1、1.2.4 诱导公式诱导公式 课堂互动讲练课堂互动讲练 知能优化训练知能优化训练 12.4 课前自主学案课前自主学案 学习目标学习目标 学习目标学习目标 1.会借助单位圆的直观性探索正弦、余弦和正切会借助单位圆的直观性探索正弦、余弦和正切 的诱导公式的诱导公式 2掌握角掌握角 与与 k2(kZ)， 与与 (2k1) (kZ)， 与与， 与与 2 ， 与与 2 的三角函的三角函 数间的关系，并能用公式解决简单的三角函数的数间的关系，并能用公式解决简单的三角函数的 化简、求值和有关三角命题的证明等问题化简、求值和有关三角命题的证明等问题 课前自主学案课前自主学案 温故夯基温故夯基 1sin2cos
2、2_，tan_. 2同同 终边相同的角终边相同的角 的集合为的集合为 _ 3角角 与与 的终边关于的终边关于_对称对称 sin cos 1 |k 360，kZ x轴轴 知新益能知新益能 1诱导公式诱导公式 (1)角角 与与 k2(kZ)的三角函数间的关的三角函数间的关 系系 cos k2 _ sin k2 _ tan k2 _ (公式一公式一) cos sin tan (2)角角 与与 的三角函数间的关系的三角函数间的关系 cos _ sin _ tan _ (公式二公式二) cos sin tan 思考感悟思考感悟 1三角函数的诱导公式的公式一和公式二各有三角函数的诱导公式的公式一和公式二各
3、有 什么作用？什么作用？ 提示：提示： 诱导公式的公式一的作用是将任意角的三诱导公式的公式一的作用是将任意角的三 角函数求值问题转化为角函数求值问题转化为 02 之间角的三角函之间角的三角函 数求值问题数求值问题 诱导公式的公式二的作用是将任意诱导公式的公式二的作用是将任意 负角的三角函数求值问题转化为正角的三角函负角的三角函数求值问题转化为正角的三角函 数求值问题数求值问题 (3)角角 与与 (2k1)(kZ)的三角函数间的关系的三角函数间的关系 cos 2k1 _ sin 2k1 _ tan 2k1 _ (公式三公式三) (4)角角 与与 2的三角函数间的关系 的三角函数间的关系 cos
4、2 _ sin 2 _ (公式四公式四) cos sin tan sin cos 以以 替代替代 可得另一组可得另一组 cos( 2 )_ sin( 2) _ 2角角 n 的三角函数值的三角函数值 sin(n) _ n为奇数为奇数 _ n为偶数为偶数 cos(n) _ n为奇数为奇数 _ n为偶数为偶数 tan(n)_，nZ cos sin sin sin cos cos tan 2若若是第三象限角时，是第三象限角时，sin()sin还成立还成立 吗？吗？ 思考感悟思考感悟 提示：提示：成立成立公式公式 sin()sin 中的中的 是任是任 意角，无论意角，无论 是第几象限角，都有是第几象限角
5、，都有 sin() sin.如果想进一步求出如果想进一步求出 sin 的值或对的值或对 sin 进行进行 化简时，那么再用诱导公式化为化简时，那么再用诱导公式化为0， 2 )之间的三之间的三 角函数值问题角函数值问题 3你有比较简便的记忆诱导公式的方法吗？你有比较简便的记忆诱导公式的方法吗？ 提示：提示： 诱导公式都是角诱导公式都是角 的正弦、 余弦函数与的正弦、 余弦函数与 k 2 (kZ)的正弦、余弦函数之间的转化，记忆的的正弦、余弦函数之间的转化，记忆的 口诀是：奇变偶不变，符号看象限口诀是：奇变偶不变，符号看象限 课堂互动讲练课堂互动讲练 考点突破考点突破 利用诱导公式求值利用诱导公式
6、求值 利用诱导公式求值分给角求值、给值求值两利用诱导公式求值分给角求值、给值求值两 种，求解时应注意分析种，求解时应注意分析“已知角已知角”和和“所求角所求角” 之间的关系之间的关系 例例1 (1)求求 cos 5 cos2 5 cos3 5 cos4 5 的值的值 (2)已知已知 cos( 6 )1 3，求 ，求 cos( 5 6 ) sin( 2 3 ) 的值的值 【思路点拨】【思路点拨】 (1)化为锐角三角函数，考虑对化为锐角三角函数，考虑对 消求值；消求值； (2)( 6 )( 5 6 )， 2 3 ( 3 )，而，而( 3 )( 6 ) 2 ， 故可以利用以上互余、互补关系求解故可以
7、利用以上互余、互补关系求解 【解】【解】 (1)cos 5 cos2 5 cos3 5 cos4 5 cos 5 cos2 5 cos(2 5 )cos( 5 )cos 5 cos2 5 cos2 5 cos 5 0. (2)cos( 5 6 ) sin( 2 3 ) cos( 6 )sin( 3 ) cos( 6 ) sin( 3 ) 1 3sin 2 ( 6 )1 3cos( 6 ) 1 9. 【点评】【点评】 (1)利用诱导公式一四求任意角三利用诱导公式一四求任意角三 角函数的步骤是：角函数的步骤是： 任意负任意负 角的三角的三 角函数角函数 公式一或公式一或 公式三公式三 任意正角任意
8、正角 的三角的三角 函数函数 公式一公式一02的角的的角的 三角函数三角函数 公式二或公式二或 公式四公式四 锐角三锐角三 角函数角函数 (2)是一个利用互余关系解题的问题，解决这类是一个利用互余关系解题的问题，解决这类 问题关键是要能发现这种互余关系， 常见的互余问题关键是要能发现这种互余关系， 常见的互余 关系有关系有 3 与与 6 ； 3 与与 6 ； 4 与与 4 等，记住这些结论有时会给我们带来意想不到等，记住这些结论有时会给我们带来意想不到 的方便的方便 变式训练变式训练 1 (1)求求 sin(10 3 )cos29 6 的值；的值； (2)已知已知 cos()1 2，求 ，求
