学使人智慧数学使人智慧 1. 1.实数与向量的积实数与向量的积 3.如果两个向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或 互相平行. a a b b c cd d 1.aaaaa实数 和向量 的乘积是一个向量，记作，的长 2.三角形法则；平行四边形法则 不共线 2. 2.两向量和的求法两向量和的求法 3.3.平行向量及平行向量基本定理平行向量及平行向量基本定理 / / /0ababab bab如果 =，则；反之，如果，则一定存在一个实数 ，使 = 新课引入新课引
2、入 如何作出如何作出 e1 + e2 ? e1 e2 o A e1 B e2 C OC可以分解成可以分解成 e1 ，e2 平面内任意一个向量平面内任意一个向量 是否可以分解成是否可以分解成 1e1 , 2e2 ? 12 ,e e 是两个不平行向量，观察上图 12 CDee 12 ABee ， 12 EFee， 12 GHee 23 4 4425 事实上，平面内任何向量都能用两个不平行向量来表示. 新课引入 G H A EB D C F 1 e 2 e e1 o A o1 B o2 C e2 o A B C N M OM与与OA共线共线 OM = 1OA = 1e1 同理同理ON= 2OB =
3、2 e2 a = 1e1 + 2 e2 2.2.1平面向量基本定理 定理内容： 12 12 , , ee a a a 如果 和 是一平面内的两个不平行的向量， 那么该平面的任一向量存在惟一的一对实数 使 1 122 aa ea e 12 121 12212 ,. , e e e ea ea eae e 不共线向量 、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底， 记为叫做向量 关于基底的分解式. 几点说明： 12 1e e定理中的 、是两不共线向量； 12 2 aaa是平面内的任一向量，且实数对 、 是惟一的； 3 平面内任一两个不共线的向量都可作为 一组基底. 例题教学例题教学 例例1 已知：向量已
4、知：向量 e1 ，e2 求作：求作：向量向量 - -2.5 2.5 e1 + 3+ 3e2 e1 e2 o A B - -2.5 2.5 e1 C 作法：作法： 1、任取一点、任取一点O作作OA = - -2.5 2.5 e1 OB = 3 3 e2 2、以、以OA,OB为邻边作为邻边作 OACB 3、OC为所求为所求 1练习 12 ,.e eAB CD EF GH在基底下，分解下列向量： 、 、 、 1 e 2 e A B C D E F G H 解： 12 22ABee ， 12 33CDee 12 32 EFee ， 12 63GHee 例例2 已知：已知： ABCDABCD的两条对角线
5、相交于点的两条对角线相交于点M M， 且且 AB = a ,AD = b ,AB = a ,AD = b ,用用 a ,b a ,b 表示表示 MA,MB,MC,MA,MB,MC,和和 MDMD B A C D M b b a a 分析：为了求分析：为了求MA,MB,MC,MD 只需求只需求AC, DB即可即可 解：,ACABADab ,DBABADab 1111 , 2222 MAACabab 1111 , 2222 MBDBabab 111 , 222 MCACab 111 . 222 MDDBab A B C A1 练习2 11 , AB p AC q ABCp qAA 已知：三角形AB
6、C的两边对应的向量= ,= , 是中点写出在基底下， 的分解式为 提示： 法一 11 AAABBA 法二1 1 2 AAABAC 1 11 22 AApq 1 1 , 2 BABCBCACAB 例例3 , ABlOll PtOPOA OB 已知 、 是直线 上任意两点， 是 外一点，求证：对直线 上 任一点 ，存在实数，使关于基底的分解式为 1OPt OAtOB Pl并且，满足式的点 一定在 上. 分析：分析：OP = OA + AP 或或 OP = OB + BP B O A P l 例例3 证明：Pl设点 在直线 上，则由平行向量基本定理知， .tAPtABt OB OA存在实数，使（）
7、OPOAAP所以 OAtOBtOA 1.t OAtOB 1,POPt OA tOB设点 满足等式 ,OPOA tOAtOB则 OP OAt OB OA即 ,APtAB亦即/.APAB故A又因为有公共点 ， ABP所以 、 、 共线,Pl所以 在直线 上. B O A P l 例例3 , ABlOll PtOPOA OB 已知 、 是直线 上任意两点， 是 外一点，求证：对直线 上 任一点 ，存在实数，使关于基底的分解式为 1OPt OAtOB Pl并且，满足式的点 一定在 上. B O A P l ,lPt由例3所证可知，对直线 上任意一点 ，一定存在惟一的实数 , tlP满足向量等式，反之对
8、每一个数值 在直线 上都有惟一的一个点 与之对应；向量等式叫做 l直线的向量参数方程 t其中实数 叫做参变数，简称参数 例例3 , ABlOll PtOPOA OB 已知 、 是直线 上任意两点， 是 外一点，求证：对直线 上 任一点 ，存在实数，使关于基底的分解式为 1OPt OAtOB Pl并且，满足式的点 一定在 上. M B O A P l 1 , 2 t在式中，令 MAB点是的中点，则 1 2 OMOAOB AB这是线段的中点的向量表达式. B A DCEF e1 e2 _;_ _;_ AFAB ADBD 练习练习3 已知已知ABCD为矩形，且为矩形，且AD=2AB，又，又ADE为等
9、腰三角为等腰三角 形，形，F为为ED的中点，的中点， 表示向量表示向量 为基底以 2121 ,eeeEFeEA 21 ee 2 e 12 2ee 12 ee D M C A N B / /,2, , . ABCDABCDABDC M DCABAB AD BC MN 已知梯形，且分别是 、的中点.在基底下，分别表示向量 、 练习4 解： MNMDDAAN 11 22 CDADAB 11 42 ABADAB 1 4 ABAD BCBAADDC 1 2 ABADAB 3 2 ABAD 补充练习：补充练习： 121212 12 32 ,2, 74 ,. e eaee bee ceeabc 已知 、是平
10、面内不共线向量， 试用 和 表示 解： .cxayb设 121212 322322cxeeyeexy exy e 则 12 74.ee 12 ,e e 不共线， 327 , 24 xy xy 1 , 2 x y 解得2cab 小结回顾小结回顾 1.平面向量基本定理 2.直线的向量参数方程式 3.线段中点的向量表达式 补充练习：补充练习： 下面三种说法 （1）一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向 量的基底； （2）一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面所有 向量的基底； （3）零向量不可作为基底中的向量。 A.(1)(2) B.(2)(3) C.(1)(3) D.(1)(2)(3) 其中正确的是（ ） B
