1、2.1.5 向量共线的条件和 轴上向量的坐标运算 一般地，实数一般地，实数与向量与向量a的的积积是一个是一个向量向量， 这种运算叫做这种运算叫做向量的数乘运算向量的数乘运算，记作，记作a， 它的它的长度长度和和方向方向规定如下：规定如下： (1) |a|=| |a| (2) 当当0时时,a的方向与的方向与a方向相同；方向相同； 当当0时时,a的方向与的方向与a方向相反；方向相反； 特别地，当特别地，当=0或或a=0时时, a=0 温故知新温故知新 数乘向量的含义 向量向量 b 与非零向量与非零向量 a 共线共线当且仅当当且仅当 有且只有一个实数有且只有一个实数，使得，使得 b=a 问题：如果给
2、定一个非零向量问题：如果给定一个非零向量a， 与与a同方向且长度等于的向量，同方向且长度等于的向量， 叫叫向量向量a的单位向量的单位向量 a的单位向量记作的单位向量记作a ， ， 则则a与与a 的关系是 的关系是 a aa aa a a0= a a a a 例例1. .如图：已知如图：已知 AD = 3ABAD = 3AB，DE = BC DE = BC ， 试证明试证明 A A、C C、E E 三点共线三点共线 A B D E C 解：AE=AD+DE =3AB+3BC =3(AB+BC) =3AC AE/AC A、E、C三点共线 例2.设a，b是两个不共线的向量，已知 AB=a+b，BC=
3、2a+8b，CD=3(a-b)， 求证：A，B，D三点共线。 证明：BD=BC+CD =(2a+8b)+3(a-b) =5a+5b =5(a+b) =5AB BD/AB ，又它们有公共点B， A，B，D三点共线 例3.如图MN是ABC的中位线, 求证:MN= BC且MN/BC 1 2 证明:M,N分别是AB,AC的中点 MN/BC,MN= BC 1 2 1 2 1 2 MN=AN-AM= AC- AB 1 2 1 2 AM= AB,AN= AC 1 2 1 2 = (AC-AB)= BC A B C N M 练习1 1、设e1，e2是两个不共线向量，已知 AB=2e1+re2，CB=e1+3e
4、2，若A，B， C三点共线，求r的值. 2. 设a，b是两个不共线的向量， 试确定实数k,使ka+b和a+kb共线 3. 已知:a=3e,b=-2e.试问a与b是否平行? 并求/a/:/b/ 4.课本P93 A T2 .规定了方向和长度单位的直线叫轴 l e 2.轴上向量的坐标及其运算 a=xe (1)取与轴同向的单位向量e,则对轴上的任意向量a, 一定存在唯一实数x,使 (2)反过来，任意给定一个实数x总能作一个向量 长度等于这个实数的绝对值，方向与实数的符号一致 a=xe 所以给定单位向量e，则与它平行的所有向量的集合为： a ,xR a=xe (3)单位向量e，叫轴的基向量，x叫a在轴上
5、的坐标 l e A B C D 3 -2 -6 BC在轴上的坐标是 CD在轴上的坐标是 例如:AB=3e,CD=-2e.则AB在轴上的坐标是 (4)轴上两向量相等的条件是它们的坐标相等 轴上两向量和的坐标等于它们的坐标和 x1=x2 a+b 则a=b 设a=x1e,b=x2e =(x1+x2)e (5)轴上的向量的坐标常用表示 即:=e (6)若A.B.C是轴上的三点,则 AB+BC=AC (7)若点的坐标是x1点,的坐标x2是则 AB= x2- x1 即轴上的向量坐标等于终点的坐标减去始点的坐标 轴上两点的距离 AB= x2- x1 例3.已知数轴上三点A、B、C的坐标分别是 4、-2、-6，求AB、BC、CA的坐标和长度 作业：