9、cos( 2 )的值的值 解：解：(1)sin( 10 3 )cos29 6 sin10 3 cos(4 5 6 ) sin(24 3 )cos5 6 sin 4 3 cos( 6 ) sin( 3) cos 6 sin 3 cos 6 3 2 3 2 0. (2)cos()cos1 2， ， cos1 2， ， 为第一或第四象限角为第一或第四象限角 若若 为第一象限角，为第一象限角， 则则 cos( 2 )sin 1cos2 1 1 2 2 3 2 . 若若 为第四象限角，为第四象限角， 则则 cos( 2 )sin 1cos21 1 2 2 3 2 . 所谓化简，就是使表达式经过某种变形，
10、使结所谓化简，就是使表达式经过某种变形，使结 果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少，次果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少，次 数尽可能的低，三角函数种类尽可能的少，分数尽可能的低，三角函数种类尽可能的少，分 母中尽量不含三角函数符号，能求值的一定求母中尽量不含三角函数符号，能求值的一定求 值值 利用诱导公式化简利用诱导公式化简 【思路点拨思路点拨】 充分利用诱导公式及同角三角函充分利用诱导公式及同角三角函 数的基本关系进行化简数的基本关系进行化简 例例2 化简：化简： tan 3 sin sin 3 2 sin 2 cos 7 2 sin 3 2 cos 2 . 【解】【解】 tan(3)t
11、an，sin() sin，sin(2)sin，cos(2)cos， sin( 3 2 )cos，cos(7 2) cos( 7 2 ) cos(4 2 )cos( 2 )sin， sin( 3 2 )cos， 原式原式 tan sin cos sin sin cos cos 1 cos2 sin 2 cos2 1 sin2 cos2 cos 2 cos2 1. 【点评】【点评】 (1)本题化简主要采用本题化简主要采用“异角化同角，异角化同角， 异名化同名异名化同名”的解题策略的解题策略 (2)注意同角三角函数关系的应用，如注意同角三角函数关系的应用，如 sin2 cos21；tan sin c
12、os 等等 变式训练变式训练 2 化简：化简： 12sin280 cos440 sin260 cos800 . 解：解：原式原式 12sin 360 80 cos 360 80 sin 180 80 cos 720 80 12sin80 cos80 sin80 cos80 sin280 cos280 2sin80 cos80 sin80 cos80 sin80 cos80 2 sin80 cos80 |cos80 sin80 | cos80 sin80 sin80 cos80 cos80 sin80 1. 利用诱导公式证明利用诱导公式证明 利用诱导公式证明等式问题利用诱导公式证明等式问题，关键
13、在于公式关键在于公式 的灵活应用的灵活应用主要思路在于如何配角主要思路在于如何配角，如何如何 去分析角之间的关系去分析角之间的关系 例例3 已知已知 sin()1，求证：，求证：tan(2) tan0. 【思路点拨】【思路点拨】 观察两端，左繁右简，所以可观察两端，左繁右简，所以可 以从左端入手，逐步化简到右边以从左端入手，逐步化简到右边 【证明】【证明】 sin()1， 2k 2(k Z) 2k 2 (kZ)， tan(2 ) tantan2(2k 2 ) tantan()tantantan0， tan(2)tan0. 【点评】【点评】 证明条件不等式一般有两种方法：一证明条件不等式一般有两
14、种方法：一 是从被证等式一边推向另一边，将条件代入，推是从被证等式一边推向另一边，将条件代入，推 出被证式的另一边，这种证法称作代入法；二是出被证式的另一边，这种证法称作代入法；二是 直接将条件等式变形，变形为被证等式，这种方直接将条件等式变形，变形为被证等式，这种方 法称作推出法，证明条件等式不论使用哪种方法法称作推出法，证明条件等式不论使用哪种方法 都要抓住目标，由果变形都要抓住目标，由果变形 变式训练变式训练 3 求证：求证： cos cossin 3 2 1 cos 2 cos sin 2 sin 3 2 2 sin2 . 证明：证明：左边左边 cos cos cos1 cos cos
15、coscos 1 1cos 1 1cos 1cos1cos 1cos 1cos 2 1cos2 2 sin2 右边右边 方法感悟方法感悟 1应用诱导公式的重点是应用诱导公式的重点是“函数名称函数名称”与正负与正负 号的正确判断， 要牢记号的正确判断， 要牢记“奇变偶不变， 符号看象奇变偶不变， 符号看象 限限” 2求任意角的三角函数问题一般步骤是求任意角的三角函数问题一般步骤是“负化负化 正，正化锐正，正化锐”，再求值或化简或证明，要体会其，再求值或化简或证明，要体会其 中的化归思想，以得到正确的解题思路中的化归思想，以得到正确的解题思路 3题目中出现形如题目中出现形如 k(kZ)形式时，要注形式时，要注 意分类讨论，以确定化简后的正负号问题意分类讨论，以确定化简后的正负号问题
